2．1.1合情推理預(yù)習(xí)課本P22～29，思考并完成下列問題(1)歸納推理的含義是什么？有怎樣的特征？(2)類比推理的含義是什么？有怎樣的特征？ (3)合情推理的含義是什么？eq\x([新知初探])1．歸納推理和類比推理[點(diǎn)睛](1)歸納推理與類比推理的共同點(diǎn)：都是從具體事實(shí)出發(fā)，推斷猜想新的結(jié)論．(2)歸納推理的前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然的，結(jié)論不一定正確；而類比推理的結(jié)果具有猜測性，不一定可靠，因此不一定正確．2．合情推理eq\x([小試身手])1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)統(tǒng)計(jì)學(xué)中，從總體中抽取樣本，然后用樣本估計(jì)總體，這種估計(jì)屬于歸納推理．()(2)類比推理得到的結(jié)論可以作為定理應(yīng)用．()(3)由個(gè)別到一般的推理為歸納推理．()答案：(1)√(2)×(3)√2．由“若a＞b，則a＋c＞b＋c”得到“若a＞b，則ac＞bc”采用的是()A．歸納推理 B．演繹推理C．類比推理 D．?dāng)?shù)學(xué)證明答案：C3．?dāng)?shù)列5,9,17,33，x，…中的x等于________．答案：65歸納推理在數(shù)、式中的應(yīng)用[典例](1)觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10＝()A．28B．76C．123 D．199(2)已知f(x)＝eq\f(x,1－x)，設(shè)f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n＞1，且n∈N*)，則f3(x)的表達(dá)式為________，猜想fn(x)(n∈N*)的表達(dá)式為________．[解析](1)利用歸納法：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝3＋1＝4，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，規(guī)律為從第三組開始，其結(jié)果為前兩組結(jié)果的和．(2)∵f(x)＝eq\f(x,1－x)，∴f1(x)＝eq\f(x,1－x).又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，∴f2(x)＝f1(f1(x))＝eq\f(\f(x,1－x),1－\f(x,1－x))＝eq\f(x,1－2x)，f3(x)＝f2(f2(x))＝eq\f(\f(x,1－2x),1－2×\f(x,1－2x))＝eq\f(x,1－4x)，f4(x)＝f3(f3(x))＝eq\f(\f(x,1－4x),1－4×\f(x,1－4x))＝eq\f(x,1－8x)，f5(x)＝f4(f4(x))＝eq\f(\f(x,1－8x),1－8×\f(x,1－8x))＝eq\f(x,1－16x)，∴根據(jù)前幾項(xiàng)可以猜想fn(x)＝eq\f(x,1－2n－1x).[答案](1)C(2)f3(x)＝eq\f(x,1－4x)fn(x)＝eq\f(x,1－2n－1x)1．已知等式或不等式進(jìn)行歸納推理的方法(1)要特別注意所給幾個(gè)等式(或不等式)中項(xiàng)數(shù)和次數(shù)等方面的變化規(guī)律；(2)要特別注意所給幾個(gè)等式(或不等式)中結(jié)構(gòu)形式的特征；(3)提煉出等式(或不等式)的綜合特點(diǎn)；(4)運(yùn)用歸納推理得出一般結(jié)論．2．?dāng)?shù)列中的歸納推理在數(shù)列問題中，常常用到歸納推理猜測數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和．(1)通過已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)或前n項(xiàng)和；(2)根據(jù)數(shù)列中的前幾項(xiàng)或前n項(xiàng)和與對應(yīng)序號之間的關(guān)系求解；(3)運(yùn)用歸納推理寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式．[活學(xué)活用]1．觀察下列等式：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,3)))－2＝eq\f(4,3)×1×2；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,5)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,5)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,5)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(4π,5)))－2＝eq\f(4,3)×2×3；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,7)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,7)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,7)))－2＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(6π,7)))－2＝eq\f(4,3)×3×4；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,9)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,9)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,9)))－2＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(8π,9)))－2＝eq\f(4,3)×4×5；……照此規(guī)律，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,2n＋1)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,2n＋1)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,2n＋1)))－2＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2nπ,2n＋1)))－2＝________.解析：通過觀察已給出等式的特點(diǎn)，可知等式右邊的eq\f(4,3)是個(gè)固定數(shù)，eq\f(4,3)后面第一個(gè)數(shù)是等式左邊最后一個(gè)數(shù)括號內(nèi)角度值分子中π的系數(shù)的一半，eq\f(4,3)后面第二個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的下一個(gè)自然數(shù)，所以，所求結(jié)果為eq\f(4,3)×n×(n＋1)，即eq\f(4,3)n(n＋1)．答案：eq\f(4,3)n(n＋1)2．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝3，滿足Sn＝6－2an＋1(n∈N*)．(1)求a2，a3，a4的值．(2)猜想an的表達(dá)式．解：(1)因?yàn)閍1＝3，且Sn＝6－2an＋1(n∈N*)，所以S1＝6－2a2＝a1＝3，解得a2＝eq\f(3,2)，又S2＝6－2a3＝a1＋a2＝3＋eq\f(3,2)，解得a3＝eq\f(3,4)，又S3＝6－2a4＝a1＋a2＋a3＝3＋eq\f(3,2)＋eq\f(3,4)，解得a4＝eq\f(3,8).(2)由(1)知a1＝3＝eq\f(3,20)，a2＝eq\f(3,2)＝eq\f(3,21)，a3＝eq\f(3,4)＝eq\f(3,22)，a4＝eq\f(3,8)＝eq\f(3,23)，…，猜想an＝eq\f(3,2n－1)(n∈N*).歸納推理在幾何中的應(yīng)用[典例]有兩種花色的正六邊形地面磚，按下圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案，則第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是()A．26B．31C．32 D．36[解析]有菱形紋的正六邊形個(gè)數(shù)如下表：圖案123…個(gè)數(shù)61116…由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)依次組成一個(gè)以6為首項(xiàng)，以5為公差的等差數(shù)列，所以第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是6＋5×(6－1)＝31.故選B.[答案]B利用歸納推理解決幾何問題的兩個(gè)策略(1)通項(xiàng)公式法：數(shù)清所給圖形中研究對象的個(gè)數(shù)，列成數(shù)列，觀察所得數(shù)列的前幾項(xiàng)，探討其變化規(guī)律，歸納猜想通項(xiàng)公式．(2)遞推公式法：探究后一個(gè)圖形與前一個(gè)圖形中研究對象的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，把各圖形中研究對象的個(gè)數(shù)看成數(shù)列，列出遞推公式，再求通項(xiàng)公式．[活學(xué)活用]1．用火柴棒擺“金魚”，如圖所示：按照上面的規(guī)律，第n個(gè)“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為()A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2解析：選C歸納“金魚”圖形的構(gòu)成規(guī)律知，后面“金魚”都比它前面的“金魚”多了去掉尾巴后6根火柴組成的魚頭部分，故各“金魚”圖形所用火柴棒的根數(shù)構(gòu)成一首項(xiàng)為8，公差是6的等差數(shù)列，所以第n個(gè)“金魚”圖需要的火柴棒的根數(shù)為an＝6n＋2.2．(陜西高考)觀察分析下表中的數(shù)據(jù)：多面體面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱柱569五棱錐6610立方體6812猜想一般凸多面體中F，V，E所滿足的等式是________．解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱錐中6＋6－10＝2；立方體中6＋8－12＝2，由此歸納可得F＋V－E＝2.答案：F＋V－E＝2類比推理的應(yīng)用[典例]如圖所示，在△ABC中，射影定理可表示為a=b·cosC+c·cosB，其中a，b，c分別為角A，B，C的對邊，類比上述定理，寫出對空間四面體性質(zhì)的猜想．[解]如圖所示，在四面體P-ABC中，S1，S2，S3，S分別表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面積，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA與底面ABC所成二面角的大?。覀儾孪肷溆岸ɡ眍惐韧评淼饺S空間，其表現(xiàn)形式應(yīng)為S=S1·cosα+S2·cosβ+S3·cosγ.1．類比推理的步驟(1)找出兩類對象之間可以確切表述的相似性(或一致性)．(2)用一類對象的性質(zhì)去推測另一類對象的性質(zhì)，從而得出一個(gè)猜想．(3)檢驗(yàn)這個(gè)猜想．2．平面圖形與空間圖形類比如下平面圖形空間圖形點(diǎn)線線面圓球三角形四面體線線角二面角邊長面積周長表面積面積體積……[活學(xué)活用]1．在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，則＝eq\f(1,2)(+)，將命題類比到四面體中去，得到一個(gè)命題為：______________________________________.解析：平面中線段的中點(diǎn)類比到空間為四面體中面的重心，頂點(diǎn)與中點(diǎn)的連線類比頂點(diǎn)和重心的連線．答案：在四面體A-BCD中，G是△BCD的重心，則AG→＝eq\f(1,3)(++)2．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，則cos2A＋cos2B＝1，在空間中，給出四面體性質(zhì)的猜想．解：如圖，在Rt△ABC中，cos2A＋cos2B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))2＝eq\f(a2＋b2,c2)＝1.于是把結(jié)論類比到四面體P-A′B′C′中，我們猜想，三棱錐P-A′B′C′中，若三個(gè)側(cè)面PA′B′，PB′C′，PC′A′兩兩互相垂直，且分別與底面所成的角為α，β，γ，則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1．觀察圖形規(guī)律，在其右下角的空格內(nèi)畫上合適的圖形為()A. B．△C. D．○解析：選A觀察可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：①每行、每列中，方、圓、三角三種形狀均各出現(xiàn)一次，②每行、每列有兩陰影一空白，即得結(jié)果．2．下面幾種推理是合情推理的是()①由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)；②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180°，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180°；③教室內(nèi)有一把椅子壞了，則猜想該教室內(nèi)的所有椅子都壞了；④三角形內(nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°，五邊形內(nèi)角和是540°，由此得出凸n邊形的內(nèi)角和是(n－2)·180°(n∈N*，且n≥3)．A．①② B．①③④C．①②④ D．②④解析：選C①是類比推理；②④是歸納推理，∴①②④都是合情推理．3．在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4，類似地，在空間內(nèi)，若兩個(gè)正四面體的棱長的比為1∶2，則它們的體積比為()A．1∶2 B．1∶4C．1∶8 D．1∶16解析：選C由平面和空間的知識，可知面積之比與邊長之比成平方關(guān)系，在空間中體積之比與棱長之比成立方關(guān)系，故若兩個(gè)正四面體的棱長的比為1∶2，則它們的體積之比為1∶8.4．類比平面內(nèi)“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的性質(zhì)，可推出下列空間結(jié)論：①垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；②垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行；③垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行；④垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行，則其中正確的結(jié)論是()A．①② B．②③C．③④ D．①④解析：選B根據(jù)立體幾何中線面之間的位置關(guān)系及有關(guān)定理知，②③是正確的結(jié)論．5．觀察下列各等式：eq\f(2,2－4)＋eq\f(6,6－4)＝2，eq\f(5,5－4)＋eq\f(3,3－4)＝2，eq\f(7,7－4)＋eq\f(1,1－4)＝2，eq\f(10,10－4)＋eq\f(－2,－2－4)＝2，依照以上各式成立的規(guī)律，得到一般性的等式為()A.eq\f(n,n－4)＋eq\f(8－n,(8－n)－4)＝2B.eq\f(n＋1,(n＋1)－4)＋eq\f((n＋1)＋5,(n＋1)－4)＝2C.eq\f(n,n－4)＋eq\f(n＋4,(n＋4)－4)＝2D.eq\f(n＋1,(n＋1)－4)＋eq\f(n＋5,(n＋5)－4)＝2解析：選A觀察發(fā)現(xiàn)：每個(gè)等式的右邊均為2，左邊是兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加，分子之和等于8，分母中被減數(shù)與分子相同，減數(shù)都是4，因此只有A正確．6．觀察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此規(guī)律，第n個(gè)等式為________．解析：觀察所給等式，等式左邊第一個(gè)加數(shù)與行數(shù)相同，加數(shù)的個(gè)數(shù)為2n－1，故第n行等式左邊的數(shù)依次是n，n＋1，n＋2，…，(3n－2)；每一個(gè)等式右邊的數(shù)為等式左邊加數(shù)個(gè)數(shù)的平方，從而第n個(gè)等式為n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)27．我們知道：周長一定的所有矩形中，正方形的面積最大；周長一定的所有矩形與圓中，圓的面積最大，將這些結(jié)論類比到空間，可以得到的結(jié)論是_______________________．解析：平面圖形與立體圖形的類比：周長→表面積，正方形→正方體，面積→體積，矩形→長方體，圓→球．答案：表面積一定的所有長方體中，正方體的體積最大；表面積一定的所有長方體和球中，球的體積最大8．如圖(甲)是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(簡稱ICME－7)的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖(乙)的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把圖(乙)中的直角三角形依此規(guī)律繼續(xù)作下去，記OA1，OA2，…，OAn，…的長度構(gòu)成數(shù)列{an}，則此數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝__________.解析：根據(jù)OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1和圖(乙)中的各直角三角形，由勾股定理，可得a1＝OA1＝1，a2＝OA2＝eq\r(OA\o\al(2,1)＋A1A\o\al(2,2))＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，a3＝OA3＝eq\r(OA\o\al(2,2)＋A2A\o\al(2,3))＝eq\r((\r(2))2＋12)＝eq\r(3)，…，故可歸納推測出an＝eq\r(n).答案：eq\r(n)9．在平面內(nèi)觀察：凸四邊形有2條對角線，凸五邊形有5條對角線，凸六邊形有9條對角線，…，由此猜想凸n邊形有幾條對角線？解：因?yàn)橥顾倪呅斡?條對角線，凸五邊形有5條對角線，比凸四邊形多3條；凸六邊形有9條對角線，比凸五邊形多4條，…，于是猜想凸n邊形的對角線條數(shù)比凸(n－1)邊形多(n－2)條對角線，由此凸n邊形的對角線條數(shù)為2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)，由等差數(shù)列求和公式可得eq\f(1,2)n(n－3)(n≥4，n∈N*)．所以凸n邊形的對角線條數(shù)為eq\f(1,2)n(n－3)(n≥4，n∈N*)．10．已知f(x)＝eq\f(1,3x＋\r(3))，分別求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并證明你的結(jié)論．解：f(x)＝eq\f(1,3x＋\r(3))，所以f(0)＋f(1)＝eq\f(1,30＋\r(3))＋eq\f(1,31＋\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，f(－1)＋f(2)＝eq\f(1,3－1＋\r(3))＋eq\f(1,32＋\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，f(－2)＋f(3)＝eq\f(1,3－2＋\r(3))＋eq\f(1,33＋\r(3))＝eq\f(\r(3),3).歸納猜想一般性結(jié)論；f(－x)＋f(x＋1)＝eq\f(\r(3),3).證明如下：f(－x)＋f(x＋1)＝eq\f(1,3－x＋\r(3))＋eq\f(1,3x＋1＋\r(3))＝eq\f(3x,1＋\r(3)·3x)＋eq\f(1,3x＋1＋\r(3))＝eq\f(\r(3)·3x,\r(3)＋3x＋1)＋eq\f(1,3x＋1＋\r(3))＝eq\f(\r(3)·3x＋1,\r(3)＋3x＋1)＝eq\f(\r(3)·3x＋1,\r(3)(1＋\r(3)·3x))＝eq\f(\r(3),3).層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1．由代數(shù)式的乘法法則類比得到向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：①“mn＝nm”類比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”類比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt?m＝x”類比得到“p≠0，a·p＝x·p?a＝x”；⑤“|m·n|＝|m|·|n|”類比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“eq\f(ac,bc)＝eq\f(a,b)”類比得到“eq\f(a·c,b·c)＝eq\f(a,b)”．其中類比結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選B由向量的有關(guān)運(yùn)算法則知①②正確，③④⑤⑥都不正確，故應(yīng)選B.2．類比三角形中的性質(zhì)：(1)兩邊之和大于第三邊；(2)中位線長等于底邊長的一半；(3)三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)．可得四面體的對應(yīng)性質(zhì)：(1)任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積；(2)過四面體的交于同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)的平面面積等于該頂點(diǎn)所對的面面積的eq\f(1,4)；(3)四面體的六個(gè)二面角的平分面交于一點(diǎn)．其中類比推理方法正確的有()A．(1) B．(1)(2)C．(1)(2)(3) D．都不對解析：選C以上類比推理方法都正確，需注意的是類比推理得到的結(jié)論是否正確與類比推理方法是否正確并不等價(jià)，方法正確結(jié)論也不一定正確．3．觀察下列式子：1＋eq\f(1,22)＜eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＜eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＜eq\f(7,4)，…，根據(jù)以上式子可以猜想：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,20172)＜()A.eq\f(4031,2017) B.eq\f(4032,2017)C.eq\f(4033,2017) D.eq\f(4034,2017)解析：選C觀察可以發(fā)現(xiàn)，第n(n≥2)個(gè)不等式左端有n＋1項(xiàng)，分子為1，分母依次為12,22,32，…，(n＋1)2；右端分母為n＋1，分子成等差數(shù)列，首項(xiàng)為3，公差為2，因此第n個(gè)不等式為1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,(n＋1)2)＜eq\f(2n＋1,n＋1)，所以當(dāng)n＝2016時(shí)不等式為：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,20172)＜eq\f(4033,2017).4．設(shè)△ABC的三邊長分別為a，b，c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝eq\f(2S,a＋b＋c)；類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體P-ABC的四個(gè)面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球的半徑為r，四面體P-ABC的體積為V，則r＝()A.eq\f(V,S1＋S2＋S3＋S4) B.eq\f(2V,S1＋S2＋S3＋S4)C.eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4) D.eq\f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)解析：選C將△ABC的三條邊長a，b，c類比到四面體P-ABC的四個(gè)面面積S1，S2，S3，S4，將三角形面積公式中系數(shù)eq\f(1,2)，類比到三棱錐體積公式中系數(shù)eq\f(1,3)，從而可知選C.證明如下：以四面體各面為底，內(nèi)切球心O為頂點(diǎn)的各三棱錐體積的和為V，∴V＝eq\f(1,3)S1r＋eq\f(1,3)S2r＋eq\f(1,3)S3r＋eq\f(1,3)S4r，∴r＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4).5．觀察下圖中各正方形圖案，每條邊上有n(n≥2)個(gè)圓圈，每個(gè)圖案中圓圈的總數(shù)是S，按此規(guī)律推出S與n的關(guān)系式為____________．解析：每條邊上有2個(gè)圓圈時(shí)共有S＝4個(gè)；每條邊上有3個(gè)圓圈時(shí)，共有S＝8個(gè)；每條邊上有4個(gè)圓圈時(shí)，共有S＝12個(gè)．可見每條邊上增加一個(gè)點(diǎn)，則S增加4，∴S與n的關(guān)系為S＝4(n－1)(n≥2)．答案：S＝4(n－1)(n≥2)6．可以運(yùn)用下面的原理解決一些相關(guān)圖形的面積問題：如果與一固定直線平行的直線被甲、乙兩個(gè)封閉的圖形所截得的線段的比都為k，那么甲的面積是乙的面積的k倍．你可以從給出的簡單圖形①、②中體會這個(gè)原理．現(xiàn)在圖③中的兩個(gè)曲線的方程分別是eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)與x2＋y2＝a2，運(yùn)用上面的原理，圖③中橢圓的面積為______________．解析：由于橢圓與圓截y軸所得線段之比為eq\f(b,a)，即k＝eq\f(b