2019年某地高三模擬考試數(shù)學試題一、試題整體評價2019年某地高三模擬數(shù)學試題嚴格遵循《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》與高考考綱要求，聚焦“核心素養(yǎng)”考查，突出“能力導向”，兼顧基礎與創(chuàng)新，充分體現(xiàn)了當前高考數(shù)學的命題趨勢。試題整體呈現(xiàn)以下三個特點：1.**遵循考綱，聚焦核心素養(yǎng)**試題覆蓋了函數(shù)與導數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何、概率統(tǒng)計六大主干模塊，以及選考內(nèi)容（參數(shù)方程與極坐標、不等式選講），每個模塊的考查均圍繞“數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析”六大核心素養(yǎng)展開。例如，函數(shù)導數(shù)題考查邏輯推理與數(shù)學運算，概率統(tǒng)計題考查數(shù)學建模與數(shù)據(jù)分析，解析幾何題考查直觀想象與代數(shù)運算。2.**注重基礎，兼顧能力梯度**試題難度分布合理，基礎題（如選擇題1-8、填空題13-15）占比約60%，重點考查基本概念、公式與運算（如三角函數(shù)的恒等變換、等差數(shù)列求和、立體幾何線面位置關系）；中檔題（如選擇題9-11、填空題16、解答題17-19）占比約30%，考查知識的綜合應用與思維的靈活性；壓軸題（如選擇題12、解答題20-21）占比約10%，考查高階思維能力（如分類討論、函數(shù)與方程思想），區(qū)分度明顯。3.**聯(lián)系實際，滲透應用意識**試題注重數(shù)學與實際生活的聯(lián)系，如概率統(tǒng)計題以“商場商品銷售量與價格關系”為背景，考查線性回歸分析與利潤最大化問題；函數(shù)題以“指數(shù)函數(shù)不等式”為載體，考查數(shù)學建模與不等式證明。這類題目要求學生從實際問題中提取數(shù)學信息，建立數(shù)學模型，解決實際問題，體現(xiàn)了“數(shù)學來源于生活，服務于生活”的理念。二、各模塊考查特點分析（一）函數(shù)與導數(shù)：核心地位突出，強調(diào)思維深度函數(shù)與導數(shù)是高考數(shù)學的核心模塊，本次模擬題中占比約25%（如選擇題10、12，解答題21）?？疾橹攸c包括：導數(shù)的幾何意義：如第10題考查曲線在某點處的切線方程，要求掌握導數(shù)的幾何意義及切線方程的求法；函數(shù)的單調(diào)性與極值：如第21題第1問，通過求導分析函數(shù)單調(diào)性，考查分類討論思想（對參數(shù)a的取值范圍進行討論）；函數(shù)零點與不等式：如第21題第2問，通過函數(shù)極值判斷零點個數(shù)，第3問通過構(gòu)造不等式證明數(shù)列求和不等式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想。典型特點：試題設計層層遞進，從基礎的導數(shù)計算到復雜的分類討論，再到不等式證明，逐步提升思維難度，要求學生具備較強的邏輯推理與運算能力。（二）三角函數(shù)與解三角形：注重基礎應用，強調(diào)運算能力三角函數(shù)與解三角形模塊占比約15%（如選擇題3、解答題17）?？疾橹攸c包括：三角恒等變換：如第3題考查正弦、余弦的倍角公式與和角公式，要求熟練掌握三角恒等變換的基本方法；正弦定理與余弦定理：如第17題考查解三角形，要求利用正弦定理求邊長，利用余弦定理求角，考查運算能力與方程思想；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)：如選擇題某題考查正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性與最值，要求掌握三角函數(shù)的圖像特征。典型特點：試題注重基礎，強調(diào)運算的準確性，如解三角形時容易因公式記錯或計算錯誤失分，要求學生加強運算訓練。（三）數(shù)列：聚焦通性通法，強調(diào)邏輯推理數(shù)列模塊占比約10%（如填空題14、解答題18）?？疾橹攸c包括：等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項與求和：如第14題考查等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，要求掌握基本量（首項、公差/公比）的求解方法；遞推數(shù)列：如第18題考查遞推數(shù)列的通項公式，要求利用累加法或構(gòu)造等比數(shù)列求解，考查邏輯推理能力；數(shù)列求和：如第18題第2問考查錯位相減法求和，要求掌握數(shù)列求和的常用方法。典型特點：試題注重通性通法，避免偏題怪題，要求學生掌握數(shù)列的基本概念與方法，提升邏輯推理能力。（四）立體幾何：兼顧傳統(tǒng)與向量，強調(diào)空間想象立體幾何模塊占比約15%（如選擇題6、解答題19）?？疾橹攸c包括：線面位置關系：如第6題考查線面平行、垂直的判定，要求掌握傳統(tǒng)幾何方法（如中位線定理、面面平行性質(zhì)）；空間角與體積：如第19題考查二面角的求法，要求掌握向量方法（建立空間直角坐標系，求法向量），考查空間想象能力與向量運算；三視圖：如選擇題某題考查三視圖與幾何體體積，要求通過三視圖還原幾何體，考查直觀想象素養(yǎng)。典型特點：試題兼顧傳統(tǒng)幾何與向量方法，要求學生既能用傳統(tǒng)方法證明線面關系，又能用電向量方法計算空間角，提升空間想象與運算能力。（五）解析幾何：注重幾何直觀，強調(diào)代數(shù)運算解析幾何模塊占比約15%（如選擇題8、解答題20）?？疾橹攸c包括：圓錐曲線的方程與性質(zhì)：如第8題考查橢圓的離心率，要求掌握橢圓的基本性質(zhì)（a2=b2+c2）；直線與圓錐曲線的位置關系：如第20題考查直線與拋物線的位置關系，要求聯(lián)立方程，利用韋達定理求弦長，考查代數(shù)運算與幾何直觀的結(jié)合；軌跡方程：如第20題第1問考查拋物線的軌跡方程，要求掌握軌跡方程的求法（定義法、直接法）。典型特點：試題強調(diào)代數(shù)運算的準確性，如聯(lián)立方程后的韋達定理應用、弦長公式的計算，容易因運算錯誤失分，要求學生加強運算訓練，提升代數(shù)運算能力。（六）概率統(tǒng)計：聯(lián)系實際，強調(diào)數(shù)據(jù)分析概率統(tǒng)計模塊占比約15%（如選擇題7、解答題18）?？疾橹攸c包括：古典概型與頻率分布：如第7題考查古典概型的概率計算，要求掌握基本事件的計數(shù)方法；線性回歸分析：如第18題考查線性回歸方程的求法與預測，要求掌握協(xié)方差、方差的計算，以及線性回歸方程的應用；統(tǒng)計圖表：如選擇題某題考查頻率分布直方圖，要求掌握頻率、頻數(shù)的計算。典型特點：試題聯(lián)系實際，如“商場商品銷售量與價格關系”“學生成績統(tǒng)計”等背景，要求學生從實際問題中提取數(shù)據(jù)，進行分析與建模，考查數(shù)據(jù)分析與數(shù)學建模素養(yǎng)。（七）選考內(nèi)容：注重基礎，強調(diào)轉(zhuǎn)化選考內(nèi)容（參數(shù)方程與極坐標、不等式選講）占比約10%（如解答題22、23）?？疾橹攸c包括：參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化：如第22題考查圓的參數(shù)方程與直線的普通方程的轉(zhuǎn)化，要求掌握參數(shù)方程與普通方程的互化方法；極坐標方程的應用：如第22題考查極坐標下的距離計算，要求掌握極坐標與直角坐標的互化；絕對值不等式的解法：如第23題考查絕對值不等式的解法（零點分段法），要求掌握絕對值不等式的基本解法。典型特點：試題注重基礎，強調(diào)轉(zhuǎn)化思想，如將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，將極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程，將絕對值不等式轉(zhuǎn)化為分段不等式，要求學生掌握轉(zhuǎn)化的基本方法。三、典型試題深度解析（一）函數(shù)與導數(shù)壓軸題（第21題）題目：已知函數(shù)\(f(x)=e^x-ax-1\)（\(a\in\mathbb{R}\)）。（1）討論\(f(x)\)的單調(diào)性；（2）若\(f(x)\geq0\)對所有\(zhòng)(x\in\mathbb{R}\)成立，求\(a\)的值；（3）證明：對于任意正整數(shù)\(n\)，\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}>\ln(n+1)\)。解析：（1）討論單調(diào)性：求導得\(f'(x)=e^x-a\)。當\(a\leq0\)時，\(e^x>0\)，故\(f'(x)=e^x-a>0\)，\(f(x)\)在\(\mathbb{R}\)上單調(diào)遞增；當\(a>0\)時，令\(f'(x)=0\)，得\(x=\lna\)。當\(x<\lna\)時，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞減；當\(x>\lna\)時，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞增。易錯點：忽略\(a\leq0\)的情況，直接討論\(a>0\)，導致分類不全面。（2）求\(a\)的值：由（1）知，當\(a\leq0\)時，\(f(x)\)在\(\mathbb{R}\)上單調(diào)遞增，但\(f(-1)=e^{-1}+a-1<0\)（因\(a\leq0\)，\(e^{-1}<1\)），不符合\(f(x)\geq0\)；當\(a>0\)時，\(f(x)\)在\(x=\lna\)處取得最小值\(f(\lna)=a-a\lna-1\)。要求\(f(\lna)\geq0\)，令\(g(a)=a-a\lna-1\)，求導得\(g'(a)=-\lna\)。當\(0<a<1\)時，\(g'(a)>0\)，\(g(a)\)單調(diào)遞增；當\(a=1\)時，\(g'(a)=0\)，\(g(a)\)取得最大值\(g(1)=0\)；當\(a>1\)時，\(g'(a)<0\)，\(g(a)\)單調(diào)遞減。故只有\(zhòng)(a=1\)時，\(g(a)=0\)，即\(f(x)\geq0\)對所有\(zhòng)(x\in\mathbb{R}\)成立。易錯點：不會構(gòu)造\(g(a)\)函數(shù)求極值，或忘記驗證\(a\leq0\)的情況。（3）證明不等式：由（2）知，當\(a=1\)時，\(e^x\geqx+1\)（\(x\in\mathbb{R}\)）。當\(x>0\)時，兩邊取對數(shù)得\(x\geq\ln(x+1)\)（當且僅當\(x=0\)時取等號）。令\(x=\frac{1}{k}\)（\(k\in\mathbb{N}^*\)），則\(\frac{1}{k}>\ln\left(1+\frac{1}{k}\right)=\ln(k+1)-\lnk\)。累加得：\(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}>(\ln2-\ln1)+(\ln3-\ln2)+\cdots+(\ln(n+1)-\lnn)=\ln(n+1)\)。易錯點：用錯不等式方向（如寫成\(\ln(x+1)\geqx\)），或不會選擇合適的變量替換（如\(x=\frac{1}{k}\)）。（二）概率統(tǒng)計應用問題（第18題）題目：某商場為研究某商品的銷售量\(y\)（件）與價格\(x\)（元）之間的關系，收集了最近5個月的數(shù)據(jù)：\((10,20)\)、\((15,18)\)、\((20,15)\)、\((25,12)\)、\((30,10)\)。（1）求\(y\)關于\(x\)的線性回歸方程；（2）預測當價格為35元時，銷售量為多少；（3）若該商品的成本為8元，求利潤\(L\)關于價格\(x\)的函數(shù)關系式，并求當價格為多少時，利潤最大。解析：（1）求線性回歸方程：計算均值：\(\bar{x}=20\)，\(\bar{y}=15\)。協(xié)方差：\(\sum_{i=1}^5(x_i-20)(y_i-15)=(-10)(5)+(-5)(3)+(0)(0)+(5)(-3)+(10)(-5)=-130\)。方差：\(\sum_{i=1}^5(x_i-20)^2=100+25+0+25+100=250\)?；貧w系數(shù)：\(b=\frac{-130}{250}=-0.52\)，\(a=15-(-0.52)\times20=25.4\)。故線性回歸方程為\(y=-0.52x+25.4\)。易錯點：協(xié)方差或方差計算錯誤，如符號錯誤或數(shù)值計算錯誤。（2）預測銷售量：當\(x=35\)時，\(y=-0.52\times35+25.4=7.2\)，預測銷售量為7件左右。易錯點：忘記將預測值取整數(shù)（銷售量為整數(shù)）。（3）求利潤最大值：利潤\(L=(x-8)y=(x-8)(-0.52x+25.4)=-0.52x^2+29.56x-203.2\)。二次函數(shù)開口向下，對稱軸為\(x=-\frac{29.56}{2\times(-0.52)}\approx28.42\)。故當價格約為28.42元時，利潤最大。易錯點：利潤函數(shù)構(gòu)造錯誤（如忘記乘以\(x-8\)），或?qū)ΨQ軸計算時符號錯誤。四、備考啟示1.**重視基礎，落實基本概念與公式**模擬題中基礎題占比約60%，如三角函數(shù)的恒等變換、數(shù)列的通項與求和、立體幾何的線面位置關系等，均考查基本概念與公式。學生應回歸教材，扎實掌握基本知識點，避免因概念模糊或公式記錯失分。2.**加強思維訓練，提升邏輯推理與運算能力**中檔題與壓軸題考查思維能力，如函數(shù)導數(shù)題的分類討論、解析幾何題的代數(shù)運算、概率統(tǒng)計題的數(shù)據(jù)分析等。學生應通過針對性練習，提升邏輯推