中學(xué)數(shù)學(xué)立體幾何專題復(fù)習(xí)資料一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)與度量立體幾何的基礎(chǔ)是空間幾何體的分類與特征，核心是表面積與體積的計(jì)算。本部分需重點(diǎn)掌握柱、錐、臺(tái)、球的定義及度量公式，尤其注意組合體的分解與轉(zhuǎn)化。1.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征空間幾何體分為多面體（由平面多邊形圍成）和旋轉(zhuǎn)體（由平面圖形繞定軸旋轉(zhuǎn)而成）。（1）多面體的定義與特征幾何體定義關(guān)鍵特征棱柱有兩個(gè)面互相平行（底面），其余各面（側(cè)面）都是四邊形，且相鄰側(cè)面的公共邊（側(cè)棱）互相平行側(cè)棱平行且相等；底面全等；側(cè)面為平行四邊形棱錐有一個(gè)面（底面）是多邊形，其余各面（側(cè)面）都是有公共頂點(diǎn)（頂點(diǎn)）的三角形側(cè)棱交于一點(diǎn)；底面為多邊形；側(cè)面為三角形棱臺(tái)用平行于棱錐底面的平面截棱錐，底面與截面之間的部分側(cè)棱延長(zhǎng)交于一點(diǎn)；上下底面相似；側(cè)面為梯形易錯(cuò)點(diǎn)：棱柱的“側(cè)棱互相平行”是核心條件，若僅底面平行但側(cè)棱不平行，則不是棱柱（如“斜棱柱”是棱柱，但“擬柱體”不是）；棱臺(tái)的“上下底面相似”是由截法決定的，若上下底面全等，則退化為棱柱。（2）旋轉(zhuǎn)體的定義與特征幾何體旋轉(zhuǎn)生成方式關(guān)鍵特征圓柱矩形繞一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周軸截面為矩形；母線平行且相等；底面為等圓圓錐直角三角形繞一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周軸截面為等腰三角形；母線交于頂點(diǎn)；底面為圓圓臺(tái)直角梯形繞垂直于底邊的腰所在直線旋轉(zhuǎn)一周軸截面為等腰梯形；母線延長(zhǎng)交于一點(diǎn)；上下底面為等圓球半圓繞直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周任意截面為圓；球心到球面距離相等（半徑）注：旋轉(zhuǎn)體的“軸”是旋轉(zhuǎn)軸，“母線”是旋轉(zhuǎn)過程中動(dòng)邊的軌跡（如圓柱的母線是矩形的對(duì)邊，圓錐的母線是直角三角形的斜邊）。1.2空間幾何體的表面積與體積（1）基本公式幾何體表面積公式（S）體積公式（V）棱柱\(S=2S_{\text{底}}+S_{\text{側(cè)}}\)（側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×高）\(V=S_{\text{底}}\timesh\)（h為高）棱錐\(S=S_{\text{底}}+S_{\text{側(cè)}}\)（側(cè)面積=各側(cè)面三角形面積之和）\(V=\frac{1}{3}S_{\text{底}}\timesh\)（h為頂點(diǎn)到底面的距離）棱臺(tái)\(S=S_{\text{上底}}+S_{\text{下底}}+S_{\text{側(cè)}}\)（側(cè)面積=各側(cè)面梯形面積之和）\(V=\frac{1}{3}h(S_{\text{上底}}+S_{\text{下底}}+\sqrt{S_{\text{上底}}S_{\text{下底}}})\)（h為上下底面距離）圓柱\(S=2\pir^2+2\pirh\)（側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×高=2πrh）\(V=\pir^2h\)（r為底面半徑，h為高）圓錐\(S=\pir^2+\pirl\)（側(cè)面積=πrl，l為母線長(zhǎng)）\(V=\frac{1}{3}\pir^2h\)（h為高，\(l=\sqrt{r^2+h^2}\)）圓臺(tái)\(S=\pir^2+\piR^2+\pil(r+R)\)（側(cè)面積=πl(wèi)(r+R)，l為母線長(zhǎng)）\(V=\frac{1}{3}\pih(r^2+R^2+rR)\)（r、R為上下底面半徑，h為高）球\(S=4\piR^2\)（R為球半徑）\(V=\frac{4}{3}\piR^3\)（2）組合體的處理策略組合體分為拼接型（如兩個(gè)棱柱拼接）和挖去型（如圓柱中挖去圓錐），計(jì)算時(shí)遵循“整體減部分”或“部分加整體”的原則。例：一個(gè)底面半徑為\(r\)、高為\(h\)的圓柱，挖去一個(gè)同底等高的圓錐，求剩余部分體積。解：剩余體積=圓柱體積-圓錐體積=\(\pir^2h-\frac{1}{3}\pir^2h=\frac{2}{3}\pir^2h\)。二、點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系本部分是立體幾何的核心邏輯層，需掌握基本公理（立體幾何的“公理體系”）、平行關(guān)系（線線平行→線面平行→面面平行）、垂直關(guān)系（線線垂直→線面垂直→面面垂直）的判定與性質(zhì)。2.1基本公理與推論公理是立體幾何的“基石”，無需證明，需準(zhǔn)確記憶。公理內(nèi)容推論公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)（線在面內(nèi)的判定）——公理2過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面（平面的確定）①過直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；

②過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；

③過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線（面面交線）——公理4（平行公理）平行于同一條直線的兩條直線互相平行（線線平行的傳遞性）——注：公理2及其推論是“確定平面”的關(guān)鍵，常用于證明“點(diǎn)共面”或“線共面”問題。2.2平行關(guān)系的判定與性質(zhì)平行關(guān)系的核心是“線面平行”與“面面平行”的轉(zhuǎn)化，需掌握以下定理：（1）線線平行判定：①公理4（平行傳遞）；②線面平行的性質(zhì)（線面平行→線線平行）；③面面平行的性質(zhì)（面面平行→線線平行）。性質(zhì)：平行直線的傳遞性、同位角相等（平面幾何結(jié)論可推廣到空間）。（2）線面平行判定定理：平面外一條直線與平面內(nèi)一條直線平行，則該直線與該平面平行（關(guān)鍵條件：平面外、平面內(nèi)、線線平行）。符號(hào)：\(a\not\subset\alpha,b\subset\alpha,a\parallelb\Rightarrowa\parallel\alpha\)。性質(zhì)定理：一條直線與一個(gè)平面平行，過該直線的平面與該平面相交，則該直線與交線平行（關(guān)鍵條件：線面平行、過線作面、面面交線）。符號(hào)：\(a\parallel\alpha,a\subset\beta,\alpha\cap\beta=b\Rightarrowa\parallelb\)。例：在正方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(E\)為\(AB\)中點(diǎn)，\(F\)為\(A_1D_1\)中點(diǎn)，證明\(EF\parallel\)平面\(BCC_1B_1\)。證明（幾何法）：取\(B_1C_1\)中點(diǎn)\(G\)，連接\(BG\)、\(FG\)。由正方體性質(zhì)，\(FG\parallelA_1B_1\parallelAB\)，且\(FG=A_1B_1=AB\)；\(E\)為\(AB\)中點(diǎn)，故\(BE=\frac{1}{2}AB=FG\)，且\(BE\parallelFG\)；因此四邊形\(BEFG\)為平行四邊形，故\(EF\parallelBG\)；又\(BG\subset\)平面\(BCC_1B_1\)，\(EF\not\subset\)平面\(BCC_1B_1\)，故\(EF\parallel\)平面\(BCC_1B_1\)。（3）面面平行判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行（關(guān)鍵條件：平面內(nèi)、兩條相交、線面平行）。符號(hào)：\(a\subset\alpha,b\subset\alpha,a\capb=P,a\parallel\beta,b\parallel\beta\Rightarrow\alpha\parallel\beta\)。性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行（關(guān)鍵條件：面面平行、與第三面相交、交線平行）。符號(hào)：\(\alpha\parallel\beta,\alpha\cap\gamma=a,\beta\cap\gamma=b\Rightarrowa\parallelb\)。易錯(cuò)點(diǎn)：線面平行的判定中，“平面外”的條件不能省略（若直線在平面內(nèi)，即使與平面內(nèi)直線平行，也不滿足線面平行）；面面平行的判定中，“兩條相交直線”的條件不能省略（若兩條直線平行，即使都與另一個(gè)平面平行，也不能保證面面平行）。2.3垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)垂直關(guān)系的核心是“線面垂直”與“面面垂直”的轉(zhuǎn)化，需掌握以下定理：（1）線線垂直判定：①線面垂直的性質(zhì)（線面垂直→線線垂直）；②面面垂直的性質(zhì)（面面垂直→線線垂直）；③勾股定理（空間線段長(zhǎng)度滿足\(a^2+b^2=c^2\)）。性質(zhì)：垂直于同一直線的兩條直線不一定平行（空間中需注意“異面垂直”）。（2）線面垂直判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與該平面垂直（關(guān)鍵條件：兩條相交、都垂直）。符號(hào)：\(l\perpa,l\perpb,a\subset\alpha,b\subset\alpha,a\capb=P\Rightarrowl\perp\alpha\)。性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行（線面垂直的傳遞性）。符號(hào)：\(a\perp\alpha,b\perp\alpha\Rightarrowa\parallelb\)。（3）面面垂直判定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直（關(guān)鍵條件：過垂線、面面垂直）。符號(hào)：\(l\perp\alpha,l\subset\beta\Rightarrow\alpha\perp\beta\)。性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直（關(guān)鍵條件：面面垂直、平面內(nèi)、垂直交線）。符號(hào)：\(\alpha\perp\beta,\alpha\cap\beta=l,a\subset\alpha,a\perpl\Rightarrowa\perp\beta\)。例：在三棱錐\(P-ABC\)中，\(PA\perp\)底面\(ABC\)，\(AB\perpBC\)，證明\(BC\perp\)平面\(PAB\)。證明：\(PA\perp\)底面\(ABC\)，\(BC\subset\)底面\(ABC\)，故\(PA\perpBC\)；\(AB\perpBC\)，且\(PA\capAB=A\)，\(PA,AB\subset\)平面\(PAB\)；根據(jù)線面垂直判定定理，\(BC\perp\)平面\(PAB\)。易錯(cuò)點(diǎn)：線面垂直的判定中，“兩條相交直線”的條件不能省略（若兩條直線平行，即使都與直線垂直，也不能保證線面垂直）；面面垂直的性質(zhì)中，“平面內(nèi)”和“垂直交線”的條件不能省略（若直線不在平面內(nèi)或不垂直交線，即使面面垂直，也不能保證線面垂直）。三、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用空間向量是解決立體幾何問題的“工具”，尤其適用于求角（線面角、二面角）、求距離（點(diǎn)到平面距離）等問題。本部分需掌握空間直角坐標(biāo)系的建立、向量的坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用。3.1空間直角坐標(biāo)系的建立建立空間直角坐標(biāo)系的核心是選擇合適的原點(diǎn)與坐標(biāo)軸，需滿足：原點(diǎn)：通常選頂點(diǎn)、底面中心或?qū)ΨQ中心（如正方體的頂點(diǎn)、棱錐的頂點(diǎn)）；坐標(biāo)軸：通常選互相垂直的棱（如正方體的棱、長(zhǎng)方體的棱）或?qū)ΨQ軸（如圓柱的軸）。例：在正方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，以\(A\)為原點(diǎn)，\(AB\)為\(x\)軸，\(AD\)為\(y\)軸，\(AA_1\)為\(z\)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則各頂點(diǎn)坐標(biāo)為：\(A(0,0,0)\)，\(B(a,0,0)\)，\(C(a,a,0)\)，\(D(0,a,0)\)，\(A_1(0,0,a)\)，\(B_1(a,0,a)\)，\(C_1(a,a,a)\)，\(D_1(0,a,a)\)（\(a\)為正方體棱長(zhǎng)）。3.2空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)向量\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1,z_1)\)，\(\overrightarrow=(x_2,y_2,z_2)\)，則：加法：\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)\)；減法：\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)\)；數(shù)乘：\(\lambda\overrightarrow{a}=(\lambdax_1,\lambday_1,\lambdaz_1)\)（\(\lambda\in\mathbb{R}\)）；點(diǎn)積：\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|\cos\theta\)（\(\theta\)為\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)的夾角）；模長(zhǎng)：\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\)；夾角：\(\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}\)（\(\theta\in[0,\pi]\)）。3.3空間向量的應(yīng)用（1）線面角定義：直線與平面所成的角\(\theta\)（\(\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]\)），等于直線與平面法向量夾角的余角。公式：\(\sin\theta=|\cos\langle\overrightarrow{l},\overrightarrow{n}\rangle|=\frac{|\overrightarrow{l}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{l}||\overrightarrow{n}|}\)（\(\overrightarrow{l}\)為直線的方向向量，\(\overrightarrow{n}\)為平面的法向量）。（2）二面角定義：二面角的平面角\(\phi\)（\(\phi\in[0,\pi]\)），等于兩個(gè)平面法向量的夾角或其補(bǔ)角（需根據(jù)圖形判斷方向）。公式：\(\cos\phi=\pm\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}\)（\(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\)為兩個(gè)平面的法向量）。（3）點(diǎn)到平面距離定義：點(diǎn)\(P\)到平面\(\alpha\)的距離，等于點(diǎn)\(P\)與平面內(nèi)任意一點(diǎn)\(A\)的向量\(\overrightarrow{PA}\)在平面法向量\(\overrightarrow{n}\)上的投影絕對(duì)值。公式：\(d=\frac{|\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}\)（\(A\in\alpha\)，\(\overrightarrow{n}\)為\(\alpha\)的法向量）。例：在三棱錐\(P-ABC\)中，\(PA\perp\)底面\(ABC\)，\(AB=AC=1\)，\(\angleBAC=90^\circ\)，\(PA=2\)，求：（1）直線\(PB\)與平面\(ABC\)所成的角；（2）平面\(PBC\)與平面\(ABC\)所成的二面角；（3）點(diǎn)\(A\)到平面\(PBC\)的距離。解：（1）建立坐標(biāo)系：以\(A\)為原點(diǎn)，\(AB\)為\(x\)軸，\(AC\)為\(y\)軸，\(PA\)為\(z\)軸，坐標(biāo)為：\(A(0,0,0)\)，\(B(1,0,0)\)，\(C(0,1,0)\)，\(P(0,0,2)\)。（2）求直線\(PB\)與平面\(ABC\)所成的角：直線\(PB\)的方向向量\(\overrightarrow{PB}=(1,0,-2)\)；平面\(ABC\)的法向量\(\overrightarrow{n}=(0,0,1)\)（\(z\)軸方向）；\(\sin\theta=\frac{|\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PB}||\overrightarrow{n}|}=\frac{|0+0-2|}{\sqrt{1+0+4}\times1}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\)；故直線\(PB\)與平面\(ABC\)所成的角為\(\arcsin\frac{2\sqrt{5}}{5}\)。（3）求平面\(PBC\)與平面\(ABC\)所成的二面角：平面\(ABC\)的法向量\(\overrightarrow{n_1}=(0,0,1)\)；平面\(PBC\)的法向量：設(shè)\(\overrightarrow{n_2}=(x,y,z)\)，則\(\overrightarrow{n_2}\perp\overrightarrow{PB}\)，\(\overrightarrow{n_2}\perp\overrightarrow{PC}\)；\(\overrightarrow{PB}=(1,0,-2)\)，\(\overrightarrow{PC}=(0,1,-2)\)，故：\(x-2z=0\)，\(y-2z=0\)，取\(z=1\)，得\(\overrightarrow{n_2}=(2,2,1)\)；計(jì)算法向量夾角：\(\cos\phi=\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|0+0+1|}{1\times\sqrt{4+4+1}}=\frac{1}{3}\)；由圖形可知，二面角為銳角，故二面角大小為\(\arccos\frac{1}{3}\)。（4）求點(diǎn)\(A\)到平面\(PBC\)的距離：向量\(\overrightarrow{PA}=(0,0,-2)\)（點(diǎn)\(A\)到平面內(nèi)點(diǎn)\(P\)的向量）；平面\(PBC\)的法向量\(\overrightarrow{n_2}=(2,2,1)\)；距離\(d=\frac{|\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|0+0-2|}{\sqrt{4+4+1}}=\frac{2}{3}\)。四、專題訓(xùn)練（選講）1.結(jié)構(gòu)特征題題目：下列幾何體中，屬于棱柱的是（）A.底面是正方形，側(cè)面是三角形的幾何體B.底面是矩形，側(cè)面是平行四邊形的幾何體C.底面是六邊形，側(cè)面是五邊形的幾何體D.底面是三角形，側(cè)面是四邊形且側(cè)棱平行的幾何體答案：D（解析：棱柱的側(cè)面必須是平行四邊形，且側(cè)棱平行，D符合棱柱定義）。2.表面積體積題題目：一個(gè)圓錐的底面半徑為\(2\)，高為\(4\)，求其側(cè)面積與體積。答案：側(cè)面積\(=\pirl=\pi\times2\times\sqrt{2^2+4^2}=2\pi\times2\sqrt{5}=4\sqrt{5}\pi\)；體積\(=\frac{1}{3}\pir^2h=\frac{1}{3}\pi\times4\times4=\frac{16}{3}\pi\)。3.平行垂直證明題題目：在長(zhǎng)方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(E\)為\(DD_1\)中點(diǎn)，證明\(BD_1\parallel\)平面\(AEC\)。證明（向量法）：坐標(biāo)系：\(A(0,0,0)\)，\(B(a,0,0)\)，\(C(a,b,0)\)，\(D(0,b,0)\)，\(A_1(0,0,c)\)，\(D_1(0,b,c)\)，\(E(0,b,\frac{c}{2})\)；向量\(\overrightarrow{BD_1}=(-a,b,c)\)，平面\(AEC\)的法向量\(\overrightarrow{n}=\overrightarrow{AE}\times\overrightarrow{AC}=(0,b,\frac{c}{2})\times(a,b,0)=(-bc/2,ac/2,-ab)\)；計(jì)算\(\overrighta