概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)2019年自考真題解析一、引言《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》是自考理工類(lèi)、經(jīng)濟(jì)類(lèi)專(zhuān)業(yè)的核心課程之一，其內(nèi)容涵蓋“概率理論”（研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律）與“數(shù)理統(tǒng)計(jì)”（通過(guò)樣本推斷總體）兩大板塊。2019年自考真題延續(xù)了“重基礎(chǔ)、考應(yīng)用”的命題風(fēng)格，覆蓋了課程的核心知識(shí)點(diǎn)（如隨機(jī)事件概率、隨機(jī)變量分布、數(shù)字特征、參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)等），同時(shí)注重考查考生的邏輯推理與計(jì)算能力。本文以2019年自考真題為樣本，按“概率論”與“數(shù)理統(tǒng)計(jì)”分模塊解析，結(jié)合關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)、解題思路、易錯(cuò)點(diǎn)提示，幫助考生把握考點(diǎn)規(guī)律，提升解題能力。二、概率論部分真題解析概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)，2019年真題中概率論部分約占60%，重點(diǎn)考查“隨機(jī)事件與概率”“隨機(jī)變量及其分布”“數(shù)字特征”三大模塊。（一）隨機(jī)事件與概率：基礎(chǔ)概念與公式應(yīng)用核心考點(diǎn)：事件的關(guān)系（互斥、對(duì)立、獨(dú)立）、概率的基本公式（加法、乘法、條件概率、全概率、貝葉斯）。例1（2019年選擇題）設(shè)事件A與B互斥，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，則P(A∪B)=（）A.0.12B.0.3C.0.4D.0.7解析：1.關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)：互斥事件的定義（\(A\capB=\emptyset\)）及加法公式。2.解題思路：互斥事件的并集概率等于各事件概率之和，即\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)（因\(P(AB)=0\)）。3.計(jì)算過(guò)程：\(P(A\cupB)=0.3+0.4=0.7\)，選D。4.易錯(cuò)點(diǎn)提示：不要混淆“互斥”與“獨(dú)立”：獨(dú)立事件的并集概率為\(P(A)+P(B)-P(A)P(B)\)，而互斥事件\(P(AB)=0\)，故加法公式簡(jiǎn)化為和。對(duì)立事件是互斥的特例（\(A\cupB=\Omega\)且\(A\capB=\emptyset\)），此時(shí)\(P(\bar{A})=1-P(A)\)。（二）隨機(jī)變量及其分布：密度函數(shù)與分布函數(shù)的轉(zhuǎn)化核心考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量（概率質(zhì)量函數(shù)、分布函數(shù)）、連續(xù)型隨機(jī)變量（密度函數(shù)、分布函數(shù)）、常見(jiàn)分布（二項(xiàng)、泊松、正態(tài)、均勻、指數(shù)）。例2（2019年解答題）設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為：\[f(x)=\begin{cases}kx,&0<x<2\\0,&\text{其他}\end{cases}\]（1）求常數(shù)k；（2）求\(P(1<X<3)\)；（3）求E(X)。解析：（1）求k：關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)：密度函數(shù)的歸一化條件（\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\)）。解題步驟：\[\int_0^2kx\,dx=1\impliesk\cdot\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2=1\impliesk\cdot2=1\impliesk=0.5\]（2）求\(P(1<X<3)\)：關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)：連續(xù)型隨機(jī)變量概率的計(jì)算（區(qū)間積分）。解題步驟：由于\(x>2\)時(shí)\(f(x)=0\)，故：\[P(1<X<3)=\int_1^20.5x\,dx=0.5\cdot\left[\frac{x^2}{2}\right]_1^2=0.5\cdot(2-0.5)=0.75\]（3）求E(X)：關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)：連續(xù)型隨機(jī)變量期望的定義（\(E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\)）。解題步驟：\[E(X)=\int_0^2x\cdot0.5x\,dx=0.5\int_0^2x^2\,dx=0.5\cdot\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac{4}{3}\approx1.333\]易錯(cuò)點(diǎn)提示：密度函數(shù)的定義域限制：計(jì)算概率時(shí)，區(qū)間超出定義域的部分積分值為0，無(wú)需考慮；期望計(jì)算時(shí)，必須將\(x\)與\(f(x)\)相乘后再積分，不能直接積分\(f(x)\)（\(\intf(x)dx=1\)是歸一化條件，不是期望）。（三）數(shù)字特征：期望與方差的計(jì)算核心考點(diǎn)：期望（離散型\(E(X)=\sumx_ip_i\)、連續(xù)型\(E(X)=\intxf(x)dx\)）、方差（\(D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\)）、常見(jiàn)分布的數(shù)字特征（如正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)的期望為\(\mu\)，方差為\(\sigma^2\)）。例3（2019年填空題）設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且\(E(X^2)=6\)，則λ=________。解析：1.關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)：泊松分布的數(shù)字特征（\(E(X)=λ\)，\(D(X)=λ\)）及方差公式（\(D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\)）。2.解題思路：由泊松分布性質(zhì)，\(E(X)=λ\)，\(D(X)=λ\)，故：\[E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=λ+λ^2=6\]解方程\(λ^2+λ-6=0\)，得\(λ=2\)（\(λ=-3\)舍去，因參數(shù)λ>0）。3.答案：2易錯(cuò)點(diǎn)提示：不要混淆“期望的平方”（\([E(X)]^2\)）與“平方的期望”（\(E(X^2)\)）：方差是兩者的差，即\(D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\)。常見(jiàn)分布的數(shù)字特征需牢記（如二項(xiàng)分布\(B(n,p)\)：\(E(X)=np\)，\(D(X)=np(1-p)\)；指數(shù)分布\(E(X)=1/λ\)，\(D(X)=1/λ^2\)）。三、數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分真題解析數(shù)理統(tǒng)計(jì)是概率論的應(yīng)用，2019年真題中數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分約占40%，重點(diǎn)考查“參數(shù)估計(jì)”“假設(shè)檢驗(yàn)”兩大模塊。（一）參數(shù)估計(jì)：矩估計(jì)與極大似然估計(jì)核心考點(diǎn)：矩估計(jì)（用樣本矩估計(jì)總體矩）、極大似然估計(jì)（構(gòu)造似然函數(shù)，求其最大值點(diǎn)）。例4（2019年解答題）設(shè)總體X服從正態(tài)分布\(N(μ,σ^2)\)，其中μ未知，\(σ^2\)已知。\(X_1,X_2,...,X_n\)是來(lái)自總體X的樣本，求μ的矩估計(jì)量和極大似然估計(jì)量。解析：（1）矩估計(jì)量：關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)：矩估計(jì)的基本思想（樣本矩→總體矩）。解題步驟：總體一階原點(diǎn)矩（期望）\(E(X)=μ\)，樣本一階原點(diǎn)矩為樣本均值\(\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\)，故μ的矩估計(jì)量為：\[\hat{\mu}_{\text{矩}}=\bar{X}\]（2）極大似然估計(jì)量：關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)：極大似然估計(jì)的步驟（構(gòu)造似然函數(shù)→取對(duì)數(shù)→求導(dǎo)→解方程）。解題步驟：1.構(gòu)造似然函數(shù)：正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為\(f(x;μ)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-μ)^2}{2\sigma^2}}\)，故似然函數(shù)為：\[L(μ)=\prod_{i=1}^nf(X_i;μ)=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\right)^ne^{-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(X_i-μ)^2}\]2.取對(duì)數(shù)簡(jiǎn)化：\[\lnL(μ)=-n\ln(\sqrt{2\pi}\sigma)-\frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(X_i-μ)^2\]3.求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為0：對(duì)μ求導(dǎo)得：\[\frac{d\lnL(μ)}{dμ}=\frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n(X_i-μ)=0\]展開(kāi)求和項(xiàng)：\(\sum_{i=1}^nX_i-nμ=0\impliesμ=\bar{X}\)。4.結(jié)論：μ的極大似然估計(jì)量為：\[\hat{\mu}_{\text{ML}}=\bar{X}\]易錯(cuò)點(diǎn)提示：極大似然估計(jì)中，似然函數(shù)是樣本的聯(lián)合密度函數(shù)（連續(xù)型）或聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)（離散型），需正確構(gòu)造；對(duì)數(shù)變換不改變函數(shù)的極值點(diǎn)，可簡(jiǎn)化求導(dǎo)過(guò)程（如將乘積變?yōu)楹?、指?shù)變?yōu)橄禂?shù)）。（二）假設(shè)檢驗(yàn)：Z檢驗(yàn)與t檢驗(yàn)的應(yīng)用核心考點(diǎn)：假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟（提出假設(shè)→選擇統(tǒng)計(jì)量→確定拒絕域→計(jì)算統(tǒng)計(jì)量→作出判斷）、正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)（\(σ^2\)已知用Z檢驗(yàn)，\(σ^2\)未知用t檢驗(yàn)）。例5（2019年解答題）某工廠(chǎng)生產(chǎn)的零件長(zhǎng)度X服從正態(tài)分布\(N(μ,4)\)，其中μ為未知參數(shù)?，F(xiàn)從一批零件中隨機(jī)抽取16個(gè)，測(cè)得樣本均值\(\bar{X}=10.5\)，顯著性水平α=0.05，檢驗(yàn)假設(shè)：\[H_0:μ=10\quadvs\quadH_1:μ\neq10\]解析：關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)：正態(tài)總體均值的雙側(cè)檢驗(yàn)（\(σ^2\)已知時(shí)用Z檢驗(yàn)）。解題步驟：1.提出假設(shè)：\(H_0:μ=10\)（原假設(shè)，認(rèn)為均值為10）；\(H_1:μ\neq10\)（備擇假設(shè)，認(rèn)為均值不等于10）。2.選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：因\(σ^2=4\)已知，樣本均值\(\bar{X}\simN(μ,σ^2/n)\)，故檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：\[Z=\frac{\bar{X}-μ_0}{σ/\sqrt{n}}\simN(0,1)\quad(\text{當(dāng)}H_0\text{成立時(shí)})\]3.確定拒絕域：雙側(cè)檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)閈(|Z|\geqZ_{\alpha/2}\)，其中α=0.05，\(Z_{\alpha/2}=Z_{0.025}=1.96\)（查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表）。4.計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的值：代入數(shù)據(jù)：\(\bar{X}=10.5\)，\(μ_0=10\)，\(σ=2\)，\(n=16\)，得：\[Z=\frac{10.5-10}{2/\sqrt{16}}=1\]5.作出判斷：由于\(|Z|=1<1.96\)，落在接受域內(nèi)，故不拒絕原假設(shè)\(H_0\)，即認(rèn)為這批零件的平均長(zhǎng)度與10無(wú)顯著差異（α=0.05）。易錯(cuò)點(diǎn)提示：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的選擇：\(σ^2\)已知用Z檢驗(yàn)（統(tǒng)計(jì)量服從N(0,1)），\(σ^2\)未知用t檢驗(yàn)（統(tǒng)計(jì)量服從t(n-1)分布）；拒絕域的方向：雙側(cè)檢驗(yàn)用絕對(duì)值（\(|Z|\geqZ_{\alpha/2}\)），單側(cè)檢驗(yàn)（如\(H_1:μ>μ_0\)）用單邊不等式（\(Z\geqZ_{\alpha}\)）；顯著性水平α的理解：α是犯“拒真錯(cuò)誤”（拒絕正確的\(H_0\)）的概率，需根據(jù)題目要求選?。ㄍǔ＆?0.05或0.01）。四、備考建議結(jié)合2019年真題的命題特點(diǎn)，給出以下備考建議：（一）夯實(shí)基礎(chǔ)，把握核心知識(shí)點(diǎn)概率論：重點(diǎn)掌握隨機(jī)事件的概率公式（加法、乘法、全概率、貝葉斯）、隨機(jī)變量的分布（離散型：二項(xiàng)、泊松；連續(xù)型：正態(tài)、均勻、指數(shù)）、數(shù)字特征（期望、方差、協(xié)方差）；數(shù)理統(tǒng)計(jì)：重點(diǎn)掌握參數(shù)估計(jì)（矩估計(jì)、極大似然估計(jì)）、假設(shè)檢驗(yàn)（Z檢驗(yàn)、t檢驗(yàn)）的步驟與應(yīng)用。（二）熟悉題型，掌握解題技巧選擇題/填空題：主要考查基礎(chǔ)概念與公式（如互斥與獨(dú)立的區(qū)別、常見(jiàn)分布的數(shù)字特征），需快速準(zhǔn)確作答；解答題：主要考查計(jì)算與應(yīng)用（如隨機(jī)變量的分布函數(shù)、期望方差計(jì)算、參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)），需掌握解題步驟（如例2、例4、例5的步驟），避免遺漏關(guān)鍵環(huán)節(jié)。（三）重視真題，模擬實(shí)戰(zhàn)演練真題是備考的“風(fēng)向標(biāo)”，通過(guò)做真題可以了解考點(diǎn)