二次函數(shù)應用題及解答詳解一、引言二次函數(shù)是連接代數(shù)理論與實際應用的重要橋梁，其頂點性質(zhì)（開口方向決定最值類型，頂點坐標對應最值點）使其成為解決最值優(yōu)化（如最大利潤、最小成本）、軌跡分析（如拋體運動）、幾何設計（如最大面積）等問題的核心工具。本文將通過典型類型+例題詳解+思路剖析的結(jié)構，系統(tǒng)講解二次函數(shù)模型的建立與應用，幫助讀者掌握解決實際問題的邏輯。二、常見類型及詳解（一）利潤最大化問題：商家的“定價策略”核心邏輯：總利潤=（售價-成本）×銷量，銷量通常隨售價升高而線性減少，因此總利潤為二次函數(shù)（一次函數(shù)×一次函數(shù)）。【典型例題】某商品每件成本15元，售價x元時，日銷量為（100-2x）件（x≥15，銷量≥0）。求最優(yōu)售價及最大日利潤?！窘獯疬^程】1.設變量：設日利潤為y元。2.建模型：\(y=(x-15)(100-2x)=-2x^2+130x-1500\)。3.析性質(zhì)：二次項系數(shù)-2<0，開口向下，有最大值，頂點橫坐標\(x=-\frac{130}{2×(-2)}=32.5\)。4.驗定義域：x∈[15,50]（100-2x≥0→x≤50），32.5在定義域內(nèi)。5.算最值：代入x=32.5，\(y=-2×32.5^2+130×32.____=312.5\)元?！驹斀狻拷ｊP鍵：利潤由“單件利潤”（線性增長）和“銷量”（線性減少）共同決定，乘積為二次函數(shù)。易錯點：若頂點橫坐標不在定義域內(nèi)（如成本25元，定義域x≥25，頂點x=32.5仍在[25,50]內(nèi)，利潤仍為312.5元；若成本40元，定義域x≥40，頂點x=32.5不在定義域內(nèi)，此時最大利潤在x=40時取得：\(y=(40-40)(____)=0\)）。（二）幾何圖形最值問題：資源的“最優(yōu)利用”核心邏輯：固定周長（或面積）時，設一邊長為變量，用約束條件表示另一邊長，建立面積（或周長）的二次函數(shù)?！镜湫屠}】用40米籬笆圍矩形菜園，一邊靠墻，求最大面積及邊長。【解答過程】1.設變量：設垂直于墻的邊長為x米，則平行于墻的邊長為（40-2x）米。2.建模型：面積\(S=x(40-2x)=-2x^2+40x\)。3.析性質(zhì)：開口向下，頂點橫坐標\(x=-\frac{40}{2×(-2)}=10\)。4.驗定義域：x∈(0,20)（40-2x>0→x<20），10在定義域內(nèi)。5.算最值：x=10時，平行于墻的邊長為20米，最大面積\(S=-2×10^2+40×10=200\)平方米?！驹斀狻拷＜记桑哼x擇垂直于墻的邊長為變量，簡化表達式（若設平行于墻的邊長為y，則垂直于墻的邊長為(40-y)/2，面積\(S=y×(40-y)/2=-\frac{1}{2}y^2+20y\)，頂點y=20，結(jié)果一致）。通用結(jié)論：一邊靠墻時，最大面積為\(L^2/8\)（L為籬笆總長），對應垂直于墻的邊長為L/4，平行于墻的邊長為L/2。（三）運動軌跡問題：拋體運動的“路徑分析”核心邏輯：拋體運動分解為水平（勻速）和豎直（勻變速）運動，豎直位移為二次函數(shù)，頂點對應最大高度，與x軸交點對應落地時間?！镜湫屠}】鉛球以初速度12m/s、仰角45°拋出（g=10m/s2），求最大高度及水平射程?！窘獯疬^程】1.分解速度：豎直初速度\(v_{0y}=12×\sin45°=6\sqrt{2}\)m/s，水平初速度\(v_{0x}=12×\cos45°=6\sqrt{2}\)m/s。2.建豎直位移模型：\(y=v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2=6\sqrt{2}t-5t^2\)。3.求最大高度：頂點橫坐標\(t=-\frac{6\sqrt{2}}{2×(-5)}=\frac{3\sqrt{2}}{5}\)秒，代入得\(y_{\text{max}}=6\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{2}}{5}-5×(\frac{3\sqrt{2}}{5})^2=7.2\)米。4.求水平射程：令y=0，解得t=0（拋出）或\(t=\frac{6\sqrt{2}}{5}×2=\frac{12\sqrt{2}}{5}\)秒（落地），水平射程\(x=v_{0x}×t=6\sqrt{2}×\frac{12\sqrt{2}}{5}=14.4\)米?！驹斀狻课锢硪饬x：頂點對應豎直方向速度為0（\(v_y=v_{0y}-gt=0\)），此時達到最大高度；落地時豎直位移為0，對應二次函數(shù)與x軸的交點。易錯點：g的方向向下，因此豎直位移公式中的\(\frac{1}{2}gt^2\)項為負，若忽略符號，會導致開口方向錯誤。（四）成本優(yōu)化問題：企業(yè)的“最小成本”核心邏輯：總成本=固定成本+變動成本（變動成本為產(chǎn)量的二次函數(shù)，通常開口向上，有最小值）?！镜湫屠}】某產(chǎn)品產(chǎn)量x件時，總成本\(y=0.2x^2-4x+150\)（x≥0），求最小總成本及產(chǎn)量?！窘獯疬^程】1.析性質(zhì)：二次項系數(shù)0.2>0，開口向上，有最小值，頂點橫坐標\(x=-\frac{-4}{2×0.2}=10\)。2.驗定義域：x≥0，10在定義域內(nèi)。3.算最值：代入x=10，\(y=0.2×10^2-4×10+150=130\)元。【詳解】模型意義：固定成本150元（不隨產(chǎn)量變化），變動成本0.2x2-4x（隨產(chǎn)量增加而遞增），因此總成本有最小值。實際應用：頂點橫坐標對應“最優(yōu)產(chǎn)量”，此時企業(yè)生產(chǎn)效率最高，成本最低。三、通用解決步驟1.設變量：選擇與目標（利潤、面積、成本）相關的變量（如售價、邊長、產(chǎn)量）。2.建模型：利用公式（利潤=（售價-成本）×銷量、面積=長×寬）建立二次函數(shù)。3.定定義域：根據(jù)變量實際意義（如售價≥成本、邊長>0）確定x的范圍。4.求最值：開口向上（a>0）：最小值在頂點處；開口向下（a<0）：最大值在頂點處；頂點不在定義域內(nèi)：最值在端點處。5.驗結(jié)果：驗證結(jié)果是否符合實際（如利潤為正、面積合理）。四、結(jié)語二次函數(shù)應用題的