高二數(shù)學(xué)圓錐曲線與導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)提綱第一章圓錐曲線圓錐曲線是解析幾何的核心內(nèi)容，重點考查定義理解、方程推導(dǎo)、幾何性質(zhì)及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是高考解答題的高頻考點（常與向量、函數(shù)結(jié)合）。一、基礎(chǔ)概念與標(biāo)準(zhǔn)方程1.橢圓定義：平面內(nèi)到兩個定點\(F_1,F_2\)（焦點）的距離之和為定值\(2a\)（\(2a>|F_1F_2|=2c\)）的點的軌跡。標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點在\(x\)軸：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)，\(b^2=a^2-c^2\)）；焦點在\(y\)軸：\(\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）。幾何性質(zhì)：頂點：\((\pma,0)\)、\((0,\pmb)\)（\(x\)軸焦點型）；離心率：\(e=\frac{c}{a}\)（\(0<e<1\)，\(e\)越小橢圓越圓）；準(zhǔn)線：\(x=\pm\frac{a^2}{c}\)（\(x\)軸焦點型）。2.雙曲線定義：平面內(nèi)到兩個定點\(F_1,F_2\)的距離之差的絕對值為定值\(2a\)（\(0<2a<|F_1F_2|=2c\)）的點的軌跡。標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點在\(x\)軸：\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>0,b>0\)，\(b^2=c^2-a^2\)）；焦點在\(y\)軸：\(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\)（\(a>0,b>0\)）。幾何性質(zhì)：頂點：\((\pma,0)\)（\(x\)軸焦點型）；離心率：\(e=\frac{c}{a}\)（\(e>1\)，\(e\)越大雙曲線開口越廣）；漸近線：\(y=\pm\frac{a}x\)（\(x\)軸焦點型，關(guān)鍵考點，需記準(zhǔn)\(a,b\)位置）；準(zhǔn)線：\(x=\pm\frac{a^2}{c}\)。3.拋物線定義：平面內(nèi)到定點\(F\)（焦點）與定直線\(l\)（準(zhǔn)線）距離相等的點的軌跡（\(F\notinl\)）。標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)（核心是焦點坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程）：開口方向標(biāo)準(zhǔn)方程焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程向右\(y^2=2px\)\((\frac{p}{2},0)\)\(x=-\frac{p}{2}\)向左\(y^2=-2px\)\((-\frac{p}{2},0)\)\(x=\frac{p}{2}\)向上\(x^2=2py\)\((0,\frac{p}{2})\)\(y=-\frac{p}{2}\)向下\(x^2=-2py\)\((0,-\frac{p}{2})\)\(y=\frac{p}{2}\)幾何性質(zhì)：離心率：\(e=1\)；焦點弦性質(zhì)：過焦點的弦長\(|AB|=x_1+x_2+p\)（\(y^2=2px\)，\(x_1,x_2\)為弦端點橫坐標(biāo)）。二、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1.聯(lián)立方程與判別式設(shè)直線方程為\(y=kx+m\)（斜率存在），圓錐曲線方程為\(F(x,y)=0\)，聯(lián)立得：\[Ax^2+Bx+C=0\quad(\text{二次方程，}A\neq0)\]相交：\(\Delta=B^2-4AC>0\)（兩個不同交點）；相切：\(\Delta=0\)（一個交點，切線）；相離：\(\Delta<0\)（無交點）。注意：若直線斜率不存在（\(x=t\)），需單獨驗證。2.韋達(dá)定理的應(yīng)用（核心技巧）設(shè)交點為\(P(x_1,y_1)\)、\(Q(x_2,y_2)\)，則：\[x_1+x_2=-\frac{B}{A},\quadx_1x_2=\frac{C}{A}\]弦長公式：\(|PQ|=\sqrt{1+k^2}\cdot|x_1-x_2|=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\)；中點坐標(biāo)：\(x_0=\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{B}{2A}\)，\(y_0=kx_0+m\)；點差法（求中點弦方程）：如橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，設(shè)中點為\((x_0,y_0)\)，則弦斜率\(k=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}\)（推導(dǎo)：\(\frac{x_1^2-x_2^2}{a^2}+\frac{y_1^2-y_2^2}{b^2}=0\)，因式分解得\(\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{a^2}+\frac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{b^2}=0\)，兩邊除以\(x_1-x_2\)）。三、綜合應(yīng)用1.軌跡方程求法定義法：根據(jù)橢圓、雙曲線、拋物線定義直接寫出方程（如到兩定點距離之和為定值且大于兩定點距離，軌跡為橢圓）；直接法：設(shè)點\((x,y)\)，根據(jù)條件列方程化簡（如“到點\(F(1,0)\)與直線\(x=-1\)距離相等”，得\(y^2=4x\)）；代入法（相關(guān)點法）：設(shè)動點\(P(x,y)\)，關(guān)聯(lián)點\(Q(x_0,y_0)\)在已知曲線，用\(x,y\)表示\(x_0,y_0\)，代入已知曲線方程；參數(shù)法：設(shè)參數(shù)（如直線參數(shù)方程、三角函數(shù)參數(shù)），消去參數(shù)得軌跡方程。2.最值與范圍問題幾何法：利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)（如橢圓上點到焦點距離的最值：\(a\pmc\)；橢圓上點到直線距離的最值，用平行線與橢圓相切求極值）；代數(shù)法：聯(lián)立方程，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值（需考慮判別式）；用三角函數(shù)參數(shù)化（如橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，設(shè)\(x=a\cos\theta\)，\(y=b\sin\theta\)，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值）；用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值（適用于復(fù)雜函數(shù)）。3.定點與定值問題定點問題：設(shè)直線方程含參數(shù)（如\(y=kx+m\)，\(m\)為參數(shù)），代入圓錐曲線方程，整理為關(guān)于參數(shù)的恒等式，求參數(shù)值使方程成立（如“直線過定點\((x_0,y_0)\)”，則對任意參數(shù)，\(y_0=kx_0+m\)）；定值問題：設(shè)變量（如弦端點坐標(biāo)），用韋達(dá)定理化簡表達(dá)式，證明其與變量無關(guān)（如“\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}\)為定值”，\(O\)為原點，\(A,B\)為直線與橢圓交點，化簡得常數(shù)）。第二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)是微積分的基礎(chǔ)，重點考查導(dǎo)數(shù)的概念、運(yùn)算及應(yīng)用（單調(diào)性、極值、最值、不等式證明），是高考解答題的核心考點（常與函數(shù)、不等式結(jié)合）。一、導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義1.導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)\(y=f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)為：\[f'(x_0)=\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\]注意：導(dǎo)數(shù)是瞬時變化率，反映函數(shù)在\(x_0\)處的變化快慢。2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義\(f'(x_0)\)是曲線\(y=f(x)\)在點\((x_0,f(x_0))\)處的切線斜率，切線方程為：\[y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\]法線方程（與切線垂直）為：\[y-f(x_0)=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)\quad(f'(x_0)\neq0)\]二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1.基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式（必記）冪函數(shù)：\((x^n)'=nx^{n-1}\)（\(n\in\mathbb{R}\)，如\((\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)，\((\frac{1}{x})'=-\frac{1}{x^2}\)）；指數(shù)函數(shù)：\((e^x)'=e^x\)，\((a^x)'=a^x\lna\)（\(a>0,a\neq1\)）；對數(shù)函數(shù)：\((\lnx)'=\frac{1}{x}\)，\((\log_ax)'=\frac{1}{x\lna}\)（\(a>0,a\neq1\)）；三角函數(shù)：\((\sinx)'=\cosx\)，\((\cosx)'=-\sinx\)，\((\tanx)'=\sec^2x\)（拓展）。2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算和差：\((f(x)\pmg(x))'=f'(x)\pmg'(x)\)；乘積：\((f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)（特別地，\((cf(x))'=cf'(x)\)，\(c\)為常數(shù)）；商：\(\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}\)（\(g(x)\neq0\)）。3.復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)（鏈?zhǔn)椒▌t）設(shè)\(y=f(u)\)，\(u=g(x)\)，則復(fù)合函數(shù)\(y=f(g(x))\)的導(dǎo)數(shù)為：\[y'=f'(u)\cdotg'(x)=f'(g(x))\cdotg'(x)\]示例：\(y=\ln(\sinx)\)，令\(u=\sinx\)，則\(y'=\frac{1}{u}\cdot\cosx=\frac{\cosx}{\sinx}=\cotx\)。三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.函數(shù)的單調(diào)性判定定理：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)，則：\(f'(x)>0\)（\(x\in(a,b)\)）\(\Rightarrow\)\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)遞增；\(f'(x)<0\)（\(x\in(a,b)\)）\(\Rightarrow\)\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)遞減；\(f'(x)=0\)（\(x\in(a,b)\)）\(\Rightarrow\)\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)常數(shù)函數(shù)。單調(diào)區(qū)間求法：1.求定義域；2.求導(dǎo)\(f'(x)\)；3.解不等式\(f'(x)>0\)（遞增區(qū)間）、\(f'(x)<0\)（遞減區(qū)間）；4.寫出單調(diào)區(qū)間（區(qū)間端點需考慮定義域）。2.函數(shù)的極值定義：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)，若存在\(x_0\)的鄰域，使得對鄰域內(nèi)任意\(x\neqx_0\)，有\(zhòng)(f(x)<f(x_0)\)（或\(f(x)>f(x_0)\)），則\(f(x_0)\)為極大值（或極小值），\(x_0\)為極值點。判定方法（一階導(dǎo)數(shù)法）：1.求導(dǎo)\(f'(x)\)；2.找臨界點（\(f'(x)=0\)或\(f'(x)\)不存在的點）；3.驗證臨界點左右\(f'(x)\)的符號：左正右負(fù)\(\Rightarrow\)極大值點；左負(fù)右正\(\Rightarrow\)極小值點；符號不變\(\Rightarrow\)非極值點（如\(f(x)=x^3\)，\(x=0\)處導(dǎo)數(shù)為0，但非極值點）。3.函數(shù)的最值閉區(qū)間上的最值：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，在\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)，則最值為端點值與極值中的最大值、最小值。求法步驟：1.求\((a,b)\)內(nèi)的極值；2.計算\(f(a)\)、\(f(b)\)；3.比較極值與端點值，得最值。開區(qū)間上的最值：若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有唯一極值點，則該極值即為最值（如單調(diào)函數(shù)無最值）。4.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖像的關(guān)系導(dǎo)數(shù)的增減性：\(f'(x)\)遞增\(\Rightarrow\)原函數(shù)\(f(x)\)凹（下凸）；\(f'(x)\)遞減\(\Rightarrow\)原函數(shù)\(f(x)\)凸（上凸）；二階導(dǎo)數(shù)判定凹凸性：\(f''(x)>0\)（\(x\in(a,b)\)）\(\Rightarrow\)\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)凹；\(f''(x)<0\)（\(x\in(a,b)\)）\(\Rightarrow\)\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)凸；拐點：凹凸性改變的點（\(f''(x_0)=0\)且左右符號改變）。四、綜合應(yīng)用1.函數(shù)的零點問題思路：用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，結(jié)合零點存在定理（\(f(a)f(b)<0\)，\(f(x)\)在\([a,b]\)連續(xù)，則\((a,b)\)內(nèi)有零點）判斷零點個數(shù)。示例：求\(f(x)=x-\lnx\)的零點個數(shù)，\(f'(x)=1-\frac{1}{x}\)，遞增區(qū)間\((1,+\infty)\)，遞減區(qū)間\((0,1)\)，極小值\(f(1)=1>0\)，故無零點。2.不等式證明構(gòu)造函數(shù)法：將不等式轉(zhuǎn)化為\(f(x)\geq0\)（或\(\leq0\)），用導(dǎo)數(shù)研究\(f(x)\)的單調(diào)性、極值、最值，證明\(f(x)\)的最小值\(\geq0\)（或最大值\(\leq0\)）。示例：證明\(x>\lnx\)（\(x>1\)），設(shè)\(f(x)=x-\lnx\)，\(f'(x)=1-\frac{1}{x}>0\)（\(x>1\)），\(f(x)\)遞增，\(f(1)=1>0\)，故\(x>\lnx\)。3.實際問題中的最值步驟：1.建立函數(shù)模型（設(shè)變量，用變量表示目標(biāo)量，如面積、體積、利潤）；2.求函數(shù)定義域；3.求導(dǎo)找極值點；4.驗證極值是否為最值（通常實際問題中極值即為最值）。示例：用長為\(L\)的鐵絲圍矩形，求面積最大值，設(shè)長為\(x\)，寬為\(\frac{L}{2}-x\)，面積\(S=x(\frac{L}{2}-x)=-\frac{1}{2}x^2+\frac{L}{2}x\)，\(S'(x)=-x+\frac{L}{2}\)，極值點\(x=\frac{L}{4}\)，最大值\(S=\frac{L^2}{16}\)（正方形時面積最大）。第三章復(fù)習(xí)建議與易錯點提醒一、復(fù)習(xí)建議1.回歸課本：重點掌握圓錐曲線的定義、導(dǎo)數(shù)的概念等基礎(chǔ)內(nèi)容，課本例題是高考題的原型；2.強(qiáng)化運(yùn)算：圓錐曲線的聯(lián)立方程、導(dǎo)數(shù)的復(fù)合函數(shù)運(yùn)算容易出錯，需多練計算；3.總結(jié)題