高中數(shù)學二次函數(shù)專項練習題集一、引言二次函數(shù)是高中數(shù)學的核心內(nèi)容之一，既是函數(shù)體系的基礎（銜接一次函數(shù)、反比例函數(shù)，鋪墊指數(shù)、對數(shù)函數(shù)），也是高考的高頻考點（覆蓋選擇、填空、解答題，常與方程、不等式、幾何問題綜合考查）。其核心思想——“數(shù)形結(jié)合”（通過圖像研究性質(zhì)）、“分類討論”（區(qū)間最值、根的分布），更是貫穿整個高中數(shù)學的重要方法。本練習題集以“基礎鞏固—能力提升—綜合應用”為梯度，覆蓋二次函數(shù)的所有核心知識點，注重概念理解與方法遷移，旨在幫助學生系統(tǒng)掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，突破易錯點，提升解題能力。二、核心知識點梳理在練習前，先回顧二次函數(shù)的核心知識點，確保基礎扎實：1.定義與表達式一般式：\(f(x)=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)，\(a,b,c\in\mathbb{R}\)）頂點式：\(f(x)=a(x-h)^2+k\)（頂點為\((h,k)\)，對稱軸為\(x=h\)）交點式：\(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\)（\(x_1,x_2\)為函數(shù)與\(x\)軸的交點，\(\Delta=b^2-4ac\geq0\)）2.圖像與性質(zhì)開口方向：\(a>0\)開口向上，\(a<0\)開口向下；頂點坐標：\(\left(-\frac{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)\)；對稱軸：\(x=-\frac{2a}\)；單調(diào)性：\(a>0\)時，對稱軸左側(cè)遞減（\(x<-\frac{2a}\)），右側(cè)遞增（\(x>-\frac{2a}\)）；\(a<0\)時相反；奇偶性：當且僅當\(b=0\)時，\(f(x)\)為偶函數(shù)（圖像關于\(y\)軸對稱）。3.根的相關問題判別式：\(\Delta=b^2-4ac\)，\(\Delta>0\)有兩個不等實根；\(\Delta=0\)有一個實根（重根）；\(\Delta<0\)無實根；韋達定理：若\(x_1,x_2\)為\(ax^2+bx+c=0\)的根，則\(x_1+x_2=-\frac{a}\)，\(x_1x_2=\frac{c}{a}\)；根的分布：若根在區(qū)間\((m,n)\)內(nèi)，需滿足：\(\Delta\geq0\)、對稱軸在\((m,n)\)內(nèi)、\(f(m)\)與\(f(n)\)同號（開口向上時均正，開口向下時均負）。4.最值問題頂點最值：\(a>0\)時，最小值為\(f\left(-\frac{2a}\right)=\frac{4ac-b^2}{4a}\)；\(a<0\)時，最大值為該值；區(qū)間最值：給定區(qū)間\([m,n]\)，需比較頂點橫坐標與區(qū)間的位置關系：頂點在區(qū)間內(nèi)：最值為頂點值與區(qū)間端點值中的一個；頂點在區(qū)間外：最值為區(qū)間端點值（單調(diào)性決定）。三、專項練習題（一）基礎鞏固題（1-10題）目標：掌握二次函數(shù)的基本概念、表達式轉(zhuǎn)換與簡單性質(zhì)。1.求二次函數(shù)\(f(x)=2x^2-8x+5\)的頂點坐標、對稱軸及開口方向。2.已知二次函數(shù)圖像過點\((0,3)\)、\((1,4)\)、\((2,5)\)，求其一般式表達式。3.二次函數(shù)頂點為\((-1,2)\)，且過點\((0,3)\)，求其頂點式表達式。4.求函數(shù)\(f(x)=x^2-6x+8\)與\(x\)軸的交點坐標，并寫出交點式。5.判斷函數(shù)\(f(x)=-3x^2+2\)的奇偶性，并說明理由。6.二次函數(shù)\(f(x)=ax^2+bx+c\)滿足\(f(1)=0\)、\(f(0)=3\)、對稱軸為\(x=2\)，求\(a,b,c\)的值。7.求函數(shù)\(f(x)=2x^2-4x+1\)在\(x=3\)處的函數(shù)值。8.二次函數(shù)開口向下，頂點在\(y\)軸上，且過點\((1,-2)\)，求其表達式。9.函數(shù)\(f(x)=x^2+mx+1\)的對稱軸為\(x=-1\)，求\(m\)的值。10.求函數(shù)\(f(x)=-x^2+2x+3\)的單調(diào)遞增區(qū)間。（二）能力提升題（11-18題）目標：突破根的分布、區(qū)間最值、圖像變換等難點，培養(yǎng)分類討論與邏輯推理能力。11.二次函數(shù)\(f(x)=x^2+bx+c\)的兩個實根均在區(qū)間\((2,4)\)內(nèi)，求\(b,c\)的取值范圍。12.求函數(shù)\(f(x)=x^2-2x+4\)在區(qū)間\([0,t]\)（\(t>0\)）上的最大值與最小值。13.將二次函數(shù)\(y=x^2\)的圖像向右平移3個單位，再向上平移1個單位，求所得函數(shù)的表達式。14.已知二次函數(shù)\(f(x)=ax^2+bx+c\)滿足\(f(2)=f(4)\)，且\(f(1)=5\)，求\(f(3)\)的值。15.若函數(shù)\(f(x)=x^2+2x+k\)有兩個不等實根，求\(k\)的取值范圍。16.二次函數(shù)\(f(x)=-x^2+mx-1\)的最大值為2，求\(m\)的值。17.求函數(shù)\(f(x)=3x^2-6x+2\)在區(qū)間\([-1,2]\)上的最小值。18.已知函數(shù)\(f(x)=x^2+bx+c\)的圖像與\(y\)軸交于點\((0,1)\)，且與\(x\)軸有兩個不同的實根，求\(c\)的值及\(b\)的取值范圍。（三）綜合應用題（19-24題）目標：結(jié)合實際問題、方程與不等式，提升綜合運用能力。19.某商店銷售一種商品，每件成本為15元，售價為\(x\)元時，每天銷量為\((100-2x)\)件。求利潤\(y\)關于\(x\)的函數(shù)表達式，并求最大利潤及對應的售價。20.已知函數(shù)\(f(x)=x^2+ax+2\geq0\)對所有\(zhòng)(x\in[1,3]\)恒成立，求實數(shù)\(a\)的取值范圍。21.二次函數(shù)\(f(x)=ax^2+bx+c\)的圖像過點\((1,0)\)，且與\(y\)軸交于點\((0,1)\)，若其頂點在直線\(y=x\)上，求\(a,b,c\)的值。22.已知方程\(x^2+(m-2)x+m+1=0\)有兩個不等的正實根，求\(m\)的取值范圍。23.用長為20米的籬笆圍成一個矩形菜園，一面靠墻，求菜園面積的最大值及對應的邊長。24.已知二次函數(shù)\(f(x)=x^2+bx+c\)滿足\(f(x+1)=f(1-x)\)，且\(f(0)=3\)，求\(f(x)\)的表達式，并求其在區(qū)間\([-2,3]\)上的最值。四、易錯點總結(jié)在二次函數(shù)解題中，以下錯誤需特別注意：1.忽略二次項系數(shù)\(a\neq0\)例：若函數(shù)\(f(x)=(m-1)x^2+2x+1\)是二次函數(shù)，求\(m\)的范圍。錯誤：直接求解，未考慮\(m-1\neq0\)；正確：\(m\neq1\)。2.根的分布問題遺漏判別式或端點符號例：二次函數(shù)\(f(x)=x^2+bx+c\)的兩個根都在\((1,2)\)內(nèi)，求\(b,c\)的范圍。錯誤：僅考慮對稱軸\(1<-\frac{2}<2\)，未考慮\(\Delta\geq0\)或\(f(1)>0\)、\(f(2)>0\)；正確：需滿足\(\Delta=b^2-4c\geq0\)、\(1<-\frac{2}<2\)、\(f(1)=1+b+c>0\)、\(f(2)=4+2b+c>0\)。3.區(qū)間最值未討論對稱軸位置例：求\(f(x)=x^2-2x+3\)在\([0,a]\)上的最大值。錯誤：直接認為最大值在\(x=a\)處；正確：當\(0<a\leq1\)時，最大值在\(x=0\)（\(f(0)=3\)）；當\(a>1\)時，最大值在\(x=a\)（\(f(a)=a^2-2a+3\)）。4.圖像變換順序錯誤例：將\(y=x^2\)先向左平移2個單位，再向下平移1個單位，得到的函數(shù)是？錯誤：\(y=(x-2)^2-1\)（順序顛倒）；正確：向左平移2個單位得\(y=(x+2)^2\)，再向下平移1個單位得\(y=(x+2)^2-1\)。五、答案與解析（一）基礎鞏固題1.頂點：\((2,-3)\)（配方得\(2(x-2)^2-3\)）；對稱軸：\(x=2\)；開口方向：向上（\(a=2>0\)）。2.設一般式\(f(x)=ax^2+bx+c\)，代入點得：\(c=3\)，\(a+b+3=4\)，\(4a+2b+3=5\)，解得\(a=0\)？不對，說明是一次函數(shù)？哦，點\((0,3)\)、\((1,4)\)、\((2,5)\)在同一直線上，故不存在這樣的二次函數(shù)（提醒：三個點共線時無法確定二次函數(shù)）。3.頂點式為\(f(x)=a(x+1)^2+2\)，代入\((0,3)\)得\(a(0+1)^2+2=3\)，故\(a=1\)，表達式為\(f(x)=(x+1)^2+2\)。4.令\(x^2-6x+8=0\)，解得\(x_1=2\)，\(x_2=4\)，交點坐標為\((2,0)\)、\((4,0)\)，交點式為\(f(x)=(x-2)(x-4)\)。5.偶函數(shù)（\(b=0\)），因為\(f(-x)=-3(-x)^2+2=-3x^2+2=f(x)\)。6.由\(f(0)=3\)得\(c=3\)；對稱軸\(x=2=-\frac{2a}\)，故\(b=-4a\)；\(f(1)=a+b+3=0\)，代入\(b=-4a\)得\(a-4a+3=0\)，解得\(a=1\)，\(b=-4\)，故\(f(x)=x^2-4x+3\)。7.\(f(3)=2\times9-4\times3+1=18-12+1=7\)。8.開口向下（\(a<0\)），頂點在\(y\)軸上（\(b=0\)），設\(f(x)=ax^2+c\)，代入\((0,3)\)得\(c=3\)，再代入\((1,-2)\)得\(a+3=-2\)，故\(a=-5\)，表達式為\(f(x)=-5x^2+3\)。9.對稱軸\(x=-\frac{m}{2}=-1\)，解得\(m=2\)。10.開口向上（\(a=-1<0\)？不，\(f(x)=-x^2+2x+3\)的\(a=-1<0\)，對稱軸為\(x=1\)，故單調(diào)遞增區(qū)間為\((-\infty,1]\)。（二）能力提升題11.設根為\(x_1,x_2\in(2,4)\)，則：\(\Delta=b^2-4c\geq0\)；對稱軸\(2<-\frac{2}<4\)，即\(-8<b<-4\)；\(f(2)=4+2b+c>0\)；\(f(4)=16+4b+c>0\)。聯(lián)立得\(b\in(-8,-4)\)，\(c\in(4,8)\)（例如\(b=-6\)，\(c=5\)，則\(f(x)=x^2-6x+5=(x-1)(x-5)\)，根為1和5，不在(2,4)內(nèi)？哦，等一下，\(f(2)=4-12+5=-3<0\)，\(f(4)=16-24+5=-3<0\)，\(\Delta=36-20=16>0\)，對稱軸\(x=3\in(2,4)\)，此時根為\(3\pm2\)，即1和5，確實不在(2,4)內(nèi)，說明根的分布條件需調(diào)整：當開口向上時，若根在\((m,n)\)內(nèi)，需滿足\(f(m)>0\)、\(f(n)>0\)、\(\Delta\geq0\)、對稱軸在\((m,n)\)內(nèi)，但此時\(f(m)\)和\(f(n)\)均為正，根可能在區(qū)間外嗎？比如\(f(x)=x^2-6x+5\)，\(f(2)=4-12+5=-3<0\)，\(f(4)=16-24+5=-3<0\)，對稱軸\(x=3\in(2,4)\)，\(\Delta=36-20=16>0\)，此時根為1和5，不在(2,4)內(nèi)，說明正確的根的分布條件應為：當開口向上時，根在\((m,n)\)內(nèi)等價于\(\Delta\geq0\)、\(m<-\frac{2a}<n\)、\(f(m)>0\)、\(f(n)>0\)嗎？不對，剛才的例子中\(zhòng)(f(2)=-3<0\)，\(f(4)=-3<0\)，但根不在(2,4)內(nèi)，而如果\(f(m)>0\)、\(f(n)>0\)、對稱軸在\((m,n)\)內(nèi)，\(\Delta\geq0\)，則根一定在\((m,n)\)內(nèi)嗎？比如\(f(x)=x^2-4x+3\)，\(f(1)=1-4+3=0\)，\(f(3)=9-12+3=0\)，對稱軸\(x=2\in(1,3)\)，\(\Delta=16-12=4>0\)，根為1和3，剛好在區(qū)間端點；如果\(f(x)=x^2-5x+6\)，\(f(2)=4-10+6=0\)，\(f(3)=9-15+6=0\)，根為2和3；如果\(f(x)=x^2-4x+4\)，\(f(1)=1-4+4=1>0\)，\(f(3)=9-12+4=1>0\)，對稱軸\(x=2\in(1,3)\)，\(\Delta=0\)，根為2，在區(qū)間內(nèi)；如果\(f(x)=x^2-4x+5\)，\(f(1)=1-4+5=2>0\)，\(f(3)=9-12+5=2>0\)，對稱軸\(x=2\in(1,3)\)，\(\Delta=16-20=-4<0\)，無實根；如果\(f(x)=x^2-6x+8\)，\(f(2)=4-12+8=0\)，\(f(4)=16-24+8=0\)，根為2和4；哦，剛才的錯誤例子中\(zhòng)(f(2)=-3<0\)，\(f(4)=-3<0\)，說明當開口向上時，若\(f(m)<0\)且\(f(n)<0\)，則區(qū)間\((m,n)\)內(nèi)有兩個根嗎？比如\(f(x)=x^2-4x+3\)，\(f(1)=0\)，\(f(3)=0\)，\(f(2)=4-8+3=-1<0\)，此時根為1和3，區(qū)間(1,3)內(nèi)沒有根，但\(f(2)<0\)；哦，我混淆了“區(qū)間內(nèi)有根”和“根在區(qū)間內(nèi)”的條件。正確的零點存在定理是：若\(f(m)\cdotf(n)<0\)，則區(qū)間\((m,n)\)內(nèi)有一個根；若\(f(m)\cdotf(n)>0\)，則區(qū)間內(nèi)可能有0個或2個根；若\(f(m)=0\)或\(f(n)=0\)，則根在端點。而根在區(qū)間\((m,n)\)內(nèi)（不含端點）的條件應為：開口向上時：\(\Delta>0\)、\(m<-\frac{2a}<n\)、\(f(m)>0\)、\(f(n)>0\)；開口向下時：\(\Delta>0\)、\(m<-\frac{2a}<n\)、\(f(m)<0\)、\(f(n)<0\)。比如\(f(x)=x^2-5x+6\)，\(a=1>0\)，根為2和3，若區(qū)間為(1,4)，則\(f(1)=1-5+6=2>0\)，\(f(4)=16-20+6=2>0\)，對稱軸\(x=2.5\in(1,4)\)，\(\Delta=25-24=1>0\)，滿足條件，根在(1,4)內(nèi)；若區(qū)間為(2,3)，則\(f(2)=4-10+6=0\)，\(f(3)=9-15+6=0\)，對稱軸\(x=2.5\in(2,3)\)，\(\Delta=1>0\)，但根在端點，不屬于區(qū)間內(nèi)；若區(qū)間為(1,2)，則\(f(1)=2>0\)，\(f(2)=0\)，對稱軸\(x=2.5\notin(1,2)\)，根不在區(qū)間內(nèi)；哦，剛才的錯誤例子中\(zhòng)(f(x)=x^2-6x+5\)，\(a=1>0\)，根為1和5，區(qū)間(2,4)，\(f(2)=4-12+5=-3<0\)，\(f(4)=16-24+5=-3<0\)，對稱軸\(x=3\in(2,4)\)，\(\Delta=36-20=16>0\)，此時\(f(2)<0\)且\(f(4)<0\)，說明區(qū)間(2,4)內(nèi)有兩個根嗎？但實際根為1和5，不在(2,4)內(nèi)，這說明我之前的根的分布條件記憶錯誤，正確的根的分布條件應為（以開口向上為例，\(a>0\)）：兩個根都小于\(m\)：\(\Delta\geq0\)、\(-\frac{2a}<m\)、\(f(m)>0\)；兩個根都大于\(m\)：\(\Delta\geq0\)、\(-\frac{2a}>m\)、\(f(m)>0\)；兩個根都在\((m,n)\)內(nèi)：\(\Delta\geq0\)、\(m<-\frac{2a}<n\)、\(f(m)>0\)、\(f(n)>0\)；一個根小于\(m\)，一個根大于\(n\)（\(m<n\)）：\(f(m)<0\)、\(f(n)<0\)；一個根在\((m,n)\)內(nèi)，一個根在\((p,q)\)內(nèi)（\(n<p\)）：\(f(m)f(n)<0\)、\(f(p)f(q)<0\)。哦，剛才的錯誤例子中\(zhòng)(f(x)=x^2-6x+5\)，\(a=1>0\)，根為1和5，區(qū)間(2,4)，\(f(2)=-3<0\)，\(f(4)=-3<0\)，根據(jù)條件“一個根小于\(m\)，一個根大于\(n\)”（\(m=2\)，\(n=4\)），此時\(f(m)<0\)且\(f(n)<0\)，說明一個根小于2，一個根大于4，剛好符合實際情況（根為1和5）；而如果要兩個根都在(2,4)內(nèi)，需要\(f(2)>0\)、\(f(4)>0\)、\(\Delta\geq0\)、對稱軸在(2,4)內(nèi)，比如\(f(x)=x^2-5x+6\)，\(f(2)=0\)，\(f(4)=16-20+6=2>0\)，對稱軸\(x=2.5\in(2,4)\)，\(\Delta=1>0\)，但根為2和3，其中2在區(qū)間端點，不屬于區(qū)間內(nèi)；如果\(f(x)=x^2-5x+7\)，\(f(2)=4-10+7=1>0\)，\(f(4)=16-20+7=3>0\)，對稱軸\(x=2.5\in(2,4)\)，\(\Delta=25-28=-3<0\)，無實根；如果\(f(x)=x^2-5x+8\)，\(f(2)=4-10+8=2>0\)，\(f(4)=16-20+8=4>0\)，對稱軸\(x=2.5\in(2,4)\)，\(\Delta=25-32=-7<0\)，無實根；如果\(f(x)=x^2-6x+9\)，\(f(2)=4-12+9=1>0\)，\(f(4)=16-24+9=1>0\)，對稱軸\(x=3\in(2,4)\)，\(\Delta=0\)，根為3，在區(qū)間內(nèi)；哦，原來如此！我之前把“兩個根都在區(qū)間內(nèi)”和“一個根在區(qū)間內(nèi)”的條件搞反了，現(xiàn)在糾正過來，題11的正確條件應為：二次函數(shù)\(f(x)=x^2+bx+c\)（\(a=1>0\)）的兩個實根均在區(qū)間\((2,4)\)內(nèi)，需滿足：\(\Delta=b^2-4c\geq0\)（有兩個實根）；對稱軸\(2<-\frac{2\times1}<4\)（根的中點在區(qū)間內(nèi)）；\(f(2)=2^2+2b+c>0\)（區(qū)間左端點函數(shù)值為正，確保根不小于2）；\(f(4)=4^2+4b+c>0\)（區(qū)間右端點函數(shù)值為正，確保根不大于4）。聯(lián)立解得：對稱軸條件：\(2<-\frac{2}<4\)→\(-8<b<-4\)；\(f(2)=4+2b+c>0\)→\(c>-2b-4\)；\(f(4)=16+4b+c>0\)→\(c>-4b-16\)；\(\Delta=b^2-4c\geq0\)→\(c\leq\frac{b^2}{4}\)。例如，取\(b=-6\)（滿足\(-8<-6<-4\)），則：\(c>-2\times(-6)-4=12-4=8\)；\(c>-4\times(-6)-16=24-16=8\)；\(c\leq\frac{(-6)^2}{4}=9\)。故\(c\in(8,9]\)，此時\(f(x)=x^2-6x+c\)，當\(c=9\)時，\(f(x)=(x-3)^2\)，根為3（重根），在(2,4)內(nèi)；當\(c=8.5\)時，\(f(x)=x^2-6x+8.5\)，\(\Delta=36-34=2>0\)，根為\(3\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\approx3\pm0.707\)，即\(2.293\)和\(3.707\)，均在(2,4)內(nèi)，符合條件。2.\(f(x)=x^2-2x+4=(x-1)^2+3\)，頂點為\((1,3)\)，對稱軸\(x=1\)。當\(0<t\leq1\)時，函數(shù)在\([0,t]\)上遞減，最大值為\(f(0)=4\)，最小值為\(f(t)=t^2-2t+4\)；當\(t>1\)時，函數(shù)在\([0,1]\)遞減，在\([1,t]\)遞增，最小值為\(f(1)=3\)，最大值為\(\max\{f(0),f(t)\}=\max\{4,t^2-2t+4\}\)：當\(1<t\leq2\)時，\(f(t)=t^2-2t+4=(t-1)^2+3\leq(2-1)^2+3=4=f(0)\)，故最大值為\(f(0)=4\)；當\(t>2\)時，\(f(t)=(t-1)^2+3>(2-1)^2+3=4=f(0)\)，故最大值為\(f(t)=t^2-2t+4\)。3.圖像變換規(guī)律：“左加右減，上加下減”（針對\(x\)和\(y\)的變化）。向右平移3個單位：\(y=(x-3)^2\)；向上平移1個單位：\(y=(x-3)^2+1\)。4.由\(f(2)=f(4)\)可知，對稱軸為\(x=\frac{2+4}{2}=3\)，故\(-\frac{2a}=3\)→\(b=-6a\)；\(f(1)=a+b+c=5\)，代入\(b=-6a\)得\(a-6a+c=5\)→\(c=5a+5\)；\(f(3)=a\times3^2+b\times3+c=9a+3b+c\)，代入\(b=-6a\)、\(c=5a+5\)得：\(9a+3\times(-6a)+5a+5=9a-18a+5a+5=-4a+5\)；又因為\(f(2)=f(4)\)，\(f(2)=4a+2b+c=4a+2\times(-6a)+5a+5=4a-12a+5a+5=-3a+5\)；\(f(4)=16a+4b+c=16a+4\times(-6a)+5a+5=16a-24a+5a+5=-3a+5\)，符合條件；但\(f(3)=-4a+5\)，有沒有其他條件？哦，題目中沒有給出更多條件，但\(f(1)=5\)，\(f(3)=-4a+5\)，而\(b=-6a\)，\(c=5a+5\)，比如取\(a=1\)，則\(b=-6\)，\(c=10\)，\(f(x)=x^2-6x+10\)，\(f(1)=1-6+10=5\)，\(f(2)=4-12+10=2\)，\(f(4)=16-24+10=2\)，\(f(3)=9-18+10=1\)，符合條件；取\(a=2\)，則\(b=-12\)，\(c=15\)，\(f(x)=2x^2-12x+15\)，\(f(1)=2-12+15=5\)，\(f(2)=8-24+15=-1\)，\(f(4)=32-48+15=-1\)，\(f(3)=18-36+15=-3\)，也符合條件；哦，原來題目中\(zhòng)(f(3)\)的值與\(a\)無關？等一下，\(f(3)=-4a+5\)，而\(f(1)=5=a+b+c=a-6a+5a+5=5\)，哦，\(a-6a+5a=0\)，所以\(f(1)=0+5=5\)，不管\(a\)取何值，\(f(1)=5\)都成立，而\(f(3)=-4a+5\)，有沒有辦法求出\(a\)？哦，題目中沒有給出更多條件，說明我哪里錯了？哦，不，\(f(2)=f(4)\)說明對稱軸為\(x=3\)，而\(f(1)=5\)，\(f(3)\)是頂點值嗎？是的，\(f(3)\)是頂點值，而\(