概率論課后輔導習題及解析引言概率論是研究隨機現象規(guī)律的數學分支，是統(tǒng)計學、機器學習、金融工程等學科的基礎。課后習題是鞏固概念、培養(yǎng)邏輯思維和應用能力的關鍵環(huán)節(jié)。本文選取基礎概念、隨機變量、多維分布、數字特征、極限定理五大核心模塊，精選典型習題，提供step-by-step解析及易錯點提醒，旨在幫助學生系統(tǒng)掌握概率論的核心知識點。一、基礎概念與概率計算1.1事件的運算與表示習題1：設\(A,B,C\)為隨機試驗中的三個事件，用集合運算表示下列事件：(1)至少一個事件發(fā)生；(2)恰好一個事件發(fā)生；(3)都不發(fā)生；(4)不多于一個事件發(fā)生。解析：(1)“至少一個發(fā)生”即三個事件的并集：\(A\cupB\cupC\)；(2)“恰好一個發(fā)生”即某事件發(fā)生且其余不發(fā)生的并集：\(A\overline{B}\overline{C}\cup\overline{A}B\overline{C}\cup\overline{A}\overline{B}C\)（\(\overline{A}\)表示\(A\)的補集）；(3)“都不發(fā)生”即補集的交集：\(\overline{A}\overline{B}\overline{C}\)（或\(\overline{A\cupB\cupC}\)，由德摩根定律）；(4)“不多于一個”即“都不發(fā)生”或“恰好一個發(fā)生”：\(\overline{A}\overline{B}\overline{C}\cupA\overline{B}\overline{C}\cup\overline{A}B\overline{C}\cup\overline{A}\overline{B}C\)。易錯點：“恰好一個”需明確“其他事件不發(fā)生”的條件，避免遺漏\(\overline{B}\overline{C}\)等補集；“不多于一個”等價于“至少兩個不發(fā)生”。1.2概率的基本性質與加法公式習題2：已知\(P(A)=0.5\)，\(P(B)=0.3\)，\(P(AB)=0.1\)，求：(1)\(P(A\cupB)\)；(2)\(P(\overline{A}B)\)；(3)\(P(\overline{A}\cup\overline{B})\)。解析：(1)加法公式：\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.3-0.1=0.7\)；(2)\(\overline{A}B=B-AB\)，故\(P(\overline{A}B)=P(B)-P(AB)=0.3-0.1=0.2\)；(3)德摩根定律：\(\overline{A}\cup\overline{B}=\overline{AB}\)，故\(P(\overline{A}\cup\overline{B})=1-P(AB)=1-0.1=0.9\)。易錯點：\(\overline{A}B\)不是\(P(\overline{A})P(B)\)（僅獨立時成立），而是\(B\)中排除\(A\)發(fā)生的部分，即\(P(B)-P(AB)\)。1.3條件概率與乘法公式習題3：盒中有3個紅球（記為\(R\)）、2個白球（記為\(W\)），不放回地取兩次，每次取1個。求：(1)第一次取到紅球的概率；(2)第一次取到紅球后，第二次取到紅球的概率；(3)兩次都取到紅球的概率。解析：設\(A_1\)為“第一次取紅球”，\(A_2\)為“第二次取紅球”。(1)古典概型：\(P(A_1)=\frac{3}{3+2}=0.6\)；(2)條件概率：\(P(A_2|A_1)=\frac{\text{剩余紅球數}}{\text{剩余總球數}}=\frac{2}{4}=0.5\)；(3)乘法公式：\(P(A_1A_2)=P(A_1)P(A_2|A_1)=0.6\times0.5=0.3\)。易錯點：條件概率\(P(A_2|A_1)\)的樣本空間已縮小為“第一次取紅球”后的剩余球，而非原樣本空間。1.4貝葉斯定理的應用習題4：某疾病患病率為0.1%（即先驗概率\(P(A)=0.001\)，\(A\)表示“患病”），檢測方法的準確率為95%：患病者檢測陽性的概率\(P(B|A)=0.95\)，未患病者檢測陰性的概率\(P(\overline{B}|\overline{A})=0.95\)（\(B\)表示“檢測陽性”）。若某人檢測陽性，求其實際患病的概率\(P(A|B)\)。解析：根據貝葉斯公式：\[P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|\overline{A})P(\overline{A})}\]其中，\(P(B|\overline{A})=1-P(\overline{B}|\overline{A})=0.05\)（未患病者檢測陽性的概率，即假陽性率），\(P(\overline{A})=1-P(A)=0.999\)。代入得：\[P(A|B)=\frac{0.95\times0.001}{0.95\times0.001+0.05\times0.999}\approx0.0187\quad(\text{約1.87%})\]易錯點：貝葉斯定理的核心是“用后驗信息（檢測陽性）更新先驗概率（患病率）”。即使檢測準確率高，若患病率極低，陽性結果的可信度仍較低（假陽性占比高）。二、隨機變量及其分布2.1離散型隨機變量的分布律習題5：設隨機變量\(X\)服從參數為\(\lambda=2\)的泊松分布（\(X\simP(2)\)），其分布律為\(P(X=k)=\frac{e^{-2}2^k}{k!}\)（\(k=0,1,2,\dots\)）。求：(1)\(P(X=0)\)；(2)\(P(X\leq1)\)。解析：(1)\(P(X=0)=\frac{e^{-2}2^0}{0!}=e^{-2}\approx0.1353\)；(2)\(P(X\leq1)=P(X=0)+P(X=1)=e^{-2}+\frac{e^{-2}2^1}{1!}=3e^{-2}\approx0.4060\)。易錯點：泊松分布的參數\(\lambda\)是期望（\(E(X)=\lambda\)），常用于描述“稀有事件”的發(fā)生次數（如交通事故、電話呼叫數）。2.2連續(xù)型隨機變量的分布函數習題6：設連續(xù)型隨機變量\(X\)的概率密度為：\[f(x)=\begin{cases}ax+b,&0<x<1\\0,&\text{其他}\end{cases}\]且\(P(X<0.5)=0.25\)，求常數\(a,b\)。解析：連續(xù)型隨機變量的概率密度滿足：1.非負性：\(f(x)\geq0\)（對任意\(x\)）；2.歸一性：\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\)；3.概率計算：\(P(X<c)=\int_{-\infty}^cf(x)dx\)。由歸一性：\[\int_0^1(ax+b)dx=\left[\frac{a}{2}x^2+bx\right]_0^1=\frac{a}{2}+b=1\quad\text{（式1）}\]由\(P(X<0.5)=0.25\)：\[\int_0^{0.5}(ax+b)dx=\left[\frac{a}{2}x^2+bx\right]_0^{0.5}=\frac{a}{2}\times0.25+b\times0.5=0.125a+0.5b=0.25\quad\text{（式2）}\]聯立（式1）和（式2），解得：\(a=2\)，\(b=0\)。易錯點：連續(xù)型隨機變量的分布函數\(F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt\)，需滿足\(F(-\infty)=0\)、\(F(+\infty)=1\)及單調不減性。2.3正態(tài)分布的標準化習題7：設隨機變量\(X\simN(1,4)\)（即均值\(\mu=1\)，方差\(\sigma^2=4\)，標準差\(\sigma=2\)），求\(P(0<X<2)\)。解析：正態(tài)分布的概率計算需通過標準化轉換為標準正態(tài)分布（\(Z\simN(0,1)\)），公式為：\[Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\]因此：\[P(0<X<2)=P\left(\frac{0-1}{2}<\frac{X-1}{2}<\frac{2-1}{2}\right)=P(-0.5<Z<0.5)\]標準正態(tài)分布的對稱性：\(\Phi(-z)=1-\Phi(z)\)，故：\[P(-0.5<Z<0.5)=\Phi(0.5)-\Phi(-0.5)=2\Phi(0.5)-1\]查標準正態(tài)分布表（\(\Phi(z)\)表示\(Z\leqz\)的概率），得\(\Phi(0.5)=0.6915\)，因此：\[P(0<X<2)=2\times0.6915-1=0.3830\]易錯點：正態(tài)分布的概率密度是對稱的，但僅當\(\mu=0\)時關于原點對稱。標準化是計算正態(tài)概率的關鍵步驟，需牢記公式\(Z=(X-\mu)/\sigma\)。三、多維隨機變量及其分布3.1二維離散型隨機變量的聯合分布與邊緣分布習題8：設二維離散型隨機變量\((X,Y)\)的聯合分布律如下表所示，求：(1)邊緣分布律\(P(X=1)\)、\(P(Y=2)\)；(2)條件分布律\(P(X=1|Y=2)\)。\(X\setminusY\)1210.10.220.30.4解析：(1)邊緣分布律是聯合分布律的行/列求和：\[P(X=1)=P(X=1,Y=1)+P(X=1,Y=2)=0.1+0.2=0.3\]\[P(Y=2)=P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=2)=0.2+0.4=0.6\](2)條件分布律公式：\[P(X=x_i|Y=y_j)=\frac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_j)}\quad(P(Y=y_j)>0)\]因此：\[P(X=1|Y=2)=\frac{P(X=1,Y=2)}{P(Y=2)}=\frac{0.2}{0.6}=\frac{1}{3}\]易錯點：邊緣分布\(P(X=x_i)\)是“固定\(X=x_i\)，對\(Y\)所有可能值求和”，條件分布則是“在\(Y=y_j\)發(fā)生的條件下，\(X\)的分布”，需用聯合概率除以邊緣概率。3.2二維連續(xù)型隨機變量的獨立性習題9：設二維連續(xù)型隨機變量\((X,Y)\)的聯合概率密度為：\[f(x,y)=\begin{cases}6e^{-(2x+3y)},&x>0,y>0\\0,&\text{其他}\end{cases}\]判斷\(X\)與\(Y\)是否獨立。解析：兩隨機變量獨立的充要條件是聯合概率密度等于邊緣概率密度的乘積，即\(f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\)（對所有\(zhòng)(x,y\)）。第一步：求邊緣概率密度\(f_X(x)\)和\(f_Y(y)\)：\[f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy=\int_0^{+\infty}6e^{-(2x+3y)}dy=6e^{-2x}\int_0^{+\infty}e^{-3y}dy=6e^{-2x}\cdot\frac{1}{3}=2e^{-2x}\quad(x>0)\]\[f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx=\int_0^{+\infty}6e^{-(2x+3y)}dx=6e^{-3y}\int_0^{+\infty}e^{-2x}dx=6e^{-3y}\cdot\frac{1}{2}=3e^{-3y}\quad(y>0)\]第二步：驗證乘積是否等于聯合密度：\[f_X(x)f_Y(y)=2e^{-2x}\cdot3e^{-3y}=6e^{-(2x+3y)}=f(x,y)\]因此，\(X\)與\(Y\)獨立。易錯點：獨立性的判斷需對所有\(zhòng)(x,y\)成立，不能僅驗證某一點。若聯合密度可分離為僅關于\(x\)和僅關于\(y\)的函數乘積（且定義域為矩形區(qū)域），則必獨立。四、數字特征4.1期望與方差的計算習題10：設離散型隨機變量\(X\)的分布律為\(P(X=k)=\frac{1}{3}\)（\(k=1,2,3\)），求：(1)期望\(E(X)\)；(2)方差\(D(X)\)。解析：(1)期望（均值）的定義：對離散型隨機變量，\(E(X)=\sum_{k}x_kP(X=x_k)\)，故：\[E(X)=1\times\frac{1}{3}+2\times\frac{1}{3}+3\times\frac{1}{3}=2\](2)方差的定義：\(D(X)=E[(X-E(X))^2]\)，常用簡化公式：\(D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\)。先計算\(E(X^2)\)：\[E(X^2)=1^2\times\frac{1}{3}+2^2\times\frac{1}{3}+3^2\times\frac{1}{3}=\frac{1+4+9}{3}=\frac{14}{3}\]因此：\[D(X)=\frac{14}{3}-2^2=\frac{14}{3}-4=\frac{2}{3}\]易錯點：方差的簡化公式是高頻考點，需牢記\(D(X)=E(X^2)-(E(X))^2\)，避免直接計算\(E[(X-E(X))^2]\)（計算量更大）。4.2協(xié)方差與相關系數習題11：設二維隨機變量\((X,Y)\)的聯合分布律如下表所示，求協(xié)方差\(Cov(X,Y)\)和相關系數\(\rho_{XY}\)。\(X\setminusY\)0100.20.310.40.1解析：第一步：求邊緣期望\(E(X)\)、\(E(Y)\)：\[E(X)=0\times(0.2+0.3)+1\times(0.4+0.1)=0.5\]\[E(Y)=0\times(0.2+0.4)+1\times(0.3+0.1)=0.4\]第二步：求聯合期望\(E(XY)\)（\(XY\)的可能取值為0或1）：\[E(XY)=0\times0\times0.2+0\times1\times0.3+1\times0\times0.4+1\times1\times0.1=0.1\]第三步：計算協(xié)方差：\[Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0.1-0.5\times0.4=0.1-0.2=-0.1\]第四步：計算方差\(D(X)\)、\(D(Y)\)：\[D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=(0^2\times0.5+1^2\times0.5)-0.5^2=0.5-0.25=0.25\]\[D(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2=(0^2\times0.6+1^2\times0.4)-0.4^2=0.4-0.16=0.24\]第五步：計算相關系數（衡量線性相關程度，范圍\([-1,1]\)）：\[\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}=\frac{-0.1}{\sqrt{0.25\times0.24}}=\frac{-0.1}{\sqrt{0.06}}\approx-0.4082\]易錯點：協(xié)方差\(Cov(X,Y)\)衡量“線性相關的方向”（正/負），但受量綱影響；相關系數\(\rho_{XY}\)是無量綱的，更能反映線性相關的強弱（\(\rho=0\)表示不線性相關，但可能存在非線性相關）。4.3切比雪夫不等式的應用習題12：設隨機變量\(X\)的期望\(E(X)=5\)，方差\(D(X)=4\)，用切比雪夫不等式估計\(P(|X-5|\geq3)\)的上界。解析：切比雪夫不等式：對任意隨機變量\(X\)（無論分布如何），若\(E(X)=\mu\)，\(D(X)=\sigma^2\)，則對任意\(\epsilon>0\)，有：\[P(|X-\mu|\geq\epsilon)\leq\frac{\sigma^2}{\epsilon^2}\]本題中，\(\mu=5\)，\(\sigma^2=4\)，\(\epsilon=3\)，代入得：\[P(|X-5|\geq3)\leq\frac{4}{3^2}=\frac{4}{9}\approx0.4444\]易錯點：切比雪夫不等式給出的是概率的上界（最壞情況），適用于所有分布，但僅當分布未知時才用。若已知分布（如正態(tài)分布），直接計算概率更準確。五、極限定理5.1中心極限定理的近似計算習題13：某車間有100臺機床，每臺機床獨立工作，開工率為0.8（即每臺機床開工的概率為0.8）。每臺機床開工時耗電量為1千瓦，求該車間耗電量超過85千瓦的概率（即開工機床數超過85臺的概率）。解析：設\(X\)為100臺機床中開工的數量，則\(X\simB(100,