高中數(shù)學(xué)函數(shù)與方程專項(xiàng)訓(xùn)練題及解析一、引言函數(shù)與方程是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，二者通過“零點(diǎn)”建立緊密聯(lián)系（方程\(f(x)=0\)的解即為函數(shù)\(f(x)\)的零點(diǎn)）。該專題涉及零點(diǎn)存在定理、圖像法、導(dǎo)數(shù)法、分類討論等重要思想方法，是高考的高頻考點(diǎn)（如2023年全國卷Ⅰ第12題、2022年全國卷Ⅱ第21題）。本文通過基礎(chǔ)題型、綜合題型、創(chuàng)新題型的分層訓(xùn)練，幫助學(xué)生系統(tǒng)掌握函數(shù)與方程的解題邏輯，提升實(shí)戰(zhàn)能力。二、基礎(chǔ)題型訓(xùn)練及解析基礎(chǔ)題型聚焦核心概念與常規(guī)方法，是解決復(fù)雜問題的基石。（一）零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用例1判斷函數(shù)\(f(x)=e^x-x-2\)在區(qū)間\((0,2)\)內(nèi)是否存在零點(diǎn)，并說明理由。解析1.連續(xù)性判斷：\(e^x\)與\(x\)均為連續(xù)函數(shù)，故\(f(x)\)在\((0,2)\)內(nèi)連續(xù)。2.端點(diǎn)函數(shù)值計(jì)算：\(f(0)=e^0-0-2=-1<0\)；\(f(2)=e^2-2-2=e^2-4\approx3.389>0\)。3.零點(diǎn)存在定理：連續(xù)函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值異號，則\((0,2)\)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。4.單調(diào)性驗(yàn)證（判斷個(gè)數(shù)）：\(f'(x)=e^x-1\)，當(dāng)\(x>0\)時(shí)，\(e^x>1\)，故\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)在\((0,+∞)\)單調(diào)遞增。因此，\((0,2)\)內(nèi)只有1個(gè)零點(diǎn)。易錯點(diǎn)：零點(diǎn)存在定理僅能判斷“存在性”，需結(jié)合單調(diào)性判斷“個(gè)數(shù)”。（二）方程解的個(gè)數(shù)與函數(shù)圖像交點(diǎn)例2求方程\(\lnx=x-1\)的解的個(gè)數(shù)。解析令\(f(x)=\lnx-x+1\)，則問題轉(zhuǎn)化為求\(f(x)=0\)的解的個(gè)數(shù)（即\(y=\lnx\)與\(y=x-1\)的圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)）。1.特殊點(diǎn)計(jì)算：\(f(1)=\ln1-1+1=0\)，故\(x=1\)是一個(gè)解。2.導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性：\(f'(x)=\frac{1}{x}-1\)，令\(f'(x)=0\)得\(x=1\)。當(dāng)\(0<x<1\)時(shí)，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞增；當(dāng)\(x>1\)時(shí)，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞減。3.極值判斷：\(f(x)\)在\(x=1\)處取得極大值\(f(1)=0\)，故\(f(x)≤0\)恒成立（僅在\(x=1\)時(shí)取等號）。結(jié)論：方程只有1個(gè)解（\(x=1\)）。易錯點(diǎn)：避免僅通過圖像“直覺判斷”，需結(jié)合導(dǎo)數(shù)驗(yàn)證極值，確保無遺漏交點(diǎn)。（三）二次方程根的分布問題例3已知方程\(x2+ax+1=0\)在區(qū)間\((0,2)\)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根，求\(a\)的取值范圍。解析令\(f(x)=x2+ax+1\)（開口向上），需滿足以下條件：1.判別式≥0（有兩個(gè)實(shí)根）：\(\Delta=a2-4≥0\)→\(a≤-2\)或\(a≥2\)；2.對稱軸在區(qū)間內(nèi)（兩根均在\((0,2)\)內(nèi)）：\(0<-\frac{a}{2}<2\)→\(-4<a<0\)；3.端點(diǎn)函數(shù)值>0（開口向上，避免根在區(qū)間外）：\(f(0)=1>0\)（恒成立）；\(f(2)=4+2a+1=5+2a>0\)→\(a>-\frac{5}{2}\)。綜合條件：\(-\frac{5}{2}<a≤-2\)。驗(yàn)證：當(dāng)\(a=-2\)時(shí)，方程為\((x-1)2=0\)，根為\(x=1\)（二重根，在\((0,2)\)內(nèi)）；當(dāng)\(a=-\frac{5}{2}\)時(shí)，\(f(2)=0\)，根為\(x=2\)（區(qū)間端點(diǎn)，不符合“內(nèi)”的要求）。易錯點(diǎn)：二次方程根的分布需同時(shí)滿足“判別式、對稱軸、端點(diǎn)函數(shù)值”三個(gè)條件，缺一不可。三、綜合題型訓(xùn)練及解析綜合題型結(jié)合導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)等知識點(diǎn)，考查知識的遷移應(yīng)用能力。（一）導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷例4求函數(shù)\(f(x)=x-\lnx\)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。解析1.定義域：\((0,+∞)\)。2.導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性：\(f'(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}\)，令\(f'(x)=0\)得\(x=1\)。當(dāng)\(0<x<1\)時(shí)，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞減；當(dāng)\(x>1\)時(shí)，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞增。3.極值判斷：\(f(x)\)在\(x=1\)處取得極小值\(f(1)=1-\ln1=1>0\)。結(jié)論：\(f(x)≥1>0\)恒成立，無零點(diǎn)。方法總結(jié)：通過導(dǎo)數(shù)求極值，若極值符號與函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的極限符號一致，則可判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)。（二）三角函數(shù)方程的解的個(gè)數(shù)例5求方程\(\sinx=x\)的解的個(gè)數(shù)。解析令\(f(x)=\sinx-x\)，則問題轉(zhuǎn)化為求\(f(x)=0\)的解的個(gè)數(shù)。1.特殊點(diǎn)：\(f(0)=\sin0-0=0\)，故\(x=0\)是一個(gè)解。2.導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性：\(f'(x)=\cosx-1\)，因\(\cosx≤1\)，故\(f'(x)≤0\)恒成立（僅在\(x=2kπ\(zhòng))時(shí)取等號）。因此，\(f(x)\)在\(R\)上單調(diào)遞減。3.極限分析：當(dāng)\(x→+∞\)時(shí)，\(x\)增長快于\(\sinx\)，故\(f(x)→-∞\)；當(dāng)\(x→-∞\)時(shí)，\(-x\)增長快于\(\sinx\)，故\(f(x)→+∞\)。結(jié)論：單調(diào)遞減函數(shù)最多有一個(gè)零點(diǎn)，故方程只有1個(gè)解（\(x=0\)）。易錯點(diǎn)：避免誤以為\(\sinx\)與\(x\)有多個(gè)交點(diǎn)，需結(jié)合三角函數(shù)的有界性（\(|\sinx|≤1\)）與單調(diào)性判斷。（三）二次方程根的分布與不等式結(jié)合例6已知方程\(x2+(m-1)x+m2=0\)有兩個(gè)實(shí)根，且兩根都大于\(-1\)，求\(m\)的取值范圍。解析令\(f(x)=x2+(m-1)x+m2\)（開口向上），需滿足：1.判別式≥0：\(\Delta=(m-1)2-4m2≥0\)→\(-1≤m≤\frac{1}{3}\)；2.對稱軸>-1（兩根中點(diǎn)在\(-1\)右側(cè)）：\(-\frac{m-1}{2}>-1\)→\(m<3\)；3.\(f(-1)>0\)（避免根≤-1）：\(1-(m-1)+m2=m2-m+2>0\)（判別式\(\Delta=1-8=-7<0\)，恒成立）。綜合條件：\(-1≤m≤\frac{1}{3}\)。驗(yàn)證：當(dāng)\(m=-1\)時(shí)，方程為\((x-1)2=0\)，根為\(x=1\)（大于-1）；當(dāng)\(m=\frac{1}{3}\)時(shí)，方程為\((x-\frac{1}{3})2=0\)，根為\(x=\frac{1}{3}\)（大于-1）。四、創(chuàng)新題型訓(xùn)練及解析創(chuàng)新題型聚焦“分段函數(shù)”“復(fù)合函數(shù)”“含參數(shù)討論”，考查靈活應(yīng)用能力。（一）分段函數(shù)的零點(diǎn)問題例7求函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x2-2x,&x≤1\\\lnx,&x>1\end{cases}\)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。解析分段討論：1.當(dāng)\(x≤1\)時(shí)：\(f(x)=x2-2x\)，令\(x2-2x=0\)得\(x=0\)或\(x=2\)（\(x=2>1\)，舍去），故\(x=0\)是零點(diǎn)；2.當(dāng)\(x>1\)時(shí)：\(f(x)=\lnx\)，令\(\lnx=0\)得\(x=1\)（\(x=1\)不滿足\(x>1\)，舍去），故無零點(diǎn)。結(jié)論：函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)（\(x=0\)）。易錯點(diǎn)：分段函數(shù)的零點(diǎn)需在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)驗(yàn)證，避免“解方程忽略區(qū)間”的錯誤。（二）復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問題例8已知函數(shù)\(f(x)=x2-1\)，求方程\(f(f(x))=0\)的解的個(gè)數(shù)。解析采用“分層處理”法：1.令\(t=f(x)\)，則方程轉(zhuǎn)化為\(f(t)=0\)，即\(t2-1=0\)，解得\(t=1\)或\(t=-1\)；2.求\(f(x)=1\)的解：\(x2-1=1\)→\(x2=2\)→\(x=±\sqrt{2}\)；3.求\(f(x)=-1\)的解：\(x2-1=-1\)→\(x2=0\)→\(x=0\)。結(jié)論：方程\(f(f(x))=0\)的解為\(x=\sqrt{2},-\sqrt{2},0\)，共3個(gè)解。方法總結(jié)：復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)需“從外到內(nèi)”分層求解，先求內(nèi)層函數(shù)的值，再求外層函數(shù)的解。（三）含參數(shù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)討論例9討論函數(shù)\(f(x)=ax-\lnx\)（\(a>0\)）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。解析1.定義域：\((0,+∞)\)；2.導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性：\(f'(x)=a-\frac{1}{x}\)，令\(f'(x)=0\)得\(x=\frac{1}{a}\)；當(dāng)\(0<x<\frac{1}{a}\)時(shí)，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞減；當(dāng)\(x>\frac{1}{a}\)時(shí)，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞增；3.極小值：\(f(\frac{1}{a})=a·\frac{1}{a}-\ln\frac{1}{a}=1+\lna\)。分類討論：當(dāng)\(1+\lna<0\)（即\(0<a<\frac{1}{e}\)）：極小值<0，且\(x→0+\)時(shí)\(f(x)→+∞\)，\(x→+∞\)時(shí)\(f(x)→+∞\)，故2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)\(1+\lna=0\)（即\(a=\frac{1}{e}\)）：極小值=0，故1個(gè)零點(diǎn)（\(x=\frac{1}{a}=e\)）；當(dāng)\(1+\lna>0\)（即\(a>\frac{1}{e}\)）：極小值>0，故0個(gè)零點(diǎn)。結(jié)論：\(0<a<\frac{1}{e}\)時(shí)，2個(gè)零點(diǎn)；\(a=\frac{1}{e}\)時(shí)，1個(gè)零點(diǎn)；\(a>\frac{1}{e}\)時(shí)，0個(gè)零點(diǎn)。易錯點(diǎn)：含參數(shù)討論需找到“臨界點(diǎn)”（極小值等于0時(shí)的參數(shù)值），再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與極限情況判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)。五、總結(jié)函數(shù)與方程的核心思想是“轉(zhuǎn)化”：將方程解的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)或圖像交點(diǎn)問題，通過零點(diǎn)存在定理（判斷存在性）、導(dǎo)數(shù)法（研究單調(diào)性與極值）、分類