廣東省2022年高考數(shù)學(xué)真題詳解一、引言2022年是廣東省實行新高考的第三年，數(shù)學(xué)科目采用新高考Ⅰ卷。試卷延續(xù)了“注重基礎(chǔ)、強調(diào)能力、聯(lián)系實際”的命題風(fēng)格，既考查基礎(chǔ)知識的掌握，又注重邏輯思維、運算能力和應(yīng)用意識的提升。試卷結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，分為選擇題（8道，40分）、填空題（4道，20分）、解答題（6道，70分）三大類。本文將對真題進行專業(yè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕馕?，涵蓋考點分析、思路梳理、解答過程及易錯提醒，為考生提供實用的備考參考。二、選擇題詳解1.第1題：集合的交集運算考點：集合表示、一元二次不等式解法、交集運算題目：集合\(A=\{x|x^2-4x+3<0\}\)，\(B=\{x|2x-3>0\}\)，則\(A\capB=\)（）A.\((1,\frac{3}{2})\)B.\((1,3)\)C.\((\frac{3}{2},3)\)D.\((\frac{3}{2},+\infty)\)思路分析：先化簡集合\(A\)（解一元二次不等式）和\(B\)（解一元一次不等式），再求兩者的公共部分。解答過程：化簡\(A\)：\((x-1)(x-3)<0\)，解得\(1<x<3\)，故\(A=(1,3)\)；化簡\(B\)：\(2x-3>0\)，解得\(x>\frac{3}{2}\)，故\(B=(\frac{3}{2},+\infty)\)；交集：\(A\capB=(\frac{3}{2},3)\)。答案：C易錯提醒：解二次不等式時注意解集方向；交集取“重疊部分”，避免混淆“且”與“或”。2.第2題：復(fù)數(shù)的運算與共軛復(fù)數(shù)考點：復(fù)數(shù)乘法、共軛復(fù)數(shù)定義題目：若\(z(1+i)=2i\)，則\(\overline{z}=\)（）A.\(1+i\)B.\(1-i\)C.\(-1+i\)D.\(-1-i\)思路分析：先通過分母有理化求\(z\)，再求共軛復(fù)數(shù)（實部相同，虛部相反）。解答過程：求\(z\)：\(z=\frac{2i}{1+i}=\frac{2i(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2i-2i^2}{2}=1+i\)；共軛復(fù)數(shù)：\(\overline{z}=1-i\)。答案：B易錯提醒：分母有理化需乘共軛復(fù)數(shù)；共軛復(fù)數(shù)虛部符號易出錯。三、填空題詳解9.第9題：向量的數(shù)量積考點：向量坐標(biāo)表示、數(shù)量積運算題目：已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(2,-1)\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=\)________。思路分析：數(shù)量積等于對應(yīng)坐標(biāo)乘積之和，即\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=x_1x_2+y_1y_2\)。解答過程：\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=1\times2+2\times(-1)=0\)。答案：0易錯提醒：數(shù)量積是標(biāo)量，避免與模長公式混淆（模長需開根號）。10.第10題：等差數(shù)列的前\(n\)項和考點：等差數(shù)列通項、前\(n\)項和公式題目：等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)公差為2，\(S_3=15\)，則\(a_1=\)________。思路分析：前\(n\)項和公式\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)，代入\(n=3\)、\(d=2\)求\(a_1\)。解答過程：\(S_3=3a_1+\frac{3\times2}{2}\times2=3a_1+6=15\)，解得\(a_1=3\)。答案：3易錯提醒：前\(n\)項和公式有兩種形式，需根據(jù)條件選擇。四、解答題詳解17.第17題：遞推數(shù)列求通項考點：線性非齊次遞推、等比數(shù)列構(gòu)造題目：已知\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+1\)，求\(\{a_n\}\)的通項公式。思路分析：通過構(gòu)造等比數(shù)列轉(zhuǎn)化遞推關(guān)系（加常數(shù)使遞推式變?yōu)榈缺刃问剑?。解答過程：構(gòu)造等比數(shù)列：設(shè)\(a_{n+1}+k=2(a_n+k)\)，對比原遞推式得\(k=1\)；故\(\{a_n+1\}\)是以\(2\)為首項、2為公比的等比數(shù)列；通項：\(a_n+1=2^n\)，即\(a_n=2^n-1\)。答案：\(a_n=2^n-1\)易錯提醒：構(gòu)造等比數(shù)列時需正確選擇常數(shù)\(k\)，確保遞推式轉(zhuǎn)化正確。18.第18題：立體幾何（線面垂直、二面角）考點：線面垂直判定、二面角求法（向量法）題目：直三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)中，\(AC=BC=1\)，\(\angleACB=90^\circ\)，\(AA_1=\sqrt{2}\)，\(D\)是\(A_1B_1\)中點。（1）證明：\(C_1D\perp\)平面\(A_1AB\)；（2）求二面角\(B-AC-B_1\)的余弦值。思路分析：（1）線面垂直需證明直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直（向量法驗證點積為0）；（2）二面角通過法向量夾角計算（需結(jié)合圖形判斷銳角/鈍角）。解答過程：（1）證明：建立坐標(biāo)系：\(C(0,0,0)\)，\(A(1,0,0)\)，\(B(0,1,0)\)，\(C_1(0,0,\sqrt{2})\)，\(A_1(1,0,\sqrt{2})\)，\(B_1(0,1,\sqrt{2})\)；\(D\)坐標(biāo)：\((\frac{1}{2},\frac{1}{2},\sqrt{2})\)，向量\(C_1D=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)\)；平面\(A_1AB\)內(nèi)向量：\(AB=(-1,1,0)\)，\(AA_1=(0,0,\sqrt{2})\)；驗證垂直：\(C_1D\cdotAB=0\)，\(C_1D\cdotAA_1=0\)，故\(C_1D\perp\)平面\(A_1AB\)。（2）求二面角：平面\(BAC\)（底面）法向量：\(\overrightarrow{m}=(0,0,1)\)；平面\(B_1AC\)法向量：設(shè)\(\overrightarrow{n}=(x,y,z)\)，由\(\overrightarrow{n}\cdotAC=0\)、\(\overrightarrow{n}\cdotAB_1=0\)得\(\overrightarrow{n}=(0,-\sqrt{2},1)\)；夾角余弦值：\(\cos\theta=\frac{\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)（二面角為銳角）。答案：（1）證明見上述過程；（2）\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)易錯提醒：坐標(biāo)系需符合右手定則；法向量計算需正確列出方程；二面角與法向量夾角的關(guān)系需結(jié)合圖形判斷。19.第19題：概率統(tǒng)計（分層抽樣、古典概型、條件概率）考點：分層抽樣定義、古典概型、條件概率題目：社區(qū)1000人（600老人、400年輕人），分層抽樣取100人。（1）求抽取的老人、年輕人數(shù)量；（2）抽取的老人中30人接種，年輕人中20人接種，求任取1人是接種老人的概率；（3）任取1人是年輕人，求其接種的概率。思路分析：（1）分層抽樣按比例抽取（樣本容量/總體容量）；（2）古典概型：符合條件數(shù)/總樣本數(shù)；（3）條件概率：\(P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}\)（或“B條件下A的結(jié)果數(shù)/B的結(jié)果數(shù)”）。解答過程：（1）抽取比例：\(\frac{100}{1000}=\frac{1}{10}\)，老人：\(600\times\frac{1}{10}=60\)，年輕人：\(400\times\frac{1}{10}=40\)；（2）概率：\(\frac{30}{100}=0.3\)；（3）條件概率：\(\frac{20}{40}=0.5\)。答案：（1）老人60人，年輕人40人；（2）0.3；（3）0.5易錯提醒：分層抽樣比例需準(zhǔn)確；條件概率需明確“已知條件”對應(yīng)的樣本空間。20.第20題：圓錐曲線（橢圓方程、直線與橢圓位置關(guān)系）考點：橢圓離心率、標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓相交、向量垂直題目：橢圓\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)離心率\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，過點\((2,1)\)。（1）求橢圓方程；（2）直線\(l:y=kx+m\)與\(C\)交于\(A、B\)，\(OA\perpOB\)，求\(m\)的取值范圍。思路分析：（1）離心率\(e=\frac{c}{a}\)，結(jié)合\(c^2=a^2-b^2\)和點坐標(biāo)求\(a^2、b^2\)；（2）聯(lián)立方程，韋達定理代入\(OA\perpOB\)（\(x_1x_2+y_1y_2=0\)），結(jié)合判別式求\(m\)范圍。解答過程：（1）求橢圓方程：離心率：\(\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，故\(c=\frac{\sqrt{2}}{2}a\)，\(b^2=a^2-c^2=\frac{1}{2}a^2\)；代入點\((2,1)\)：\(\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{1}{2}a^2}=1\)，解得\(a^2=6\)，\(b^2=3\)；橢圓方程：\(\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1\)。（2）求\(m\)取值范圍：聯(lián)立方程：\((1+2k^2)x^2+4kmx+2m^2-6=0\)，判別式\(\Delta=16k^2m^2-4(1+2k^2)(2m^2-6)>0\)，化簡得\(6k^2+3>m^2\)（*）；韋達定理：\(x_1+x_2=-\frac{4km}{1+2k^2}\)，\(x_1x_2=\frac{2m^2-6}{1+2k^2}\)；\(OA\perpOB\)：\(x_1x_2+y_1y_2=0\)，代入\(y=kx+m\)得\((1+k^2)x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2=0\)；化簡得\(m^2=2k^2+2\)（**），代入（*）得\(m^2\geq2\)，故\(m\geq\sqrt{2}\)或\(m\leq-\sqrt{2}\)。答案：（1）\(\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1\)；（2）\((-\infty,-\sqrt{2}]\cup[\sqrt{2},+\infty)\)易錯提醒：橢圓離心率公式需與雙曲線區(qū)分（橢圓\(c^2=a^2-b^2\)）；聯(lián)立方程時需正確展開；韋達定理應(yīng)用需注意符號。21.第21題：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（單調(diào)性、恒成立問題）考點：導(dǎo)數(shù)計算、單調(diào)區(qū)間、恒成立問題（最小值）題目：函數(shù)\(f(x)=e^x-ax-1\)（\(a\inR\)）。（1）求單調(diào)區(qū)間；（2）若\(f(x)\geq0\)對所有\(zhòng)(x\inR\)成立，求\(a\)的取值范圍。思路分析：（1）單調(diào)區(qū)間由導(dǎo)數(shù)符號決定（分\(a\leq0\)、\(a>0\)討論）；（2）恒成立問題轉(zhuǎn)化為最小值\(\geq0\)（通過導(dǎo)數(shù)求極值點，計算最小值）。解答過程：（1）單調(diào)區(qū)間：導(dǎo)數(shù)：\(f'(x)=e^x-a\)；\(a\leq0\)時，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)在\(R\)上單調(diào)遞增；\(a>0\)時，\(x<\lna\)時\(f'(x)<0\)（遞減），\(x>\lna\)時\(f'(x)>0\)（遞增）。（2）恒成立問題：\(a\leq0\)時，\(x\to-\infty\)時\(f(x)\to-\infty\)，不符合；\(a>0\)時，最小值在\(x=\lna\)處，\(f(\lna)=a-a\lna-1\geq0\)；令\(g(a)=a-a\lna-1\)，導(dǎo)數(shù)\(g'(a)=-\lna\)，\(g(a)\)在\(a=1\)處取得最大值0，故\(a=1\)。答案：（1）\(a\leq0\)時單調(diào)遞增區(qū)間\((-\infty,+\infty)\)；\(a>0\)時遞減區(qū)間\((-\infty,\lna)\)，遞增區(qū)間\((\lna,+\infty)\)；（2）\(a=1\)易錯提醒：單調(diào)區(qū)間需分情況討論；恒成立問題需正確分析函數(shù)極值，避免錯誤判斷單調(diào)性。22.第22題：選考題（不等式選講）考點：絕對值不等式解法（零點分段法）題目：解不等式\(|x+1|+|x-2|\geq5\)。思路分析：零點分段法（找到絕對值零點，分區(qū)間去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為普通不等式）。解答過程：零點：\(x=-1\)（\(|x+1|\)零點）、\(x=2\)（\(|x-2|\)零點），分區(qū)間\((-\in