2024年上海市高三數(shù)學(xué)模擬試卷解析一、試卷整體分析：命題趨勢與考查特點(diǎn)2024年上海市高三數(shù)學(xué)模擬卷延續(xù)了上海高考“重思維、重應(yīng)用、重文化”的命題風(fēng)格，整體難度與2023年高考持平，呈現(xiàn)以下三大特點(diǎn)：1.基礎(chǔ)考查全覆蓋：函數(shù)、三角、數(shù)列、立體幾何、解析幾何、概率統(tǒng)計等核心模塊均有涉及，且注重概念的深度理解（如函數(shù)奇偶性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、橢圓離心率的幾何意義）。2.能力導(dǎo)向突出：強(qiáng)調(diào)邏輯推理（如數(shù)列遞推關(guān)系的轉(zhuǎn)化）、數(shù)學(xué)運(yùn)算（如導(dǎo)數(shù)與圓錐曲線的聯(lián)立計算）、直觀想象（如立體幾何翻折問題的空間感知），尤其重視“用數(shù)學(xué)解決問題”的應(yīng)用意識（如概率統(tǒng)計中的直方圖分析、函數(shù)模型的建立）。3.創(chuàng)新題型體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化：結(jié)合《九章算術(shù)》《周髀算經(jīng)》等古代數(shù)學(xué)著作的題目（如“陽馬”體積計算、“更相減損術(shù)”的算法應(yīng)用），以及新定義問題（如“擬奇函數(shù)”的性質(zhì)探究），考查學(xué)生的閱讀理解與知識遷移能力。二、分專題解析：考點(diǎn)透視與解題策略（一）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)：核心工具的靈活應(yīng)用1.考點(diǎn)分析2024年模擬卷中，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的考查重點(diǎn)集中在：函數(shù)的基本性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、周期性）與圖像；導(dǎo)數(shù)的幾何意義（切線方程）；導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用（極值、最值、單調(diào)性）；函數(shù)與不等式的結(jié)合（如利用導(dǎo)數(shù)證明不等式）。2.典型例題解析例1（導(dǎo)數(shù)的幾何意義）：已知函數(shù)\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)，其圖像在點(diǎn)\((1,f(1))\)處的切線方程為\(y=2x+1\)，且\(f(0)=3\)，求\(a,b,c\)的值。解析：第一步：利用切線方程求導(dǎo)數(shù)在\(x=1\)處的值。切線斜率為2，故\(f'(1)=2\)。第二步：計算\(f'(x)=3x^2+2ax+b\)，代入\(x=1\)得\(3+2a+b=2\)，即\(2a+b=-1\)。第三步：利用切點(diǎn)在切線上，得\(f(1)=2\times1+1=3\)，即\(1+a+b+c=3\)，化簡得\(a+b+c=2\)。第四步：利用\(f(0)=3\)，得\(c=3\)。聯(lián)立方程：\(2a+b=-1\)，\(a+b+3=2\)，解得\(a=0\)，\(b=-1\)，\(c=3\)。例2（導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值）：已知函數(shù)\(f(x)=\lnx+\frac{k}{x}\)（\(k\in\mathbb{R}\)），求其極值。解析：第一步：確定定義域：\(x>0\)。第二步：求導(dǎo)得\(f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{k}{x^2}=\frac{x-k}{x^2}\)。第三步：分析導(dǎo)數(shù)符號：當(dāng)\(k\leq0\)時，\(f'(x)>0\)在\((0,+\infty)\)上恒成立，函數(shù)無極值；當(dāng)\(k>0\)時，令\(f'(x)=0\)得\(x=k\)。當(dāng)\(0<x<k\)時，\(f'(x)<0\)，函數(shù)遞減；當(dāng)\(x>k\)時，\(f'(x)>0\)，函數(shù)遞增。故\(x=k\)時，函數(shù)取得極小值\(f(k)=\lnk+1\)，無極大值。3.解題策略與易錯點(diǎn)提醒策略1：定義域優(yōu)先！在研究函數(shù)性質(zhì)（如單調(diào)性、極值）時，必須先確定定義域（如例2中\(zhòng)(x>0\)是關(guān)鍵）。策略2：導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用需注意“切點(diǎn)既在函數(shù)圖像上，又在切線上”（如例1中\(zhòng)(f(1)=3\)的條件）。易錯點(diǎn)：求極值時忽略“導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)”（需驗(yàn)證左右導(dǎo)數(shù)符號變化）；分類討論時遺漏參數(shù)的邊界情況（如例2中\(zhòng)(k\leq0\)的情況）。（二）立體幾何：空間向量與幾何推理的結(jié)合1.考點(diǎn)分析2024年模擬卷中，立體幾何的考查重點(diǎn)為：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征（如棱柱、棱錐、球的體積與表面積）；空間線面位置關(guān)系的判定（平行、垂直）；空間角的計算（線面角、二面角）；翻折問題（平面圖形與立體圖形的轉(zhuǎn)化）。2.典型例題解析例3（二面角的計算）：如圖，在長方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(AB=2\)，\(AD=1\)，\(AA_1=3\)，\(E\)為\(CC_1\)的中點(diǎn)，求平面\(A_1BE\)與平面\(ABCD\)所成二面角的余弦值。解析：第一步：建立空間直角坐標(biāo)系。以\(A\)為原點(diǎn)，\(AB\)、\(AD\)、\(AA_1\)分別為\(x\)、\(y\)、\(z\)軸，得坐標(biāo)：\(A_1(0,0,3)\)，\(B(2,0,0)\)，\(E(2,1,1.5)\)，平面\(ABCD\)的法向量為\(\overrightarrow{n_1}=(0,0,1)\)。第二步：求平面\(A_1BE\)的法向量\(\overrightarrow{n_2}\)。向量\(\overrightarrow{A_1B}=(2,0,-3)\)，\(\overrightarrow{BE}=(0,1,1.5)\)，設(shè)\(\overrightarrow{n_2}=(x,y,z)\)，則\(\begin{cases}2x-3z=0\\y+1.5z=0\end{cases}\)，取\(z=2\)，得\(x=3\)，\(y=-3\)，故\(\overrightarrow{n_2}=(3,-3,2)\)。第三步：計算二面角余弦值。平面\(ABCD\)與平面\(A_1BE\)所成二面角為銳角（或直角），故余弦值為\(\left|\frac{\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}\right|=\left|\frac{0\times3+0\times(-3)+1\times2}{1\times\sqrt{3^2+(-3)^2+2^2}}\right|=\frac{2}{\sqrt{22}}=\frac{\sqrt{22}}{11}\)。3.解題策略與易錯點(diǎn)提醒策略1：空間角計算優(yōu)先選擇空間向量法，尤其是涉及棱柱、棱錐等規(guī)則幾何體時，坐標(biāo)系建立需遵循“右手定則”，盡量讓更多頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上（如例3中以\(A\)為原點(diǎn)）。策略2：線面平行的判定可轉(zhuǎn)化為“直線方向向量與平面法向量垂直”；線面垂直的判定可轉(zhuǎn)化為“直線方向向量與平面內(nèi)兩個不共線向量垂直”。易錯點(diǎn)：求二面角時，法向量夾角與二面角的關(guān)系需通過圖形判斷（銳角或鈍角），避免直接取余弦值導(dǎo)致符號錯誤；翻折問題中，需注意“翻折前后不變的長度與角度”（如線段長度、垂直關(guān)系）。（三）解析幾何：圓錐曲線與直線的位置關(guān)系1.考點(diǎn)分析2024年模擬卷中，解析幾何的考查重點(diǎn)為：圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（橢圓、拋物線、雙曲線）；直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（相交、相切、相離）；弦長公式、中點(diǎn)弦問題（點(diǎn)差法）；定點(diǎn)、定值問題（如直線過定點(diǎn)、面積定值）。2.典型例題解析例4（拋物線與定點(diǎn)問題）：已知拋物線\(C:y^2=4x\)，過點(diǎn)\(P(1,0)\)的直線\(l\)與\(C\)交于\(A,B\)兩點(diǎn)，求證：以\(AB\)為直徑的圓過定點(diǎn)。解析：第一步：設(shè)直線\(l\)的方程。當(dāng)直線\(l\)斜率存在時，設(shè)為\(y=k(x-1)\)（\(k\neq0\)）；當(dāng)斜率不存在時，直線為\(x=1\)，此時\(A(1,2)\)，\(B(1,-2)\)，以\(AB\)為直徑的圓方程為\((x-1)^2+y^2=4\)，過定點(diǎn)\((1,0)\)和\((3,0)\)（驗(yàn)證得\((3,0)\)代入成立）。第二步：聯(lián)立方程求\(A,B\)坐標(biāo)。將\(y=k(x-1)\)代入\(y^2=4x\)，得\(k^2(x-1)^2=4x\)，化簡為\(k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0\)。設(shè)\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，則\(x_1+x_2=\frac{2k^2+4}{k^2}=2+\frac{4}{k^2}\)，\(x_1x_2=1\)。第三步：求以\(AB\)為直徑的圓方程。圓心為\(\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(1+\frac{2}{k^2},\frac{k(x_1-1)+k(x_2-1)}{2}\right)=\left(1+\frac{2}{k^2},k\cdot\frac{x_1+x_2-2}{2}\right)=\left(1+\frac{2}{k^2},\frac{2}{k}\right)\)，半徑為\(\frac{1}{2}\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{(1+k^2)[(x_1+x_2)^2-4x_1x_2]}=\frac{1}{2}\sqrt{(1+k^2)\left((2+\frac{4}{k^2})^2-4\right)}=\frac{1}{2}\sqrt{(1+k^2)\cdot\frac{16}{k^4}}=\frac{2}{k^2}\sqrt{(1+k^2)}\)。第四步：驗(yàn)證定點(diǎn)。將圓方程整理為\(\left(x-1-\frac{2}{k^2}\right)^2+\left(y-\frac{2}{k}\right)^2=\frac{4(1+k^2)}{k^4}\)，展開得\((x-1)^2-\frac{4(x-1)}{k^2}+\frac{4}{k^4}+y^2-\frac{4y}{k}+\frac{4}{k^2}=\frac{4+4k^2}{k^4}\)，化簡得\((x-1)^2+y^2-\frac{4(x-1)}{k^2}-\frac{4y}{k}+\frac{4}{k^4}+\frac{4}{k^2}-\frac{4}{k^4}-\frac{4}{k^2}=0\)，即\((x-1)^2+y^2-4\cdot\frac{(x-1)+yk}{k^2}=0\)。要使圓過定點(diǎn)，需消除\(k\)的影響，令\((x-1)+yk=0\)，則\(k=-\frac{x-1}{y}\)（\(y\neq0\)），代入圓方程得\((x-1)^2+y^2=0\)，解得\(x=1\)，\(y=0\)（即點(diǎn)\(P\)），但之前驗(yàn)證得\((3,0)\)也在圓上，故需補(bǔ)充驗(yàn)證：當(dāng)\(y=0\)時，圓方程變?yōu)閈((x-1)^2=4\)，解得\(x=3\)或\(x=-1\)，但\(x=-1\)不在拋物線上，故定點(diǎn)為\((3,0)\)。3.解題策略與易錯點(diǎn)提醒策略1：直線與圓錐曲線相交問題，優(yōu)先設(shè)直線方程為\(y=kx+b\)（斜率存在）或\(x=m\)（斜率不存在），聯(lián)立方程后利用韋達(dá)定理表示根與系數(shù)的關(guān)系（如例4中\(zhòng)(x_1+x_2\)、\(x_1x_2\)）。策略2：中點(diǎn)弦問題可采用“點(diǎn)差法”（如橢圓中\(zhòng)(\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1\)，\(\frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}=1\)，兩式相減得\(\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{a^2}+\frac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{b^2}=0\)，進(jìn)而得到中點(diǎn)坐標(biāo)與直線斜率的關(guān)系）。易錯點(diǎn)：聯(lián)立方程時需注意圓錐曲線的范圍（如橢圓中\(zhòng)(x\in[-a,a]\)），避免出現(xiàn)增根；定點(diǎn)問題需通過“消去參數(shù)”（如例4中消去\(k\)）找到不依賴于參數(shù)的點(diǎn)，避免遺漏特殊情況（如斜率不存在的直線）。（四）概率與統(tǒng)計：數(shù)據(jù)處理與概率模型1.考點(diǎn)分析2024年模擬卷中，概率與統(tǒng)計的考查重點(diǎn)為：古典概型與幾何概型；離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差；統(tǒng)計圖表（直方圖、莖葉圖、頻率分布表）的分析；獨(dú)立性檢驗(yàn)（卡方統(tǒng)計量）。2.典型例題解析例5（直方圖與分布列）：某學(xué)校為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，抽取了100名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計，得到頻率分布直方圖如圖所示（分組為\([50,60)\)、\([60,70)\)、\([70,80)\)、\([80,90)\)、\([90,100]\)）。（1）求頻率分布直方圖中\(zhòng)(a\)的值；（2）若成績在\([80,90)\)的學(xué)生中有2名男生，成績在\([90,100]\)的學(xué)生中有3名男生，現(xiàn)從成績在\([80,100]\)的學(xué)生中任選2名，求至少有1名男生的概率。解析：（1）頻率分布直方圖中，各小組頻率之和為1。每組頻率=組距×高度，組距為10，故\(10\times(0.01+0.02+0.03+a+0.015)=1\)，解得\(a=0.025\)。（2）第一步：計算\([80,90)\)和\([90,100]\)的學(xué)生人數(shù)。\([80,90)\)的頻率為\(10\times0.025=0.25\)，人數(shù)為\(100\times0.25=25\)，其中男生2名，女生23名；\([90,100]\)的頻率為\(10\times0.015=0.15\)，人數(shù)為\(100\times0.15=15\)，其中男生3名，女生12名。故\([80,100]\)的學(xué)生總數(shù)為\(25+15=40\)，其中男生\(2+3=5\)名，女生\(23+12=35\)名。第二步：計算“至少有1名男生”的概率。對立事件為“全是女生”，故\(P=1-\frac{C_{35}^2}{C_{40}^2}=1-\frac{35\times34}{40\times39}=1-\frac{1190}{1560}=1-\frac{119}{156}=\frac{37}{156}\)。3.解題策略與易錯點(diǎn)提醒策略1：頻率分布直方圖中，“頻率=組距×高度”“頻數(shù)=樣本容量×頻率”是核心公式，需熟練掌握（如例5（1）中求\(a\)的值）。策略2：古典概型問題需明確“樣本空間”與“事件”，優(yōu)先選擇“對立事件”簡化計算（如例5（2）中“至少1名男生”的對立事件是“全女生”）。易錯點(diǎn)：統(tǒng)計圖表分析時，需注意“分組區(qū)間的開閉”（如\([50,60)\)表示50≤x<60）；離散型隨機(jī)變量的期望與方差計算時，需驗(yàn)證“分布列的和為1”，避免計算錯誤。（五）數(shù)學(xué)文化與創(chuàng)新題：知識遷移與閱讀理解1.考點(diǎn)分析2024年模擬卷中，數(shù)學(xué)文化與創(chuàng)新題的考查重點(diǎn)為：古代數(shù)學(xué)著作中的算法與幾何體（如《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”“陽馬體積”）；新定義函數(shù)（如“擬奇函數(shù)”“對稱函數(shù)”）；實(shí)際應(yīng)用問題（如“物流配送路徑優(yōu)化”“人口增長模型”）。2.典型例題解析例6（《九章算術(shù)》中的“陽馬”）：《九章算術(shù)》中記載：“陽馬者，方錐之一隅也，今謂之余方錐?！标栺R是底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐。已知某陽馬的底面長為2，寬為1，高為3，求其體積與表面積。解析：體積：陽馬為四棱錐，體積公式為\(V=\frac{1}{3}\times底面積\times高=\frac{1}{3}\times(2\times1)\times3=2\)。表面積：底面為矩形，面積為\(2\times1=2\)；四個側(cè)面中，兩個側(cè)面為直角三角形（垂直于底面的側(cè)棱與底面邊組成），面積分別為\(\frac{1}{2}\times2\times3=3\)、\(\frac{1}{2}\times1\times3=1.5\)；另外兩個側(cè)面為等腰三角形（底面邊與斜側(cè)棱組成），斜側(cè)棱長度為\(\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\)（長為2的底面邊對應(yīng)的斜側(cè)棱）和\(\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\)（長為1的底面邊對應(yīng)的斜側(cè)棱），但計算側(cè)面面積時，可采用“底面邊為底邊，斜高為高”嗎？不，正確的方法是：對于側(cè)面\(PAB\)（\(P\)為頂點(diǎn)，\(AB\)為底面長），\(PA\perp底面\)，故\(PA\perpAB\)，\(PB=\sqrt{PA^2+AB^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\)，但側(cè)面\(PAB\)是直角三角形嗎？是的，因?yàn)閈(PA\perp底面\)，所以\(PA\perpAB\)，\(PA\perpAD\)，故側(cè)面\(PAB\)、\(PAD\)是直角三角形，側(cè)面\(PBC\)、\(PCD\)是等腰三角形嗎？不，側(cè)面\(PBC\)中，\(BC=1\)，\(PB=\sqrt{13}\)，\(PC=\sqrt{PA^2+AC^2}=\sqrt{9+(4+1)}=\sqrt{14}\)，故側(cè)面\(PBC\)是一般三角形，計算其面積可采用“向量法”或“海倫公式”，但更簡單的方法是：陽馬的表面積=底面積+四個側(cè)面面積，其中兩個側(cè)面是直角三角形（面積分別為\(\frac{1}{2}\times2\times3=3\)、\(\frac{1}{2}\times1\times3=1.5\)），另外兩個側(cè)面是“直角梯形”嗎？不，陽馬的側(cè)面是四個三角形，其中兩個是直角三角形（與頂點(diǎn)相連的側(cè)棱垂直于底面），另外兩個是“斜三角形”，計算它們的面積可采用“底面邊為底邊，頂點(diǎn)到底邊的距離為高”。例如，側(cè)面\(PBC\)的底邊為\(BC=1\)，頂點(diǎn)\(P\)到底邊\(BC\)的距離是多少？因?yàn)閈(BC\parallelAD\)，\(AD\subset底面\)，\(PA\perp底面\)，故\(PA\perpAD\)，\(PD=\sqrt{PA^2+AD^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\)，但\(BC\)的中點(diǎn)為\(M\)，則\(PM=\sqrt{PA^2+AM^2}=\sqrt{9+(1+0.25)}=\sqrt{10.25}=\frac{\sqrt{41}}{2}\)，這顯然復(fù)雜，其實(shí)正確的做法是：陽馬的表面積=底面積+側(cè)面積，側(cè)面積=兩個直角三角形面積+兩個等腰三角形面積？不，等一下，陽馬的定義是“底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐”，所以頂點(diǎn)在底面的投影是矩形的一個頂點(diǎn)，例如，底面為\(ABCD\)（矩形），頂點(diǎn)\(P\)在底面的投影為\(A\)，故\(PA\perp底面\)，此時側(cè)面\(PAB\)、\(PAD\)是直角三角形（\(PA\perpAB\)，\(PA\perpAD\)），側(cè)面\(PBC\)、\(PCD\)是三角形，計算它們的面積可以用“底×高÷2”，其中“高”是頂點(diǎn)\(P\)到底邊的距離。例如，側(cè)面\(PBC\)的底邊為\(BC=1\)，頂點(diǎn)\(P\)到底邊\(BC\)的距離是\(AB=2\)嗎？不，因?yàn)閈(BC\parallelAD\)，\(AD\subset平面PAD\)，\(PA\perp平面PAD\)，所以\(BC\perp平面PAD\)？不對，正確的計算應(yīng)該是：側(cè)面\(PBC\)的面積=\(\frac{1}{2}\timesBC\timesPB\times\sin\anglePBC\)？不，其實(shí)更簡單的方法是，陽馬的表面積=底面積+四個側(cè)面面積，其中兩個側(cè)面是直角三角形（面積分別為\(\frac{1}{2}\times2\times3=3\)、\(\frac{1}{2}\times1\times3=1.5\)），另外兩個側(cè)面是“斜三角形”，它們的面積可以用“底面邊為底邊，頂點(diǎn)到底邊的距離為高”，例如，側(cè)面\(PBC\)的底邊為\(BC=1\)，頂點(diǎn)\(P\)到底邊\(BC\)的距離是\(\sqrt{PA^2+AB^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\)？不，不對，我犯了一個錯誤，陽馬的側(cè)面\(PBC\)中，\(BC\)是底面的寬，長度為1，\(PB\)是側(cè)棱，長度為\(\sqrt{PA^2+AB^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\)，\(PC\)是頂點(diǎn)到底面對角頂點(diǎn)的距離，長度為\(\sqrt{PA^2+AC^2}=\sqrt{9+5}=\sqrt{14}\)，但計算側(cè)面\(PBC\)的面積，正確的方法是：因?yàn)閈(BC\perpAB\)，\(BC\perpPA\)（\(PA\perp底面\)），所以\(BC\perp平面PAB\)，故\(BC\perpPB\)，所以側(cè)面\(PBC\)是直角三角形！哦，對，我之前忽略了這一點(diǎn)，陽馬的四個側(cè)面都是直角三角形嗎？讓我們再仔細(xì)分析：底面\(ABCD\)是矩形，\(AB\perpAD\)；頂點(diǎn)\(P\)在底面的投影為\(A\)，故\(PA\perp底面\)，所以\(PA\perpAB\)，\(PA\perpAD\)；對于側(cè)面\(PAB\)：\(PA\perpAB\)，故是直角三角形；對于側(cè)面\(PAD\)：\(PA\perpAD\)，故是直角三角形；對于側(cè)面\(PBC\)：\(BC\parallelAD\)，\(AD\perpPA\)，\(AD\perpAB\)，故\(BC\perpPA\)，\(BC\perpAB\)，所以\(BC\perp平面PAB\)，故\(BC\perpPB\)，所以\(\trianglePBC\)是直角三角形（直角在\(B\)點(diǎn)）；對于側(cè)面\(PCD\)：同理，\(CD\parallelAB\)，\(AB\perpPA\)，\(AB\perpAD\)，故\(CD\perp平面PAD\)，故\(CD\perpPD\)，所以\(\trianglePCD\)是直角三角形（直角在\(D\)點(diǎn)）。哦，原來如此！我之前犯了一個錯誤，陽馬的四個側(cè)面都是直角三角形，所以表面積計算就簡單了：側(cè)面\(PAB\)面積：\(\frac{1}{2}\timesAB\timesPA=\frac{1}{2}\times2\times3=3\)；側(cè)面\(PAD\)面積：\(\frac{1}{2}\timesAD\timesPA=\frac{1}{2}\times1\times3=1.5\)；側(cè)面\(PBC\)面積：\(\frac{1}{2}\timesBC\timesPB=\frac{1}{2}\times1\times\sqrt{AB^2+PA^2}=\frac{1}{2}\times1\times\sqrt{4+9}=\frac{\sqrt{13}}{2}\)？不，等一下，剛才分析\(BC\perp平面PAB\)，所以\(BC\perpPB\)，故\(\trianglePBC\)的直角在\(B\)點(diǎn)，所以直角邊是\(BC\)和\(PB\)嗎？不對，\(BC\perp平面PAB\)，所以\(BC\perpPB\)，故\(\trianglePBC\)的直角邊是\(BC\)和\(PB\)，對嗎？是的，因?yàn)閈(PB\subset平面PAB\)，所以\(BC\perpPB\)，故\(\trianglePBC\)的面積是\(\frac{1}{2}\timesBC\timesPB=\frac{1}{2}\times1\times\sqrt{PA^2+AB^2}=\frac{1}{2}\times1\times\sqrt{9+4}=\frac{\sqrt{13}}{2}\)；同理，側(cè)面\(PCD\)的直角在\(D\)點(diǎn)，面積是\(\frac{1}{2}\timesCD\timesPD=\frac{1}{2}\times2\times\sqrt{PA^2+AD^2}=\frac{1}{2}\times2\times\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\)；底面積是\(AB\timesAD=2\times1=2\)；所以表面積是\(2+3+1.5+\frac{\sqrt{13}}{2}+\sqrt{10}=6.5+\frac{\sqrt{13}}{2}+\sqrt{10}\)？不對，等一下，我剛才又犯了一個錯誤，陽馬的底面是矩形，所以底面是一個面，四個側(cè)面是四個三角形，對嗎？是的，所以表面積=底面積+四個側(cè)面面積，而四個側(cè)面都是直角三角形，對嗎？讓我們再用另一種方法計算側(cè)面\(PBC\)的面積：\(PBC\)的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)為\(P(0,0,3)\)，\(B(2,0,0)\)，\(C(2,1,0)\)，則向量\(\overrightarrow{PB}=(2,0,-3)\)，\(\overrightarrow{BC}=(0,1,0)\)，側(cè)面\(PBC\)的面積是\(\frac{1}{2}|\overrightarrow{PB}\times\overrightarrow{BC}|=\frac{1}{2}|(2\times0-(-3)\times1,-3\times0-2\times0,2\times1-0\times0)|=\frac{1}{2}|(3,0,2)|=\frac{1}{2}\sqrt{9+0+4}=\frac{\sqrt{13}}{2}\)，對，和之前的計算一致；側(cè)面\(PCD\)的坐標(biāo)為\(P(0,0,3)\)，\(C(2,1,0)\)，\(D(0,1,0)\)，向量\(\overrightarrow{PD}=(0,1,-3)\)，\(\overrightarrow{CD}=(-2,0,0)\)，面積是\(\frac{1}{2}|\overrightarrow{PD}\times\overrightarrow{CD}|=\frac{1}{2}|(1\times0-(-3)\times0,-3\times(-2)-0\times0,0\times0-1\times(-2))|=\frac{1}{2}|(0,6,2)|=\frac{1}{2}\sqrt{0+36+4}=\frac{1}{2}\times\sqrt{40}=\sqrt{10}\)，對，和之前的計算一致；側(cè)面\(PAB\)的面積是\(\frac{1}{2}\timesAB\times