初中數(shù)學(xué)一元二次方程專項練習(xí)題集一、前言一元二次方程是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，也是中考的必考知識點（占比約10%-15%）。它不僅是后續(xù)學(xué)習(xí)二次函數(shù)、圓等內(nèi)容的基礎(chǔ)，還能培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和實際應(yīng)用意識。本練習(xí)題集圍繞概念理解、解法技巧、實際應(yīng)用、易錯糾正四大板塊設(shè)計，覆蓋所有重點題型，旨在幫助學(xué)生系統(tǒng)鞏固知識，提升解題能力。二、基礎(chǔ)概念鞏固1.一元二次方程的定義定義：只含有一個未知數(shù)（一元），未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次），且二次項系數(shù)不為0的整式方程。一般形式：\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)，\(a\)、\(b\)、\(c\)為常數(shù)）。2.概念辨析題（選擇題）例1下列方程中，屬于一元二次方程的是（）A.\(x+1=0\)（一次方程）B.\(x^2+2y=0\)（二元方程）C.\(x^2+\frac{1}{x}=0\)（分式方程）D.\(x^2-2x=0\)（符合定義）答案：D練習(xí)1下列方程中，是一元二次方程的是（）A.\(2x+3=0\)B.\(x^2-y=5\)C.\(x^2-3x=0\)D.\(\sqrt{x}+x=2\)答案：C三、解法技巧突破一元二次方程的解法有直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法，其中公式法是通用方法，因式分解法是最快的方法（若能分解）。1.直接開平方法適用題型：形如\(x^2=p\)（\(p\geq0\)）或\((ax+b)^2=p\)（\(p\geq0\)）的方程。步驟：①開平方（注意正負）；②解一次方程。例2解\((x-3)^2=16\)解：\(x-3=\pm4\)，故\(x=7\)或\(x=-1\)。練習(xí)2解\((2x+1)^2=9\)解：\(2x+1=\pm3\)，得\(x=1\)或\(x=-2\)。2.配方法適用題型：所有一元二次方程（尤其適合二次項系數(shù)為1的方程）。步驟：①移項（常數(shù)項到右邊）；②二次項系數(shù)化為1；③配方（兩邊加一次項系數(shù)一半的平方）；④開平方求解。例3解\(x^2-4x-5=0\)解：①移項得\(x^2-4x=5\)；②配方得\(x^2-4x+4=5+4\)（即\((x-2)^2=9\)）；③開平方得\(x-2=\pm3\)；④解得\(x=5\)或\(x=-1\)。練習(xí)3用配方法解\(2x^2+4x-6=0\)解：①除以2得\(x^2+2x-3=0\)；②移項得\(x^2+2x=3\)；③配方得\((x+1)^2=4\)；④開平方得\(x=1\)或\(x=-3\)。3.公式法適用題型：所有一元二次方程（通用方法）。步驟：①化為一般形式\(ax^2+bx+c=0\)；②計算判別式\(\Delta=b^2-4ac\)；③若\(\Delta\geq0\)，用公式\(x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\)求解；若\(\Delta<0\)，無實數(shù)解。例4解\(3x^2-5x+2=0\)解：①一般形式：\(3x^2-5x+2=0\)（\(a=3\)，\(b=-5\)，\(c=2\)）；②\(\Delta=(-5)^2-4\times3\times2=25-24=1\)；③\(x=\frac{5\pm1}{6}\)，得\(x=1\)或\(x=\frac{2}{3}\)。練習(xí)4用公式法解\(x^2-2x+1=0\)解：\(\Delta=0\)，\(x=\frac{2}{2}=1\)（重根）。4.因式分解法適用題型：能分解為兩個一次因式乘積的方程（如\(x^2+bx+c=(x+m)(x+n)\)）。步驟：①因式分解；②轉(zhuǎn)化為兩個一次方程求解（若\(ab=0\)，則\(a=0\)或\(b=0\)）。例5解\(x^2-3x=0\)解：因式分解得\(x(x-3)=0\)，故\(x=0\)或\(x=3\)。練習(xí)5解\(x^2-5x+6=0\)解：因式分解得\((x-2)(x-3)=0\)，得\(x=2\)或\(x=3\)。四、實際應(yīng)用提升一元二次方程的實際應(yīng)用主要涉及面積問題、增長率問題、利潤問題，解題關(guān)鍵是建立方程模型。1.面積問題例6一個矩形的長比寬多2cm，面積為15cm2，求寬。解：設(shè)寬為\(x\)cm，則長為\((x+2)\)cm，列方程得：\(x(x+2)=15\)，整理得\(x^2+2x-15=0\)。因式分解得\((x+5)(x-3)=0\)，解得\(x=3\)（舍去\(x=-5\)，長度為正）。答案：寬為3cm。練習(xí)6正方形邊長增加3cm后，面積增加39cm2，求原邊長。解：設(shè)原邊長為\(x\)cm，列方程得\((x+3)^2-x^2=39\)，展開得\(6x+9=39\)，解得\(x=5\)。答案：原邊長5cm。2.增長率問題公式：\(a(1+r)^n=b\)（\(a\)為初始量，\(r\)為增長率，\(n\)為次數(shù)，\(b\)為最終量）。例7某工廠去年產(chǎn)值100萬元，今年產(chǎn)值121萬元，求年平均增長率。解：設(shè)增長率為\(r\)，列方程得：\(100(1+r)^2=121\)，解得\((1+r)^2=1.21\)，\(1+r=1.1\)（舍去負根），故\(r=10\%\)。練習(xí)7某商品連續(xù)兩次降價10%后售價為81元，求原價。解：設(shè)原價為\(x\)元，列方程得\(x(1-0.1)^2=81\)，解得\(x=100\)。答案：原價100元。3.利潤問題公式：總利潤=單個利潤×銷售量=（售價-成本）×銷售量。例8某商品成本30元，售價\(x\)元（\(x>30\)），銷售量為\((200-5x)\)件，當(dāng)售價為多少時，總利潤為200元？解：列方程得\((x-30)(200-5x)=200\)，展開整理得\(x^2-70x+1240=0\)，解得\(x=35+\sqrt{85}\)（約44.22元）或\(x=35-\sqrt{85}\)（約25.78元，舍去，因\(x>30\)）。答案：售價約44.22元。練習(xí)8某商店銷售一種商品，成本40元，售價60元時每天賣100件，每漲1元少賣5件，求售價為多少時總利潤為2250元。解：設(shè)漲\(x\)元，售價為\((60+x)\)元，銷售量為\((100-5x)\)件，列方程得\((20+x)(100-5x)=2250\)，解得\(x=10\)（舍去負根），故售價為70元。五、易錯點糾正1.忽略二次項系數(shù)不為0例9關(guān)于\(x\)的方程\((a-1)x^2+2x+1=0\)是一元二次方程，求\(a\)的取值范圍。錯解：\(a\)為任意實數(shù)。正解：\(a-1\neq0\)，即\(a\neq1\)。2.直接開平方法漏解例10解\((x-1)^2=4\)錯解：\(x-1=2\)，\(x=3\)。正解：\(x-1=\pm2\)，\(x=3\)或\(x=-1\)（忘記正負號）。3.應(yīng)用問題忽略實際意義例11解面積問題時，得到\(x=-2\)，直接作為答案。糾正：長度、面積等不能為負，需舍去不合理解。六、綜合練習(xí)題1.選擇題（1）下列方程中，是一元二次方程的是（）A.\(3x+2=0\)B.\(x^2-y=0\)C.\(x^2-2x=0\)D.\(\frac{1}{x}+x=3\)（2）方程\(x^2=9\)的解是（）A.\(x=3\)B.\(x=-3\)C.\(x=\pm3\)D.無實數(shù)解（3）方程\(x^2+2x+1=0\)的根的情況是（）A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.無實數(shù)根D.無法判斷2.填空題（4）方程\(x^2-4x=0\)的解是________。（5）方程\(2x^2+3x-1=0\)的二次項系數(shù)是________，一次項系數(shù)是________，常數(shù)項是________。（6）若方程\(x^2+kx+9=0\)有兩個相等的實數(shù)根，則\(k=________\)。3.解答題（7）用直接開平方法解：\((3x-2)^2=25\)（8）用配方法解：\(x^2+6x-7=0\)（9）用公式法解：\(2x^2-5x+1=0\)（10）用因式分解法解：\(x^2-7x+12=0\)（11）某商品原價200元，連續(xù)兩次漲價后售價為288元，求平均每次漲價的百分率。（12）某矩形的長是寬的3倍，面積為27cm2，求寬。七、綜合練習(xí)題答案與解析1.選擇題（1）C（解析：A是一次方程，B是二元方程，D是分式方程）（2）C（解析：開平方得\(x=\pm3\)）（3）B（解析：\(\Delta=2^2-4\times1\times1=0\)）2.填空題（4）\(x=0\)或\(x=4\)（解析：\(x(x-4)=0\)）（5）2；3；-1（解析：一般形式為\(2x^2+3x-1=0\)）（6）\(\pm6\)（解析：\(\Delta=k^2-36=0\)）3.解答題（7）解：\(3x-2=\pm5\)，得\(x=\frac{7}{3}\)或\(x=-1\)。（8）解：\(x^2+6x=7\)，配方得\((x+3)^2=16\)，開平方得\(x=1\)或\(x=-7\)。（9）解：\(\Delta=(-5)^2-4\times2\times1=17\)，\(x=\frac{5\pm\sqrt{17}}{4}\)。（10）解：因式分解得\((x-3)(x-4)=0\)，得\(x=3\)或\(x=4\)。（11）解：設(shè)增長率為\(r\)，\(2