第10節(jié)三角函數(shù)與解三角形中的最值（范圍）問題【重點(diǎn)解讀】三角函數(shù)與解三角形中的最值（范圍）問題是高考的熱點(diǎn)，主要涉及兩類：一是三角函數(shù)式的最值（范圍）問題；二是三角形中的最值（范圍）問題，其求解方法多樣，常用的方法有：（1）利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值（范圍）；（2）構(gòu)造轉(zhuǎn)化為新元函數(shù)求最值（范圍）；（3）利用基本不等式求最值（范圍）等.提能點(diǎn)1三角函數(shù)式中的最值（范圍）問題（1）（2022·全國乙卷文11題）函數(shù)f（x）＝cosx＋（x＋1）sinx＋1在區(qū)間[0，2π]的最小值、最大值分別為（D）A.－π2，π2 B.－3C.－π2，π2＋2 D.－3π2解析：（1）f（x）＝cosx＋（x＋1）sinx＋1，x∈[0，2π]，則f'（x）＝－sinx＋sinx＋（x＋1）cosx＝（x＋1）cosx.令f'（x）＝0，解得x＝－1（舍去），x＝π2或x＝3π2.因?yàn)閒π2＝cosπ2＋π2+1·sinπ2＋1＝2＋π2，f3π2＝cos3π2＋3π2+1sin3π2＋1＝－3π2，又f（0）＝cos0＋（0＋1）sin0＋1＝2，f（2π）＝cos2π＋（2π＋1）sin2π＋1＝2，所以f（x）max＝f（2）函數(shù)y＝sinxcosx+2的最大值與最小值分別為（A.33，－33 B.2C.3，－3 D.2，－2解析：（2）如圖，令點(diǎn)M（cosx，sinx），則點(diǎn)M為單位圓上的動(dòng)點(diǎn).設(shè)點(diǎn)N（－2，0），則y即為線段MN的斜率kMN＝sinx－0cosx?(?2）＝sinxcosx+2.作NP，NQ分別切☉O于點(diǎn)P，Q，顯然，當(dāng)直線MN與單位圓相切時(shí)，斜率可達(dá)到最值.ymax＝kPN＝tan30°＝33規(guī)律方法1.同角不同次型三角函數(shù)與一次（二次）函數(shù)結(jié)合的函數(shù)式求最值問題，一般不能通過三角恒等變換化為y＝Asin（ωx＋φ）的形式，因此不能利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值，常利用導(dǎo)數(shù)法先判斷給定區(qū)間上的單調(diào)性（極值），從而求得最值（范圍）.2.形如y＝asinx＋bccosx＋d（a，c（1）數(shù)形結(jié)合法：借助解析幾何中直線的斜率模型，其關(guān)鍵是將所給函數(shù)值看作是兩點(diǎn)連線的斜率，其中一個(gè)是定點(diǎn)，另一個(gè)是在一條已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)，然后通過解析法求出斜率的最大值和最小值，就是所求函數(shù)的最值；（2）反求法：將原函數(shù)化為asinx－cycosx＝dy－b，得到sin（x－φ）＝dy－ba2＋（cy）2，再由｜sin（x－φ）｜≤1，解不等式dy練1（1）函數(shù)y＝sinx+52－sinx的最大值是6，（2）函數(shù)f（x）＝2sin（x＋π4）＋cos2x的最大值為33解析：（1）原函數(shù)可化為sinx＝2y－5y+1，而－1≤sinx≤1，所以－1≤2y－5y+1≤1，所以43（2）f（x）＝2sin（x＋π4）＋cos2x＝2sin（x＋π4）＋sin［2（x＋π4）］，令θ＝x＋π4，g（θ）＝2sinθ＋sin2θ，所以g'（θ）＝2cosθ＋2cos2θ＝2cosθ＋2（2cos2θ－1）＝4cos2θ＋2cosθ－2＝2（2cosθ－1）（cosθ＋1），因?yàn)閏osθ＋1≥0恒成立，所以令2cosθ－1＞0，解得θ∈（2kπ－π3，2kπ＋π3）（k∈Z），此時(shí)函數(shù)g（θ）單調(diào)遞增，令2cosθ－1＜0，解得θ∈（2kπ＋π3，2kπ＋5π3）（k∈Z），此時(shí)函數(shù)g（θ）單調(diào)遞減，所以當(dāng)θ＝2kπ＋π3（k∈Z）時(shí)，g（θ）取得最大值，所以g（θ）max＝g（π3）＝2×32＋提能點(diǎn)2解三角形中的最值（范圍）問題角度1利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值（范圍）（2025·湖北新高考聯(lián)考協(xié)作體模擬）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知c＝a（1＋2cosB）.（1）若B＝π3，求角C的大?。?）若△ABC為銳角三角形，求ba的取值范圍解：（1）因?yàn)閏＝a（1＋2cosB），由正弦定理得sinC＝sinA·（1＋2cosB），又A＋B＋C＝π，所以sinC＝sin（A＋B），所以sin（A＋B）－2sinAcosB＝sinA，得cosAsinB－sinAcosB＝sinA，所以sin（B－A）＝sinA，則B－A＝A或B－A＋A＝π（舍），所以B＝2A，因?yàn)锽＝π3，所以A＝π6，所以C＝（2）由題意及（1）得，在△ABC中，B＝2A，由正弦定理得，ba＝sinBsinA＝sin2A因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以0<A＜π2，0<2A所以2＜2cosA＜3，所以ba的取值范圍為（2，3規(guī)律方法先利用正弦定理化角為邊，再利用三角形內(nèi)角和定理和輔助角公式，將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為只含一個(gè)角的三角函數(shù)，最后利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解.角度2構(gòu)造轉(zhuǎn)化為新元函數(shù)求最值（范圍）（2025·福州開學(xué)考試）已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，ab＝2acosC＋2ccosA.（1）求a；（2）若tanB＋tanC＝2，求△ABC面積的取值范圍.解：（1）因?yàn)閍b＝2acosC＋2ccosA，由正弦定理得asinB＝2sinAcosC＋2sinCcosA＝2sin（A＋C），又因?yàn)锳＋C＝π－B，可得sin（A＋C）＝sinB，所以asinB＝2sinB，因?yàn)锽∈（0，π），可得sinB＞0，所以a＝2.（2）由（1）知a＝2，即BC＝2，如圖所示，AD為邊BC上的高，不妨設(shè)B為銳角，設(shè)AD＝x，BD＝y(tǒng)，當(dāng)C為銳角時(shí)，則CD＝2－y，故tanB＝xy，tanC＝x當(dāng)C為鈍角時(shí)，則CD＝y(tǒng)－2，故tanB＝xy，tanC＝x因?yàn)閠anB＋tanC＝2，所以xy＋x2－y＝2，整理得x＝y(tǒng)（所以△ABC的面積為S＝12BC·AD＝12×2x＝因?yàn)閥＞0，可得x＝y(tǒng)（2－y）＝－（y2－2y）＝－[（y－1）2－1]，當(dāng)y＝1時(shí)，x取得最大值，最大值為1，且x＞0，所以△ABC的面積的取值范圍為（0，1].規(guī)律方法利用換元法構(gòu)造關(guān)于新元且熟知的函數(shù)（如一次函數(shù)，二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)等），在新元所在的區(qū)間內(nèi)求最值（范圍），有時(shí)也可利用導(dǎo)數(shù)求最值（范圍）.角度3利用基本不等式求最值（范圍）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知3（a2＋c2－b2）＝－2absinC.（1）求角B；（2）若D為AC的中點(diǎn)，且BD＝2，求△ABC面積的最大值.解：（1）∵3（a2＋c2－b2）＝－2absinC，∴3（a2＋c2－b2）＝－2acsinB，即3（a2＋c由余弦定理，得3cosB＝－sinB，∵cosB≠0，∴tanB＝－3，∵0＜B＜π，∴B＝2π（2）∵BD＝12（BA＋BC∴BD2＝14BA2＋12∴14c2＋12accos2π3＋14a2＝4，即a2＋c2∵a2＋c2≥2ac，∴ac≤16，∴S△ABC＝12acsin2π3≤12×16sin2π3＝43，當(dāng)且僅當(dāng)a＝4故△ABC面積的最大值為43.規(guī)律方法求解三角形中面積和周長最值問題的常用方法在△ABC中，如果已知一個(gè)角及其對邊，假設(shè)已知A，a，根據(jù)余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，即可得到“b2＋c2”與“bc”的等量關(guān)系.（1）求面積最值時(shí)，S＝12bcsinA，即求bc的最值，在等量關(guān)系中利用基本不等式b2＋c2≥2bc，即可求得bc的最值（2）求周長a＋b＋c的最值時(shí)，即求b＋c的最值，在等量關(guān)系中，把b2＋c2換成（b＋c）2－2bc，再利用基本不等式bc≤（b＋c2）2，即可求得b＋練2（1）（2025·臨沂模擬）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC＝120°，BD⊥BC交AC于點(diǎn)D，且BD＝1，則2a＋c的最小值為833解析：∵S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，∴12acsin∠ABC＝12cBDsin∠ABD＋12aBDsin∠CBD，∴12ac×32＝12c×1×12＋12a×1×1，∴3ac＝c＋2a，∴3＝1a＋2c，∴2a＋c＝13（2a＋c）（1a＋2c）＝33（2＋4ac＋ca＋2）≥33（24＋4）＝8（2）（2025·濟(jì)南模擬）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，2sinA+1①若B＝π6，求C②若B∈［π6，π4），求c解：①因?yàn)?sinA+11－2cos所以2sinAcosC＋cosC＝sinC－2cosAsinC，即2sin（A＋C）＝sinC－cosC，又A＋B＋C＝π，所以2sinB＝2sin（C－π4）所以B＝C－π4或B＋C－π4＝π（舍去），當(dāng)B＝π6時(shí)，C②由①結(jié)合正弦定理，得cb＝sinCsinB＝sin（B＋π4）因?yàn)锽∈［π6，π4），所以tanB∈［33，因?yàn)楹瘮?shù)y＝22（1＋1x）在［33，1所以cb的取值范圍為（2，6＋1.（2025·聊城一模）若△ABC是銳角三角形，A＝π4，b＝22，則邊c的取值范圍是（A.（0，2） B.（2，2）C.（2，22） D.（2，4）解析：D由正弦定理可知，bsinB＝csinC，則c＝bsinCsinB＝22sinCsinB，因?yàn)锳＝π4，則sinC＝sin（A＋B）＝sin（π4＋B），因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，所以π4＜B＜π2，則c＝22sinCsinB＝2.（2025·蘇州一模）在△ABC中，若AB＝AC，D為AC的中點(diǎn)，BD＝3，則△ABC面積的最大值為（）A.3 B.2C.3 D.23解析：B設(shè)AB＝AC＝x，由于BD＝12AC－AB，所以BD2＝14AC2＋AB2－AC·AB＝54x2－x2cosA＝3，故cosA＝54－3x2，所以（S△ABC）2＝（12·AB·AC·sinA）2＝14x4（1－cos2A）＝14x4［1－（54－3x2）2］＝－964x4＋158x2－94＝－964（x2－203）3.如圖，C，D是兩所學(xué)校所在地，C，D到一條公路的垂直距離分別為CA＝8km，DB＝27km.為了緩解上下學(xué)的交通壓力，市政府決定在AB上找一點(diǎn)P，分別向C，D修建兩條垂直的公路PC和PD，設(shè)∠APC＝θ（0＜θ＜π2），則當(dāng)PC＋PD最小時(shí)，AP＝（A.8km B.10kmC.12km D.15km解析：C由題意得，PC＋PD＝ACsinθ＋DBsin（π2－θ）＝8sinθ＋27cosθ（0＜θ＜π2），令y＝8sinθ＋27cosθ（0＜θ＜π2），則y'＝27sin3θ－8cos3θsin2θ·cos2θ，令y'＝0，則tanθ＝23，當(dāng)y'＞0時(shí)4.（2025·安康模擬）函數(shù)y＝2sinx－1cosx+3解析：函數(shù)y＝2sinx－1cosx+3的定義域?yàn)镽，y＝2sinx－1cosx+3?2sinx－ycosx＝3y＋1，則｜3y＋1｜＝y(tǒng)2+4｜sin（x－φ）｜≤y2+4，即8y2＋6y－3≤0，解得－3+338≤y≤－3－335.《益古演段》是我國古代數(shù)學(xué)家李冶（1192～1279）的一部數(shù)學(xué)著作.內(nèi)容主要是已知平面圖形的信息，求圓的半徑、正方形的邊長和周長等.其中有這樣一個(gè)問題：如圖，已知∠CAB＝60°，點(diǎn)B，C分別在∠CAB的兩個(gè)邊上移動(dòng)，且保持B，C兩點(diǎn)間的距離為23，則點(diǎn)B，C在移動(dòng)過程中，線段BC的中點(diǎn)D到點(diǎn)A的最大距離為3.解析：如圖，延長AD到點(diǎn)P，使AD＝DP，連接PB，PC，∵D是線段BC的中點(diǎn)，∴四邊形ABPC是平行四邊形，∴∠ACP＝120°，在△ABC中，BC2＝12＝AB2＋AC2－2×AB×AC×cos60°＝AB2＋AC2－AB×AC≥AB×AC，當(dāng)且僅當(dāng)AB＝AC＝23時(shí)等號成立，故AB×AC≤12.在△ACP中，AP2＝AC2＋CP2－2×AC×CP×cos120°＝AC2＋CP2＋AC×CP，∵AB＝CP，∴AP2＝12＋2AC×AB≤36，∴2AD≤6，∴AD≤3.故線段BC的中點(diǎn)D到點(diǎn)A的最大距離為3.6.（2025·貴陽一模）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且滿足cosC＝c－（1）證明：△ABC為等腰三角形；（2）若△ABC的外接圓直徑為1，試求△ABC周長的取值范圍.解：（1）證明：因?yàn)閏osC＝c－ccosAa，由正弦定理可得sinAcosC＋sinCcosA＝sinC，即sin（A＋C在△ABC中，sin（A＋C）＝sinB，所以sinB＝sinC，又因?yàn)锽，C均為△ABC的內(nèi)角，即B＝C，即證得△ABC為等腰三角形.（2）由（1）可得C＝B∈（0，π2）由正弦定理可得asinA＝bsinB＝csinC＝2R，所以a＝sinA＝sin（π－2B）＝sin2B，b＝sinB，c＝sinC＝sinB，所以a＋b＋c＝sin2B＋2sinB，設(shè)f（x）＝sin2x＋2sinx，x∈（0，π2）則f'（x）＝2cos2x＋2cosx＝（2cosx－1）（2cosx＋2），當(dāng)x∈（0，π3）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增當(dāng)x∈（π3，π2）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）所以f（x）max＝f（π3）＝3f（0）＝0，f（π2）＝2，所以f（x）∈（0，33所以△ABC周長的取值范圍是（0，3327.已知銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且sin（A－（1）若A＝π3，求B（2）若asinC＝1，求1a2＋1解：（1）由題意知sin（A－所以sin（A－B）cosC＝sin（A－C）cosB，所以sinAcosBcosC－cosAsinBcosC＝sinAcosCcosB－cosAsinCcosB，所以cosAsinBcosC＝cosAsinCcosB，因?yàn)锳＝π3，所以sinBcosC＝sinCcosB所以tanB＝tanC，因?yàn)锽，C∈（0，π2），所以B＝C由A＝π3，所以B＝π（2）由（1）知B＝C，所以sinB＝sinC，b＝c，因?yàn)閍sinC＝1，所以1a＝sinC由正弦定理得asinC＝csinA＝bsinA＝1，所以1b＝sinA因?yàn)锳＝π－B－C＝π－