第8節(jié)函數(shù)的圖象高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求（1）在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)；（2）會畫簡單的函數(shù)圖象；（3）會運用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程解的個數(shù)與不等式解的問題.目錄CONTENTS知識點作函數(shù)的圖象01.課時跟蹤檢測02.PART01知識點作函數(shù)的圖象1.

利用描點法作函數(shù)圖象的步驟2.

函數(shù)圖象的變換

作出下列函數(shù)的圖象：（1）y＝2x＋1－1；解：將y＝2x的圖象向左平移1個單位長度，得到y(tǒng)＝2x＋1的圖象，再將所得圖象向下平移1個單位長度，得到y(tǒng)＝2x＋1－1的圖象，如圖1所示.（2）y＝｜lg（x－1）｜.解：首先作出y＝lg

x的圖象，然后將其向右平移1個單位長度，得到y(tǒng)＝lg（x－1）的圖象，再把所得圖象在x軸下方的部分翻折到x軸上方，即得所求函數(shù)y＝｜lg（x－1）｜的圖象，如圖2所示（實線部分）.規(guī)律方法作函數(shù)圖象的常用方法（1）直接法：當(dāng)函數(shù)表達式（或變形后的表達式）是熟悉的基本初等函

數(shù)時，可根據(jù)這些函數(shù)的特征直接作出；（2）轉(zhuǎn)化法：含有絕對值符號的，去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)

來畫；（3）圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個基本初等函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、

翻折、對稱得到，可利用圖象變換作出，但要注意變換順序.提醒

（1）畫函數(shù)的圖象時一定要注意定義域；（2）利用圖象變換法時要注意變換順序.練1作出下列函數(shù)的圖象：（1）y＝x2－2｜x｜－3；

提能點1函數(shù)圖象的識別

（1）（2024·全國甲卷理7題）函數(shù)y＝－x2＋（ex－e－x）sin

x在

區(qū)間[－2.8，2.8]的圖象大致為（

）√

（2）（2023·天津高考4題）函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，則f（x）的

解析式可能為（

）A.

f（x）＝

B.

f（x）＝

C.

f（x）＝

D.

f（x）＝

√

變式已知函數(shù)f（x）＝ex＋e－x，記f'（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，已知函

數(shù)F（x）的大致圖象如圖所示，則函數(shù)F（x）的解析式可能為（

）A.

F（x）＝

B.

F（x）＝

C.

F（x）＝f（x）·f'（x）D.

F（x）＝f（x）＋f'（x）√

規(guī)律方法函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手（1）從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；（2）從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；（3）從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；（4）從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（5）從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)；（6）從函數(shù)的特殊點，排除不合要求的圖象.

C

BA.

a＞0，b＞0，c＞0B.

a＜0，b＞0，c＜0C.

a＜0，b＞0，c＞0D.

a＜0，b＜0，c＜0

角度1

研究函數(shù)的性質(zhì)

A.

函數(shù)F（x）是偶函數(shù)B.

方程F（x）＝0有三個解C.

函數(shù)F（x）在區(qū)間[－1，1]上單調(diào)遞增D.

函數(shù)F（x）有4個單調(diào)區(qū)間提能點2函數(shù)圖象的應(yīng)用√√√解析：根據(jù)函數(shù)f（x）＝2－x2與g（x）＝x2，畫出函數(shù)F（x）＝min{f（x），g（x）}的圖象，如圖.由圖象可知，函數(shù)F（x）＝min{f（x），g（x）}關(guān)于y軸對稱，所以A項正確；函數(shù)F（x）的圖象與x軸有三個交點，所以方程F（x）＝0有三個解，所以B項正確；函數(shù)F（x）在（－∞，－1]上單調(diào)遞增，在[－1，0]上單調(diào)遞減，在[0，1]上單調(diào)遞增，在[1，＋∞）上單調(diào)遞減，所以C項錯誤，D項正確.故選A、B、D.

規(guī)律方法根據(jù)函數(shù)的圖象研究函數(shù)性質(zhì)的方法（1）觀察函數(shù)圖象是否連續(xù)，左右范圍以及最高點和最低點，確定定義

域、值域；（2）觀察函數(shù)圖象是否關(guān)于原點或y軸對稱，確定函數(shù)的奇偶性；（3）根據(jù)函數(shù)圖象上升和下降的情況，確定單調(diào)性.角度2

解方程（不等式）

（2025·南通調(diào)研）已知函數(shù)y＝f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)

x∈（0，3）∪（3，＋∞）時，f（－x）＞2f（x），f（3）＝0，則不

等式f（x）＞0的解集為

.（－∞，－3）∪（－3，0）

解析：依題意知，f（0）＝0，當(dāng)x∈（0，3）∪（3，＋∞）時，f（－x）＞2f（x），即－f（x）＞2f（x），得f（x）＜0，由f（3）＝0，得f（－3）＝－f（3）＝0，由此畫出f（x）的大致圖象如圖所示，由圖可知，不等式f（x）＞0的解集為（－∞，－3）∪（－3，0）.規(guī)律方法利用函數(shù)圖象研究不等式問題的方法

當(dāng)不等式問題不能用代數(shù)法直接求解但其與函數(shù)有關(guān)時，可將不等式

問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象（圖象易得）的上、下關(guān)系問題，利用圖象法求

解.若函數(shù)為抽象函數(shù)，可根據(jù)題目畫出大致圖象，再結(jié)合圖象求解.角度3

求參數(shù)的取值范圍

A.

（0，1）B.（0，2]C.

（2，＋∞）D.（1，＋∞）√解析：

要使函數(shù)g（x）＝f（x）－a有三個零

點，則f（x）＝a有三個不相等的實根，即y＝f（x）

與y＝a的圖象有三個交點，當(dāng)x≤－1時，f（x）＝1

－3x＋1在（－∞，－1]上單調(diào)遞減，f（x）∈[0，1）；當(dāng)－1＜x≤0時，f（x）＝3x＋1－1在（－1，0]上單調(diào)遞增，f（x）∈（0，2]；當(dāng)x＞0時，f（x）＝ln

x在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，f（x）∈R.

作出函

數(shù)f（x）的圖象，如圖所示.由y＝f（x）與y＝a的圖象有三個交點，結(jié)合函數(shù)圖象可得a∈（0，1）.

規(guī)律方法

利用函數(shù)圖象求參數(shù)問題，一般先準(zhǔn)確地作出函數(shù)圖象，利用函數(shù)圖

象的直觀性，結(jié)合其性質(zhì)，求解參數(shù).練3

（1）（2025·泉州一模）若函數(shù)f（x）＝x（｜x｜－2）在[m，n]

上的最小值是－1，最大值是3，則n－m的最大值為（

D

）A.

B.2

C.4D.4＋

D

（2）（2025·南京外國語學(xué)校模擬）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R，滿足f

（x）＝2f（x－2），且當(dāng)x∈（0，2]時，f（x）＝x（2－x），若對任

意x∈（－∞，m]，都有f（x）≤3，則實數(shù)m的取值范圍是

??.

PART02課時跟蹤檢測一、單項選擇題1.

（2025·東營一模）把函數(shù)y＝（x－2）2＋2的圖象向左平移1個單位

長度，再向上平移1個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式是（

）A.

y＝（x－3）2＋3B.

y＝（x－3）2＋1C.

y＝（x－1）2＋3D.

y＝（x－1）2＋1解析：

把函數(shù)y＝（x－2）2＋2的圖象向左平移1個單位長度后得到y(tǒng)＝[（x＋1）－2]2＋2＝（x－1）2＋2的圖象，再將y＝（x－1）2＋2的圖

象向上平移1個單位長度后得到y(tǒng)＝（x－1）2＋3的圖象.故選C.

12345678910111213141516√

A.

－

B.－

C.

－1D.－2解析：

∵f（－1）＝0，∴l(xiāng)n（－1＋a）＝0，∴－1＋a＝1，∴a＝

2，又y＝ax＋b過點（－1，3），∴2×（－1）＋b＝3，∴b＝5，∴f

（－3）＝－3a＋b＝－6＋5＝－1.√12345678910111213141516

√12345678910111213141516

123456789101112131415164.

（2025·重慶調(diào)研）已知函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）

的解析式可能為（

）A.

f（x）＝

B.

f（x）＝

C.

f（x）＝

D.

f（x）＝

√12345678910111213141516

123456789101112131415165.

（2025·北京平谷模擬）已知函數(shù)f（x）＝log2（x＋1）－｜x｜，則

不等式f（x）＞0的解集是（

）A.

（－1，1）B.（0，1）C.

（－1，0）D.?√12345678910111213141516解析：

不等式f（x）＞0?log2（x＋1）＞｜x｜，分別畫出函數(shù)y＝

log2（x＋1）和y＝｜x｜的圖象，由圖象可知y＝log2（x＋1）和y＝｜

x｜有兩個交點，分別是（0，0）和（1，1），由圖象可知log2（x＋1）

＞｜x｜的解集是（0，1），即不等式f（x）＞0的解集是（0，1），故

選B.

123456789101112131415166.

已知函數(shù)y＝f（x）的圖象如圖1所示，則圖2對應(yīng)的函數(shù)有可能是

（

）A.

y＝x2f（x）B.

y＝

C.

y＝xf（x）D.

y＝xf2（x）√12345678910111213141516

123456789101112131415167.

（2025·天津模擬）定義：設(shè)不等式F（x）＜0的解集為M，若M中

只有唯一整數(shù)，則稱M是最優(yōu)解.若關(guān)于x的不等式｜x2－2x－3｜－mx＋

2＜0有最優(yōu)解，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A.

（

，

］B.

［－

，－2）C.

［－

，－2］∪［

，

］D.

［－

，－2）∪（

，

］√12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

√√√12345678910111213141516

123456789101112131415169.

（2025·沈陽一模）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（1＋

x）＝f（1－x）.當(dāng)0＜x＜1時，f（x）＝3x－1，則（

）A.

f（x）是周期為2的周期函數(shù)B.

f（x）的值域為[－2，2]C.

x＝3是f（x）圖象的一條對稱軸D.

f（x）的圖象關(guān)于點（－2，0）對稱√√√12345678910111213141516解析：

因為f（x）是定義在R上的奇函

數(shù)，所以f（－x）＝－f（x），又f（1＋x）＝

f（1－x），所以f（1＋x）＝f（1－x）＝－f

（x－1），所以f（x）＝－f（x＋2），故f

（x）＝f（x＋4），所以f（x）是周期為4的周

期函數(shù)，故選項A錯誤；由f（1＋x）＝f（1－x）可知f（x）關(guān)于直線x＝1對稱，則可作出f（x）的圖象如圖所示，由f（x）的圖象可得f

（x）的值域為[－2，2]，其中x＝3是函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸，f（x）的圖象關(guān)于點（－2，0）對稱，故選項B、C、D正確.故選B、C、D.

12345678910111213141516三、填空題10.

（2025·濟南一模）已知偶函數(shù)y＝f（x＋1）在區(qū)間[0，＋∞）上單

調(diào)遞減，則函數(shù)y＝f（x－1）的單調(diào)遞增區(qū)間是

?.解析：因為偶函數(shù)y＝f（x＋1）在區(qū)間[0，＋∞）上單調(diào)遞減，所以y＝

f（x＋1）在區(qū)間（－∞，0]上單調(diào)遞增，又因為f（x－1）＝f（（x－

2）＋1），則函數(shù)f（x－1）的圖象是由函數(shù)f（x＋1）的圖象向右平移2

個單位長度得到的，所以函數(shù)f（x－1）的單調(diào)遞增區(qū)間是（－∞，2].（－∞，2]

12345678910111213141516

2

1234567891011121314151612.

（2025·揚州一模）已知函數(shù)f（x）＝｜x－2｜＋1，g（x）＝kx.

若方程f（x）＝g（x）有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍

是

?.

12345678910111213141516四、解答題

（1）若a＝0，作出f（x）的函數(shù)圖象并求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；

12345678910111213141516（2）討論關(guān)于x的方程f（x）＝0的解的個數(shù).

12345678910111213141516作出g（x）的圖象如圖所示，結(jié)合圖象可知，當(dāng)a∈（－∞，0]∪{1}時，g（x）與y＝a有兩個不同的交點；當(dāng)a∈（0，1）時，g（x）與y＝a有四個不同的交點；當(dāng)a∈（1，＋∞）時，g（x）與y＝a無交點；綜上所述：當(dāng)a∈（－∞，0]∪{1}時，方程f（x）＝0

有三個解；當(dāng)a∈（0，1）時，方程f（x）＝0有五個

解；當(dāng)a∈（1，＋∞）時，方程f（x）＝0有唯一解.

1234567891011121314151614.

（2025·臨川一中期末）已知函數(shù)f（x）＝2x－ax＋1（a∈R）.（1）若a∈Z，且f（4）＞0，求a的最大值；

12345678910111213141516（2）當(dāng)a＝3時，直接寫出函數(shù)f（x）的零點；解：當(dāng)a＝3時，f（x）＝2x－3x＋1，由f（x）＝2x－3x＋1＝0，可得2x＝3x－1，作出函數(shù)y＝2x與y＝3x－1的圖象，由圖可知y＝2x與y＝3x－1有兩個交點，即函數(shù)f（x）

有兩個零點，又因為f（1）＝2－3＋1＝0，f（3）＝23－3×3＋1＝0，故函數(shù)的零點為1，3.12345678910111213141516（3）若對任意x∈（－∞，1）都有f（x）＞0，求a的取值范圍.解：因為對任意x∈（－∞，1）都有f（x）＞0，所以2x＞ax－1在（－∞，1）上恒成立，即x∈（－∞，1）時，函數(shù)y＝2x的圖象恒在直線y＝

ax－1的上方，作出函數(shù)y＝2x，x∈（－∞，1）與y＝ax－1的大致圖象，則a≥0，且a－1≤2，所以0≤a≤3，即a的取值范圍為[0，3].1234567891011121314151615.

〔多選〕高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)

學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德，牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名