第6節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)高中總復習·數(shù)學課標要求（1）理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義，了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握指數(shù)冪的運算性質；（2）通過實例，了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，會畫指數(shù)函數(shù)的圖象；（3）理解指數(shù)函數(shù)的單調性、特殊點等性質，并能簡單應用.目錄CONTENTS知識點一指數(shù)冪的運算01.知識點二指數(shù)函數(shù)的圖象與性質02.課時跟蹤檢測03.PART01知識點一指數(shù)冪的運算1.

根式（1）如果xn＝a，那么

叫做a的n次方根；

x

根式

a

a

2.

有理數(shù)指數(shù)冪概念正分數(shù)指數(shù)冪：

＝

a＞0，m，

n∈N*，n＞1負分數(shù)指數(shù)冪：

＝

＝

0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義運算性質aras＝ar＋sa＞0，b＞0，r，s∈Q（ar）s＝ars（ab）r＝arbr

（1）〔多選〕（人A必修一P109習題4題改編）下列計算正確的是

（

BC

）A.

＝

B.

·（4y－a）＝4xC.

÷

＝－9a（a＞0，b＞0）D.

－（1＋

）－1＋（1＋

）0＝3－2

BC

1

規(guī)律方法指數(shù)冪的運算練1〔多選〕（北師必修一P82習題B組3題改編）已知a＋a－1＝3，則下列

選項正確的是（

）A.

a2＋a－2＝7B.

－

＝±1C.

＋

＝±

D.

＋

＝2

√√√

PART02知識點二指數(shù)函數(shù)的圖象與性質1.

指數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義

域是R，a是底數(shù).2.

指數(shù)函數(shù)的圖象與性質底數(shù)a＞10＜a＜1圖象

性質定義域為

，值域為

?圖象過定點

?當x＞0時，恒有y＞1；當x

＜0時，恒有0＜y＜1當x＞0時，恒有0＜y＜1；當x＜

0時，恒有y＞1

?函數(shù)

?函數(shù)R

（0，＋∞）

（0，1）

增

減

（3）底數(shù)a的大小決定了指數(shù)函數(shù)圖象相對位置的高低，不論是a＞1，還是0＜a＜1，在第一象限內底數(shù)越大，函數(shù)圖象越高，即“底大圖高”.

角度1

指數(shù)函數(shù)的圖象及應用

（1）（蘇教必修一P151習題12題改編）函數(shù)f（x）＝ax－b的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結論正確

的是（

D

）A.

a＞1，b＜0B.

a＞1，b＞0C.0＜a＜1，b＞0D.0＜a＜1，b＜0D解析：由題中f（x）＝ax－b的圖象可以觀察出，函數(shù)f（x）＝ax－b為減函數(shù)，所以0＜a＜1.函數(shù)f（x）＝ax－b的圖象是將f（x）＝ax的圖象向左平移得到的，所以b＜0.（2）（人A必修一P120習題9題改編）函數(shù)y＝｜3x－1｜與直線y＝m有

兩個不同的交點，則實數(shù)m的取值范圍是

?.解析：函數(shù)y＝｜3x－1｜的圖象是由函數(shù)y＝3x的圖象向下平移一個單位長度后，再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的，而直線y＝m的圖象是平行于x軸的一條直線，圖象如圖所示，由圖象可得，如果函數(shù)y＝｜3x－1｜與直線y＝m有兩個不同的交點，則m的取值范圍是（0，1）.

（0，1）

規(guī)律方法

對于有關指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象

入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到.特別地，當?shù)讛?shù)a與1的大小關系

不確定時應注意分類討論.

C

（2）〔多選〕（2025·海門一模）已知實數(shù)a，b滿足等式2a＝3b，下列

關系式中可能成立的是（

ABD

）A.0＜b＜aB.

a＜b＜0C.

b＜a＜0D.

a＝bABD解析：作出函數(shù)y＝2x與函數(shù)y＝3x的圖象（如圖），當2a＝3b＞1時，根據(jù)圖象得0＜b＜a，故A選項正確；當2a＝3b＝1時，根據(jù)圖象得a＝b＝0，故D選項正確；當2a＝3b＜1時，根據(jù)圖象得a＜b＜0，故B選項正確；b＜a＜0不可能成立，故選A、B、D.

角度2

指數(shù)函數(shù)的性質及應用

A.

B.

C.

D.[2，＋∞）

B（2）（2023·天津高考3題）若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，則

a，b，c的大小關系為（

D

）A.

c＞a＞bB.

c＞b＞aC.

a＞b＞cD.

b＞a＞c解析：∵指數(shù)函數(shù)y＝1.01x是增函數(shù)，又0.6＞0.5，∴1.010.6＞1.010.5，故b＞a.∵冪函數(shù)y＝x0.5是增函數(shù)，又1.01＞0.6，∴1.010.5＞0.60.5，故a＞c.故選D.

D規(guī)律方法1.

比較指數(shù)式的大小的方法（1）能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調性比較大??；（2）不能化成同底數(shù)的，一般引入“0或1”等中間量比較大小.2.

指數(shù)方程（不等式）的求解主要利用指數(shù)函數(shù)的單調性進行轉化.練3（1）（2025·臨泉模擬）若ea＋πb＞e－b＋π－a，下列結論一定成立

的是（

D

）A.

a＋b≤0B.

a－b≥0C.

a－b≤0D.

a＋b≥0解析：∵ea＋πb＞e－b＋π－a，∴ea－π－a＞e－b－πb（*），令f（x）＝ex－π－x，則f（x）是R上的增函數(shù)，（*）式即為f（a）≥f（－b），∴a≥－b，即a＋b≥0.D

提能點指數(shù)型函數(shù)性質的綜合問題

A.

函數(shù)f（x）是奇函數(shù)B.

函數(shù)f（x）是增函數(shù)C.

函數(shù)f（x）的值域為（0，2）D.

函數(shù)f（x）的圖象關于（1，1）對稱√√√

A.

（－∞，4]B.[4，16]C.

（16，＋∞）D.[16，＋∞）√

PART03課時跟蹤檢測一、單項選擇題1.

下列結論中，正確的是（

）A.

若a＞0，則

·

＝aB.

若m8＝2，則m＝±

C.

若a＋a－1＝2，則

＋

＝±2D.

＝2－π12345678910111213141516√

123456789101112131415162.

函數(shù)f（x）＝1－e｜x｜的圖象大致是（

）解析：

易知f（x）為偶函數(shù)，且f（x）＝1－e｜x｜≤0，A正確.√123456789101112131415163.

（2025·四川模擬）設a＝0.50.4，b＝0.41.1，c＝1.10.5，則（

）A.

a＜c＜bB.

c＜a＜bC.

a＜b＜cD.

b＜a＜c解析：

因為指數(shù)函數(shù)y＝0.5x是減函數(shù)，所以0.51.1＜0.50.4＜0.50＝

1，又由冪函數(shù)y＝x1.1在（0，＋∞）上單調遞增，所以1＝11.1＞0.51.1＞

0.41.1，又因為指數(shù)函數(shù)y＝1.1x是增函數(shù)，所以1.10.5＞1.10＝1，綜上可

得，b＜a＜c，故選D.

√123456789101112131415164.

（2023·新高考Ⅰ卷4題）設函數(shù)f（x）＝2x（x－a）在區(qū)間（0，1）上單

調遞減，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A.

（－∞，－2]B.[－2，0）C.

（0，2]D.[2，＋∞）

√12345678910111213141516

A.

B.

C.

－1D.

＋1√12345678910111213141516

123456789101112131415166.

若2x－2y＜3－x－3－y，則（

）A.ln（y－x＋1）＞0B.ln（y－x＋1）＜0C.ln｜x－y｜＞0D.ln｜x－y｜＜0解析：

因為2x－2y＜3－x－3－y，所以2x－3－x＜2y－3－y.設f（x）＝

2x－3－x，則f'（x）＝2xln

2－3－x×ln

3×（－1）＝2xln

2＋3－xln

3，易

知f'（x）＞0，所以f（x）在R上為增函數(shù).由2x－3－x＜2y－3－y得x＜

y，所以y－x＋1＞1，所以ln（y－x＋1）＞0，故選A.

√123456789101112131415167.

（2025·長春第十一中學一模）已知函數(shù)f（x）＝｜3x－3－x｜，則不

等式f（2x－1）－f（x）＞0的解集為（

）A.

（－∞，

）∪（1，＋∞）B.（－∞，

）C.

（

，1）D.（1，＋∞）√12345678910111213141516

12345678910111213141516二、多項選擇題8.

已知函數(shù)f（x）＝ax－b（a＞0，且a≠1，b≠0）的圖象不經過第三

象限，則a，b的取值范圍可能為（

）A.0＜a＜1，b＜0B.0＜a＜1，0＜b≤1C.

a＞1，b＜0D.

a＞1，0＜b≤1√√√12345678910111213141516解析：

若0＜a＜1，則函數(shù)y＝ax的圖象如圖1所示，要想f（x）＝ax－b的圖象不經過第三象限，則需要向上平移，或向下平移不超過1個單位長度，故－b＞0或－1≤－b＜0，解得b＜0或0＜b≤1，故A、B正確；若a＞1，則函數(shù)y＝ax的圖象如圖2所示，要想f（x）＝ax－b的圖象不經過第三象限，則需要向上平移，故－b＞0，解得b＜0，即C正確，D錯誤.12345678910111213141516

A.

m＝

B.

函數(shù)f（x）在R上的最大值為

C.

函數(shù)f（x）是減函數(shù)D.

存在實數(shù)n，使得關于x的方程f（x）－n＝0有兩個不相等的實數(shù)根√√12345678910111213141516

12345678910111213141516三、填空題

5

12345678910111213141516

（4，＋∞）

12345678910111213141516