第1節(jié)基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積【課標(biāo)要求】（1）認(rèn)識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)；（2）知道球、棱（圓）柱、棱（圓）錐、棱（圓）臺的表面積和體積的計算公式，并能解決簡單的實際問題；（3）能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形的直觀圖.知識點(diǎn)一基本立體圖形角度1立體圖形的結(jié)構(gòu)特征1.多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱互相平行且相等相交于一點(diǎn)，但不一定相等延長線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面長度相等且相交于一點(diǎn)長度相等且延長線交于一點(diǎn)軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓面?zhèn)让嬲归_圖矩形扇形扇環(huán)（1）（人A必修二P106習(xí)題8題改編）如圖，長方體ABCD-A'B'C'D'被截去體積較小的一部分，其中EH∥A'D'∥FG，則剩下的幾何體是（C）A.棱臺 B.四棱柱C.五棱柱 D.六棱柱解析：（1）由于平面ABFEA'∥平面DCGHD'，且AD，BC，F(xiàn)G，EH，A'D'相互平行且相等，所以剩下的幾何體是五棱柱.（2）下列結(jié)論正確的是（D）A.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐B.夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體C.若正棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是六棱錐D.圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是母線解析：（2）由圖1知，A錯誤；如圖2，當(dāng)兩個平行截面與底面不平行時，截得的幾何體不是旋轉(zhuǎn)體，B錯誤；若六棱錐的所有棱長都相等，則底面多邊形是正六邊形，由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長必然要大于底面邊長，C錯誤；由母線的概念知，D正確.規(guī)律方法辨別空間幾何體的兩種方法角度2立體圖形的直觀圖1.畫法：常用斜二測畫法.2.規(guī)則：（1）原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x'軸、y'軸的夾角為45°（或135°），z'軸與x'軸和y'軸所在平面垂直；（2）原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?結(jié)論按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形面積的關(guān)系：（1）S直觀圖＝24S原圖形（2）S原圖形＝22S直觀圖.（1）（蘇教必修二P161練習(xí)4題改編）對于用斜二測畫法畫水平放置的圖形的直觀圖來說，下列描述不正確的是（B）A.三角形的直觀圖仍然是一個三角形B.90°的角的直觀圖一定會變?yōu)?5°的角C.與y軸平行的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话隓.由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同解析：（1）對于A，根據(jù)斜二測畫法，相交直線的直觀圖仍是相交直線，因此三角形的直觀圖仍是一個三角形，故A正確；對于B，90°的角的直觀圖可以變?yōu)?5°或135°的角，故B錯誤；C、D顯然正確.（2）已知在等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以下底所在直線為x軸，則由斜二測畫法畫出的直觀圖A'B'C'D'的面積為22解析：（2）法一實際圖形和直觀圖如圖1和圖2所示.因為OE＝（2）2－1＝1，由斜二測畫法可知O'E'＝12，E'F＝24，D'C'＝1，A'B'＝3，則直觀圖A'B'C'D'的面積S'法二因為OE＝（2）2－1＝1，S原圖形＝1+32×1＝2，故S直觀圖＝規(guī)律方法在斜二測畫法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段的位置.平行于x軸的線段的平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段的平行性不變，長度減半.角度3立體圖形的展開圖（1）如圖，在正三棱錐S-ABC中，∠BSC＝40°，BS＝2，一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)B出發(fā)，沿著三棱錐的側(cè)面繞行一周回到點(diǎn)B的最短路線的長為（C）A.2 B.3C.23 D.33解析：（1）將三棱錐S-ABC沿側(cè)棱BS展開，其側(cè)面展開圖如圖所示.一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)B出發(fā)，沿著三棱錐的側(cè)面繞行一周回到點(diǎn)B的最短路線的長為BB'，根據(jù)余弦定理得BB'＝4+4+2×2×2×（2）（2025·金麗衢十二校聯(lián)考）已知圓柱的軸截面面積為4，則該圓柱側(cè)面展開圖周長的最小值為8π.解析：（2）設(shè)圓柱的母線長和底面圓半徑分別為l，r，根據(jù)已知得2lr＝4，由題意可得圓柱側(cè)面展開圖的周長可以表示為l側(cè)＝4πr＋2l≥24πr×2l＝8π，當(dāng)且僅當(dāng)4πr＝2l，即r＝1π，規(guī)律方法1.多面體表面展開圖由剪開的位置不同可以有不同的形狀，但圖形面積相等.借助展開圖可以求幾何體的表面積及表面上兩點(diǎn)間的距離，還可將部分空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.2.旋轉(zhuǎn)體表面展開圖一般沿母線剪開，多面體表面展開圖一般沿某些棱展開，注意球無法展開成平面圖形.練1（1）下列四個命題正確的是（D）A.有兩個側(cè)面是矩形的立體圖形是直棱柱B.側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐C.側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長方體D.底面是長方形的直四棱柱是長方體，所有棱長均相等的長方體是正方體解析：（1）對于A，平行六面體的兩個相對側(cè)面也可能是矩形，故A錯；對于B，等腰三角形的腰不是側(cè)棱時不一定成立，故B錯；對于C，若底面不是矩形，則C錯；對于D，由長方體、正方體的結(jié)構(gòu)特征知，D正確.（2）如圖，一個水平放置的平面圖形由斜二側(cè)畫法得到的直觀圖A'B'C'D'是邊長為2的菱形，且O'D'＝2，則原平面圖形的周長為（B）A.42＋4 B.46＋4C.82 D.8解析：（2）根據(jù)題意，把直觀圖還原成原平面圖形，如圖所示，其中OA＝22，OD＝4，AB＝CD＝2，則AD＝8+16＝26，故原平面圖形的周長為2＋2＋26＋26＝46＋4.（3）如圖，已知圓錐的底面半徑為1，母線長SA＝3，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)繞著圓錐的側(cè)面爬行一圈回到點(diǎn)A，則螞蟻爬行的最短距離為33.解析：（3）已知圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3的扇形，如圖，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)繞著圓錐的側(cè)面爬行一圈回到點(diǎn)A的最短距離為AA'，設(shè)∠ASA'＝α，圓錐底面周長為2π，所以AA'＝α×3＝2π，所以α＝2π3，在△SAA'中，由SA＝SA'＝3和余弦定理，得AA'＝SA2＋SA知識點(diǎn)二空間幾何體的表（側(cè)）面積1.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺側(cè)＝π（r＋r'）l2.空間幾何體的表面積柱體（棱柱和圓柱）錐體（棱錐和圓錐）臺體（棱臺和圓臺）球表面積S表面積＝S側(cè)＋2S底S表面積＝S側(cè)＋S底S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下S＝4πR2（1）（北師必修二P252例3改編）如圖所示，已知三棱臺ABC-A1B1C1的上、下底面都是等腰直角三角形，CC1⊥平面ABC，AC＝2，A1C1＝1，CC1＝1，則這個三棱臺的側(cè)面積為（A）A.6+332 BC.11+332 D.3＋解析：（1）因為CC1⊥平面ABC，AC，CB?平面ABC，所以CC1⊥AC，CC1⊥CB，又AC＝2，A1C1＝1，CC1＝1，所以S梯形BB1C1C＝S梯形ACC1A1＝12×（1＋2）×1＝32，在梯形A1ABB1中，易知A1B1＝2，AB＝22，AA1＝BB1＝2，所以S梯形A1ABB1＝12×（2＋22）×（2）（人A必修二P120習(xí)題6題改編）如圖所示為某工廠內(nèi)一手電筒最初模型的組合體，該組合體是由一個圓臺和一個圓柱組成的，其中O為圓臺下底面圓心，O2，O1分別為圓柱上、下底面的圓心，經(jīng)實驗測量得到圓柱上、下底面圓的半徑為2cm，O1O2＝5cm，OO1＝4cm，圓臺下底面圓半徑為5cm，則該組合體的表面積為（B）A.42πcm2 B.84πcm2C.36πcm2 D.64πcm2解析：（2）由題知，圓柱的上底面面積為4πcm2，圓柱的側(cè)面積為4π×5＝20π（cm2），圓臺的下底面面積為25πcm2，圓臺的母線長為42＋（5－2）2＝5（cm），所以圓臺的側(cè)面積為π（2＋5）×5＝35π（cm2），則該組合體的表面積為4π＋20π＋25π規(guī)律方法求解幾何體表面積的類型及方法（1）求多面體的表面積：只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積；（2）求旋轉(zhuǎn)體的表面積：可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系；（3）求不規(guī)則幾何體的表面積：通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積.練2（1）（蘇教必修二P201練習(xí)1題改編）以邊長為2的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于（A）A.8π B.4πC.8 D.4解析：（1）以邊長為2的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體為圓柱，其底面半徑r＝2，高h(yuǎn)＝2，故其側(cè)面積為S＝2πr×h＝2π×2×2＝8π.故選A.（2）如圖（圖1是一個梅花磚雕，其正面是一個扇環(huán)ABCD，如圖2），磚雕厚度為6cm，AD＝80cm，CD＝3AB，CD所對的圓心角為直角，則該梅花磚雕的表面積為6880π＋960cm2.解析：（2）延長DA與CB交于點(diǎn)O.由CD＝3AB，AD＝80cm，得OA＝40cm，OD＝120cm.因為CD所對的圓心角為直角，所以CD＝60πcm，AB＝20πcm.所以該梅花磚雕的側(cè)面積S側(cè)＝6（CD＋AB＋AD＋BC）＝480π＋960（cm2），扇環(huán)ABCD的面積為14（π×1202－π×402）＝3200π（cm2），則該梅花磚雕的表面積S表面積＝480π＋960＋2×3200π＝6880π＋960（cm2）.知識點(diǎn)三空間幾何體的體積柱體（棱柱和圓柱）錐體（棱錐和圓錐）臺體（棱臺和圓臺）球體積V＝ShV＝13ShV＝13（S上＋S下＋S上S下V＝43πR結(jié)論底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等（祖暅原理）.角度1公式法求體積（2025·黔西一模）如圖所示的花盆為正四棱臺，上口寬5cm，下口寬3cm，側(cè)棱長33cm，則該花盆的體積為（）A.2453cm3 B.493cmC.4933cm3 D.245解析：A如圖，由題意，該棱臺的上、下底面的對角線長分別為52cm，32cm，所以棱臺的高為h＝（33）2－（52－322）2＝5（cm），故棱臺的體積為V＝13h（S上＋S下＋S上S下）＝13×角度2割補(bǔ)法求體積如圖所示，已知多面體ABC-DEFG中，AB，AC，AD兩兩互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，則該多面體的體積為4.解析：法一（分割法）因為幾何體有兩對相對面互相平行，如圖所示，過點(diǎn)C作CH⊥DG于H，連接EH，即把多面體分割成一個直三棱柱DEH-ABC和一個斜三棱柱BEF-CHG.由題意，知V三棱柱DEH-ABC＝S△DEH×AD＝（12×2×1）×2＝2，V三棱柱BEF-CHG＝S△BEF×DE＝（12×2×1）×2＝2.故所求幾何體的體積為V多面體ABC-DEFG＝2＋2＝法二（補(bǔ)形法）因為幾何體有兩對相對面互相平行，如圖所示，將多面體補(bǔ)成棱長為2的正方體，顯然所求多面體的體積為該正方體體積的一半.又正方體的體積V＝23＝8，故所求幾何體的體積為V多面體ABC-DEFG＝12×8＝4角度3等積法求體積棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱BB1，AB的中點(diǎn)，則三棱錐A1-D1MN的體積為1.解析：如圖，由正方體棱長為2，得S△A1MN＝2×2－2×12×2×1－12×1×1＝32，又易知D1A1為三棱錐D1-A1MN的高，且D1A1＝2，∴V三棱錐A1-D1MN＝V三棱錐D1-A規(guī)律方法求空間幾何體的體積的三種方法練3（1）如圖，一個裝有某種液體的圓柱形容器固定在墻面和地面的角落內(nèi)，容器與地面所成的角為30°，液面呈橢圓形，橢圓長軸上的頂點(diǎn)M，N到容器底部的距離分別是10和16，則容器內(nèi)液體的體積是（B）A.36π B.39πC.42π D.45π（2）（2023·新高考Ⅰ卷14題）在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝2，則該棱臺的體積為766解析：（1）將含液體部分的幾何體補(bǔ)成如圖所示的圓柱，過M作底面的平行平面，與過N的母線交于點(diǎn)S，連接MS，由題意知∠MNS＝30°，則MS＝6×33＝23，故圓柱的底面半徑為3，則容器內(nèi)液體的體積為12×（10＋16）×π×（3）2＝13×π×3＝39π.故選B（2）法一如圖所示，設(shè)點(diǎn)O1，O分別為正四棱臺ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，連接B1D1，BD，則點(diǎn)O1，O分別為B1D1，BD的中點(diǎn)，連接O1O，則O1O即為正四棱臺ABCD-A1B1C1D1的高，過點(diǎn)B1作B1E⊥BD，垂足為E，則B1E＝O1O.因為AB＝2，A1B1＝1，所以O(shè)B＝2，O1B1＝22，所以BE＝OB－OE＝OB－O1B1＝22，又AA1＝2，所以BB1＝2，B1E＝BB12－BE2＝2－12＝62，所以O(shè)1O＝62，所以V正四棱臺ABCD法二如圖，將正四棱臺ABCD-A1B1C1D1補(bǔ)形成正四棱錐P-ABCD，因為AB＝2，A1B1＝1，AB∥A1B1，所以A1，B1，C1，D1分別為PA，PB，PC，PD的中點(diǎn)，又A1A＝2，所以PA＝22，即PB＝22.連接BD，取BD的中點(diǎn)為O，連接PO，則PO⊥平面ABCD，易知BO＝2，所以PO＝PB2－BO2＝6，所以正四棱臺ABCD-A1B1C1D1的高為62，所以V正四棱臺ABCD-A1B1C1一、單項選擇題1.下列關(guān)于空間幾何體的敘述，正確的是（）A.直角三角形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)得到的幾何體是一個圓錐B.棱柱的側(cè)面都是平行四邊形C.用一個平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺D.直平行六面體是長方體解析：B直角三角形繞斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的幾何體不是一個圓錐，A錯誤；根據(jù)棱柱定義知棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，B正確；用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺，C錯誤；底面是長方形的直平行六面體是長方體，D錯誤.故選B.2.（2025·廈門模擬）用斜二測畫法畫出的水平放置的△ABC的直觀圖如圖所示，其中D'是B'C'的中點(diǎn)，且A'D'∥y'軸，B'C'∥x'軸，A'D'＝B'C'＝2，那么S△ABC＝（）A.2 B.2 C.22D.4解析：D根據(jù)題意，把直觀圖還原出原平面圖形為等腰三角形，如圖所示，其中AD⊥BC，AD＝2A'D'＝4，BC＝B'C'＝2，原平面圖形的面積為S△ABC＝12BC·AD＝12×2×4＝4.故選D3.（2024·新高考Ⅰ卷5題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為3，則圓錐的體積為（）A.23π B.33πC.63π D.93π解析：B設(shè)圓柱和圓錐的底面半徑為r，則圓錐的母線長為r2+3，而它們的側(cè)面積相等，所以2πr×3＝πr×3+r2，即23＝3+r2，故r＝3，故圓錐的體積為13π×9×3＝4.（2025·泰州調(diào)研）如圖所示的幾何體是從棱長為2的正方體中截去到正方體的某個頂點(diǎn)的距離均為2的幾何體后的剩余部分，則該幾何體的表面積為（）A.24－3π B.24－πC.24＋π D.24＋5π解析：B由題意知，該幾何體是從棱長為2的正方體中截去以正方體某個頂點(diǎn)為球心，2為半徑的18球后的剩余部分，則其表面積＝6×22－3×14×π×22＋18×4×π×22＝245.（2025·咸陽模擬）碳60（C60）是一種非金屬單質(zhì)，它是由60個碳原子構(gòu)成，形似足球，又稱為足球烯，其結(jié)構(gòu)是由五元環(huán)（正五邊形面）和六元環(huán)（正六邊形面）組成的封閉的凸多面體，共32個面，且滿足：頂點(diǎn)數(shù)－棱數(shù)＋面數(shù)＝2，則其六元環(huán)的個數(shù)為（）A.12 B.14C.18 D.20解析：D根據(jù)題意，設(shè)正五邊形為x個，正六邊形為y個，碳60（C60）的頂點(diǎn)數(shù)為60，有32個面，由頂點(diǎn)數(shù)－棱數(shù)＋面數(shù)＝2，則棱數(shù)為90，則有x＋y=32，5x+6y=180，解可得y6.（2025·呂梁一模）已知圓臺O1O2的高為3，中截面（過高的中點(diǎn)且垂直于軸的截面）的半徑為3，若中截面將該圓臺的側(cè)面分成了面積比為1∶2的兩部分，則該圓臺的母線長為（）A.3 B.4C.5 D.6解析：C設(shè)圓臺的上、下底面圓的半徑分別為r，R，因為中截面的半徑為3，所以根據(jù)梯形中位線性質(zhì)可知：r＋R＝6.又中截面將該圓臺的側(cè)面分成了面積比為1∶2的兩部分，所以根據(jù)圓臺側(cè)面積公式可知：π（r+3）π（3+R）＝r+39－r＝12，解得r＝1，所以R7.（2023·天津高考8題）在三棱錐P-ABC中，線段PC上的點(diǎn)M滿足PM＝13PC，線段PB上的點(diǎn)N滿足PN＝23PB，則三棱錐P-AMN和三棱錐P-ABC的體積之比為（A.19 B.C.13 D.解析：B如圖，連接NC.以A為頂點(diǎn)，三棱錐A-PMN與三棱錐A-PNC的高相同，底面分別為△PMN和△PNC，分別以PM和PC為底邊，則這兩個三角形的高相同，S△PMN∶S△PNC＝PM∶PC＝1∶3，所以V三棱錐A-PMN∶V三棱錐A-PNC＝1∶3，即V三棱錐A-PMN＝13V三棱錐A-PNC.同理，以C為頂點(diǎn)，三棱錐C-PAN與三棱錐C-PAB的高相同，底面分別為△PAN和△PAB，且S△PAN∶S△PAB＝PN∶PB＝2∶3，所以V三棱錐C-PAN∶V三棱錐C-PAB＝2∶3，即V三棱錐C-PAN＝23V三棱錐C-PAB.所以V三棱錐A-PMN＝13V三棱錐A-PNC＝13×23V三棱錐C-PAB＝29V三棱錐C-PAB，即V三棱錐P-AMN＝29V三棱錐P8.設(shè)表面積相等的正方體、正四面體和球的體積分別為V1、V2和V3，則（）A.V1＜V2＜V3 B.V2＜V1＜V3C.V3＜V1＜V2 D.V3＜V2＜V1解析：B設(shè)正方體棱長為a，正四面體棱長為b，球的半徑為R，表面積為S.正方體表面積為S＝6a2，所以a2＝S6，所以V12＝（a3）2＝（a2）3如圖，正四面體P-ABC中，D為AC的中點(diǎn)，O為△ABC的中心，則PO是正四面體P-ABC底面ABC上的高.則BD⊥AC，AD＝12b，所以BD＝AB2－AD2＝32b，所以S△ABC＝12×AC×BD＝12×b×32b＝34b2，所以正四面體P-ABC的表面積為S＝4S△ABC＝3b2，所以b2＝33S.又O為△ABC的中心，所以BO＝23BD＝33b.又根據(jù)正四面體的性質(zhì)，可知PO⊥BO，所以PO＝PB2－BO2＝63b，所以V22＝（13×S△ABC×PO）2＝（13×34b2×63b）2＝172b6＝172×（33S）3＝3648S3；球的表面積為S＝4πR2，所以R2＝S4π，所以V32＝（43πR3）2＝136πS3二、多項選擇題9.攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為撮尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑、園林建筑.如圖為四角攢尖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐.已知此正四棱錐的側(cè)面與底面所成的銳二面角為θ，這個角接近30°，若取θ＝30°，側(cè)棱長為21米，則（）A.正四棱錐的底面邊長為6米B.正四棱錐的底面邊長為3米C.正四棱錐的側(cè)面積為243平方米D.正四棱錐的側(cè)面積為123平方米解析：AC如圖，在正四棱錐S-ABCD中，O為正方形ABCD的中心，H為AB的中點(diǎn)，則SH⊥AB，設(shè)底面邊長為2a.因為∠SHO＝30°，OH＝AH＝a，所以O(shè)S＝33a，SH＝233a.在Rt△SAH中，a2＋（233a）2＝21，解得a＝3，所以正四棱錐的底面邊長為6米，側(cè)面積為S＝12×6×23×4＝10.（2023·新高考Ⅱ卷9題）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，∠APB＝120°，PA＝2，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角P-AC-O為45°，則（）A.該圓錐的體積為πB.該圓錐的側(cè)面積為43πC.AC＝22D.△PAC的面積為3解析：AC如圖，連接PO.在△PAB中，PA＝PB＝2，∠APB＝120°，且點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∴PO⊥AB，∠APO＝60°，∴PO＝1，OA＝3，即圓錐的高h(yuǎn)＝1，底面圓的半徑r＝3.對于A，該圓錐的體積V＝13πr2h＝13π×（3）2×1＝π，則A正確；對于B，該圓錐的側(cè)面積S＝12×2πr×PA＝π×3×2＝23π，則B不正確；對于C，取AC的中點(diǎn)D，連接OD，PD.由OA＝OC，得OD⊥AC.又∵PA＝PC，D為AC的中點(diǎn)，∴AC⊥PD，∴∠PDO為二面角P-AC-O的平面角，則∠PDO＝45°.又在Rt△POD中，PO＝1，∴OD＝1，∴AC＝2AO2－OD2＝2（3）2－12＝22，則C正確；對于D，在Rt△POD中，PO＝1，∠PDO＝45°，∴PD＝2，∴△PAC的面積S＝12×AC×PD＝12×11.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，側(cè)面AA1C1C的中心為O，點(diǎn)E是側(cè)棱BB1上的一個動點(diǎn)，下列判斷正確的是（）A.直三棱柱的側(cè)面積是4＋22B.直三棱柱的體積是1C.三棱錐E-AA1O的體積為定值D.AE＋EC1的最小值為22解析：ACD在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，△ABC和△A1B1C1是等腰直角三角形，側(cè)面全是矩形，所以其側(cè)面積為1×2×2＋12＋12×2＝4＋22，故A正確；直三棱柱的體積為V＝S△ABC·AA1＝12×1×1×2＝1，故B不正確；如圖1所示，由BB1∥平面AA1C1C，且點(diǎn)E是側(cè)棱BB1上的一個動點(diǎn)，所以三棱錐E-AA1O的高為定值22，S△AA1O＝12×22×2＝22，所以V三棱錐E-AA1O＝13×22×22＝16，故C正確如圖2所示.則AC1即為所求AE＋EC1的最小值，AC1＝22＋（1+1）2＝2三、填空題12.已知三個圓柱的體積為公比為10的等比數(shù)列.第一個圓柱的直徑為65mm，第二、三個圓柱的直徑為325mm，第三個圓柱的高為230mm，則前兩個圓柱的高分別為1152mm，23mm解析：設(shè)第一個圓柱的高為h1，第二個圓柱的高為h2，則π（3252）2?2π（652）2?1＝π（325213.（2025·通化模擬）某校高一年級學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)客活動，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去正四棱臺ABCD-EFGH后所得的幾何體，其中AB＝BC＝2EF＝2BF＝6cm，AA1＝4cm，為增強(qiáng)其觀賞性和耐用性，現(xiàn)對該模型表面鍍上一層金屬膜，每平方厘米需要金屬2mg，不考慮損耗，所需金屬膜的質(zhì)量為282＋543mg.解析：由題意，該幾何體側(cè)面4個面的面積和為4×4×6＝96（cm2），底面積為6×6＝36（cm2），正方形EFGH的面積為3×3＝9（cm2）.考慮梯形ABFE，高為BF2－［12（AB－EF）］2＝332（cm），故正四棱臺的側(cè)面積為4×12×（3＋6）×332＝273（cm2），故該模型的表面積為2×（141＋273）＝（282＋543）mg.14.如圖是一個底面半徑和高都是1的圓錐形容器，勻速給容器注水，則容器中水的體積V是水面高度x的函數(shù)，記為V＝f（x），若正數(shù)a，b滿足a＋b＝1，則f（a）＋f（b）的最小值為112π.解析：因為圓錐形容器的底面半徑和高都是1，水面高度為x，所以容器中水的體積V＝f（x）＝13πx3.因為a＋b＝1，所以b＝1－a（0＜a＜1），f（a）＋f（b）＝13πa3＋13π（1－a）3