蘇科版·九年級上冊1.4用一元二次方程解決問題

第一章

一元二次方程章節(jié)導讀學

習

目

標12能由實際問題抽象出一元二次方程，掌握用一元二次方程解決問題的一般步驟能用一元二次方程解決圖形面積問題、增長率問題、商品銷售問題、動態(tài)幾何問題、數(shù)字問題等知識回顧1.用一元一次方程解決問題的一般步驟：步驟注意點（一）審審題，明確已知未知，找出等量關系等量關系關鍵句中找（二）設設未知數(shù)一般要帶單位（三）列根據(jù)等量關系列方程方程兩邊單位要統(tǒng)一（四）解選擇合適的方法解方程一般不必寫出解方程的過程（五）驗檢驗未知數(shù)的值是否滿足方程，檢驗該值在實際問題中是否有意義若不符合實際意義，要舍去（六）答寫出實際問題的答案注意帶上單位新知探究知識要點類似地，用一元二次方程解決問題的一般步驟：步驟注意點（一）審審題，明確已知未知，找出等量關系等量關系關鍵句中找（二）設設未知數(shù)一般要帶單位（三）列根據(jù)等量關系列方程方程兩邊單位要統(tǒng)一（四）解選擇合適的方法解方程一般不必寫出解方程的過程（五）驗檢驗未知數(shù)的值是否滿足方程，檢驗該值在實際問題中是否有意義若不符合實際意義，要舍去（六）答寫出實際問題的答案注意帶上單位典例分析圖形面積典例1

如圖，在寬為20m，長為38m的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下的部分種上草坪。要使草坪的面積為540m2，求道路的寬。如果設小路寬為x

m，根據(jù)題意，所列的方程為_______________________?！痉治觥康攘筷P系：草坪的面積為540m2解：∵小路寬為x

m，∴種植草坪的部分可合成長為(38

-

x

)m，寬為(20-

x

)m的矩形，由題意可得：(20-

x

)(38

-

x

)=

540。(20-

x

)(38

-

x

)=

540新知探究知識要點

原數(shù)量第一輪第二輪aa(1+x)a(1+x)2典例分析增長率

典例2

小區(qū)新增了一家快遞店，第一天攬件200件，第三天攬件242件，設該快遞店攬件日平均增長率為x，則根據(jù)題意可列方程為___________________。第一天攬件數(shù)（單位：件）第二天攬件數(shù)（單位：件）第三天攬件數(shù)（單位：件）200200(1+x

)242200(1+x

)2【分析】等量關系：200(1+x

)2=242200(1+x

)2=242新知探究知識要點

原數(shù)量第一輪第二輪aa(1-x)a(1-x)2典例分析下降率

典例3

某一芯片實現(xiàn)國產(chǎn)化后，經(jīng)過兩次降價，每塊芯片單價由256元降為196元。若兩次降價的百分率相同，設每次降價的百分率為x，則根據(jù)題意可列方程為___________________。原價（單位：元/塊）經(jīng)第一次降價后的價格（單位：元/塊）經(jīng)第二次降價后的價格（單位：元/塊）256256(1+x

)196256(1-x

)2【分析】等量關系：256(1-x

)2

=196256(1-x

)2=196典例分析商品銷售

典例4

某商店經(jīng)銷一批小家電，每個小家電成本40元，經(jīng)市場預測，定價為50元時，可銷售200個，定價每增加1元，銷售量將減少10個，如果商店進貨后全部銷售完，賺了2160元，該小家電定價是____________元。【分析】等量關系：每個的銷售利潤

×

銷售數(shù)量

=

總利潤2160元解：設該小家電定價時x元，則每個的銷售利潤為(x

-

40)元，可銷售[

200

-

10(x

-

50)]個，由題意可得：(x

-

40)[

200

-

10(x

-

50)]

=

2160，整理得：x2

-

110x

+

3016

=

0，解得：x1

=

52，x2

=

58，經(jīng)檢驗，兩解都成立，答：該小家電定價是52元或58元。52或58典例分析動態(tài)幾何

典例5

如圖，在Rt△ABC中，∠C

=

90°，AC

=

12cm，BC

=

9cm?，F(xiàn)有動點P從點A出發(fā)，沿AC向點C方向運動，動點Q從點C出發(fā)，沿線段CB向點B方向運動，如果點P的速度是2cm/s，點Q的速度是1cm/s，它們同時出發(fā)，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動。設運動的時間為t

s，當t為何值時，Rt△CPQ的面積等于5cm2？

典例分析數(shù)字

典例6

一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字小4，且個位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和比這兩位數(shù)小4，設個位數(shù)字為x，則可列方程為_____________________________。解：由題意可得：十位數(shù)字是(x

+

4)，這個兩位數(shù)是[10(x

+

4

)+

x

]，∴x2

+

(x

+

4)2

=

10(x

+

4)+

x

-

4?！痉治觥康攘筷P系：(個位數(shù)字)2+(十位數(shù)字)2=這個兩位數(shù)-4x2

+(x

+

4)2

=

10(x

+

4)+

x

-

4題型探究【例1】如圖，用一面足夠長的墻為一邊，其余三邊用總長36米的圍欄建兩個面積相同的生態(tài)園，由于場地限制，垂直于墻的一邊長不超過6米。（圍欄寬忽略不計）(1)每個生態(tài)園的面積為48平方米，求每個生態(tài)園的邊長；(2)每個生態(tài)園的面積能否達到60平方米？請說明理由。圖形面積問題題型一

【分析】(1)等量關系：生態(tài)園的面積為48平方米題型探究【例1】如圖，用一面足夠長的墻為一邊，其余三邊用總長36米的圍欄建兩個面積相同的生態(tài)園，由于場地限制，垂直于墻的一邊長不超過6米。（圍欄寬忽略不計）(1)每個生態(tài)園的面積為48平方米，求每個生態(tài)園的邊長；(2)每個生態(tài)園的面積能否達到60平方米？請說明理由。圖形面積問題題型一

【分析】(2)等量關系：生態(tài)園的面積為60平方米題型探究增長率/下降率問題題型二【例2】(1)某網(wǎng)絡學習平臺2022年的新注冊用戶數(shù)為100萬，2024年的新注冊用戶數(shù)為169萬，設新注冊用戶數(shù)的年平均增長率為x

(x>0)，則x

=_______；2022年的用戶數(shù)（單位：萬）2023年的用戶數(shù)（單位：萬）2024年的用戶數(shù)（單位：萬）100100(1+x

)169100(1+x

)2解：(1)由題意可得：100(1+x

)2

=

169，解得：x1

=

0.3

=

30%，x2

=

-2.3（不合題意，舍去）?！痉治觥?1)等量關系：100(1+x

)2

=

16930%題型探究增長率/下降率問題題型二【例2】(2)某商品原價每件75元，兩次降價后每件48元，則平均每次的降價百分率是_______。原價（單位：元/件）經(jīng)第一次降價后的價格（單位：元/件）經(jīng)第二次降價后的價格（單位：元/件）7575(1-x

)4875(1-x

)2解：(2)設平均每次的降價百分率是x，由題意可得：75(1-x

)2

=48，解得：x1

=

0.2=20%，x2

=1.8（不合題意，舍去），∴平均每次的降價百分率是20%?！痉治觥?2)等量關系：75(1-x)2=4820%題型探究商品銷售問題題型三【例3】某商店銷售甲、乙兩種商品，甲的成本為5元，乙的成本為7元。甲現(xiàn)在的售價為10元，每天賣出30個；售價每提高1元，每天少賣出2個。乙現(xiàn)在的售價為14元，每天賣出6個；售價每降低1元，每天多賣出4個。假定甲、乙兩種商品每天賣出的數(shù)量和不變（和為36袋），且售價均為整數(shù)。(1)當甲的售價提高x元，乙的售價為__________元；（用含x的代數(shù)式表示）(2)當甲的售價提高多少元時，銷售這兩種商品當天的總利潤是268元？

題型探究商品銷售問題題型三

【分析】(2)等量關系：甲的銷售利潤

×

甲的銷售數(shù)量+乙的銷售利潤

×

乙的銷售數(shù)量

=

總利潤268元

題型探究動態(tài)幾何問題題型四

題型探究動態(tài)幾何問題題型四

題型探究動態(tài)幾何問題題型四

題型探究數(shù)字問題題型五【例5】一個兩位數(shù)，個位數(shù)字比十位數(shù)字大3，個位數(shù)字的平方剛好等于這個兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)是多少？解：設個位數(shù)字為x，則十位數(shù)字是(x

-

3)，這個兩位數(shù)是[10(x

-

3)+

x]，由題意可得：x2

=

10

(x

-

3)+

x，整理得：x2

-

11x

+

30

=

0，解得：x1

=

5，x2

=

6，當x

=

5時，x

-

3

=

2，則這個兩位數(shù)是25；當x

=6時，x

-

3

=3，則這個兩位數(shù)是36；答：這個兩位數(shù)是25或36?！痉治觥康攘筷P系：