蘇科版·九年級上冊1.2.4一元二次方程的解法——因式分解法

第一章

一元二次方程章節(jié)導(dǎo)讀學(xué)

習(xí)

目

標12理解用因式分解法解一元二次方程的原理，體會數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想掌握用因式分解法解一元二次方程的一般步驟，并能選擇合適的方法進行因式分解新知探究思

考1.請完成下列填空：若a·b=0，則________________；若(x-2)(x-3)=0，則________________；若(2x+5)(3x+7)=0，則________________。a=0或b=0x=2或x=3

新知探究思

考2.解方程：x2

-x

=

0?？梢杂门浞椒ɑ蚬椒ㄇ蠼膺€有其他方法嗎？x2-x可以化為x(x-1)新知探究思

考2.解方程：x2

-x

=

0。解：將方程左邊分解因式得：x

(x

-1)=0，則x和x-1兩個因式中至少有一個為0，即x

=0或x

-1=0，∴x1=0，x2=1。新知探究因式分解法的定義：

當(dāng)一個一元二次方程的一邊是0，

另一邊能分解為兩個一次因式的乘積時，

就可以把解這樣的一元二次方程轉(zhuǎn)化為解兩個一元一次方程，

這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。知識要點蘊含了“降次”的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想一元二次方程?(ax+b)(cx+d)=0?(ax+b)=0或(cx+d)=0典例分析典例1

解方程：x2

=-16x。解：①移項：x2+16x=0，②因式分解：x(x

+16)=0，③賦值：x=0或x

+16=0，④求解：x1

=0，x2

=-16。方法技巧解題關(guān)鍵：嚴格按照步驟計算。注意：提公因式x典例分析典例2

解方程：(x

+5)-x(x

+5)=0。將(

x

+

5)看作整體，提公因式(

x

+

5)解：①因式分解：(x

+5)(1-x)=0，②賦值：x+5=0或1-x=0，③求解：x1=-5，x2=1。新知探究用因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項：使方程的右邊化為零；②因式分解：將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③賦值：令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④求解：解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解。知識要點新知探究【復(fù)習(xí)鞏固】因式分解的常用方法：①提公因式法：ax+bx+cx=x(a+b+c)；②公式法：a2

±2ab+b2=(a±

b)2，a2

-b2=(a+b)(a-b)；③分組分解法：am+bm+an+bn

=m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n)；④十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。知識要點典例分析典例3

解方程：x2+9=6x。解：①移項：x2

-6x+9=0，②因式分解：(x

-3)2

=

0，③直接開平方：x

-3=±0，④解一元一次方程：x1=x2=3。公式法：a2

±

2ab

+

b2

=

(

a

±

b

)2典例分析典例4

解方程：(2x+1)2-(x-7)2=0。將(2x+1)、(x+7)分別看作整體，用公式法：a2

-b2=(a+b)(a-b)解：法一：①因式分解：(2x+1+x-7)(2x+1-x+7)=0，(3x-6)(x+8)=0，②賦值：3x-6=0或x+8=0，③求解：x1

=2，x2

=-8。方法技巧解題關(guān)鍵：已知A2-B2=0(或A2=B2

)法一：因式分解法(A+B)(A-B)=0，A+B=0或A-B=0，A=-B或A=B。典例分析典例4

解方程：(2x+1)2-(x-7)2=0。法二：(2x

+1)2=(x

-7)2，兩邊同時開平方：2x

+1=±

(x

-7)，2x

+1=x

-7或2x

+1=-x

+7，∴x1

=-8，x2

=2。方法技巧解題關(guān)鍵：已知A2-B2=0(或A2=B2

)法二：直接開平方法A=±B。典例分析典例5

解方程：x2-6x+8=0。十字相乘解：①因式分解：(x

-2)(x

-4)=0，②賦值：x

-2=0或x

-4=0，③求解：x1=2，x2=4。典例分析典例6

已知方程(x+2)2=4(x+2)，請判斷小麗、小明的解法是否正確。小麗(x+2)2-4(x+2)=0(x+2)(x-2)=0x+2=0或x-2=0∴x1=-2，x2=2。小明方程兩邊都除以(x+2)x+2=4∴x=2。當(dāng)x+2=0時，方程兩邊不能同時除以(x+2)典例分析典例6

已知方程(x+2)2=4(x+2)，請判斷小麗、小明的解法是否正確。小明方程兩邊都除以(x+2)x+2=4∴x=2。當(dāng)x+2=0時，方程兩邊不能同時除以(x+2)解：小明的正解：①

當(dāng)x+2≠0時，方程兩邊都除以(x+2)，x+2=4，∴x

=2；②

當(dāng)x+2=0時，x

=-2，成立；綜上，x

=-2或x

=2。題型探究【例1】解方程：(1)3x(x

-4)=x

-4；

(2)x(x

+2)=3x+6；因式分解法解方程——提公因式題型一(2)x(x

+2)=3(x

+2)，x(x

+2)-3(x

+2)=0，(x

+2)(x-3)=0，x

+2=0或x-3=0，∴x1=-2，x2=3；

題型探究【例1】解方程：(3)x2

-4=2x(x

-2)。因式分解法解方程——提公因式題型一(3)(x

+2)(x

-2)=2x(x

-2)，(x

+2)(x

-2)-2x(x

-2)=0，(x

-2)(-x

+2)=0，x

-2=0或-x

+2=0，∴x1

=

x2

=

2。題型探究因式分解法解方程——公式法題型二

【例2】解方程：(3x

+4)2

-(4x

-1)2

=0。題型探究因式分解法解方程——十字相乘法題型三【例3】解方程：(1)2x2

-x

-3=0；

(2)3x2

-5x

-2=0；

題型探究因式分解法解方程——十字相乘法題型三【例3】解方程：(3)(x-2)2-5(x-2)+6=0。解：(

x

-2-2)(x

-2-3)=0，(x

-4)(x

-5)=0，x

-4=0或x

-5=0，∴x1=4，x2=5。題型探究因式分解法的應(yīng)用題型四【例4】已知三角形兩邊的長分別是2和5，第三邊的長是方程x2

-

7x

+

10

=

0的根，則這個三角形的周長是________。解：∵三角形兩邊的長分別是2和5，∴第三條邊長的取值范圍是：3<第三邊的長<7，∵第三邊的長是方程x2

-

7x

+

10

=

0的根，∴(x

-

2

)(x

-

5)=

0，解得：x1

=

2，x2

=

5，∴第三邊長為：5，∴這個三角形的周長是：2+

5

+

5

=

12。12題型探究因式分解法的應(yīng)用題型四【例5】已知(x2

+

y2

+

1)(x2

+

y2

-

3)=

5，則x2

+

y2的值為（）A．0

B．4

C．4或-2

D．-2解：設(shè)x2

+

y2

=

z，則原方程換元為(

z

+1)(

z

-3)=5，整理得：z2

-

2z

-

8

=

0，∴(z

-

4)(z

+

2)=

0，解得：z1

=

4，z2

=

-2，∴x2

+

y2

=

4或x2

+

y2

=

-2（舍）

。B課堂小結(jié)因式