北師大版·九年級上冊1.2矩形的性質(zhì)與判定

第2課時

第一章

特殊平行四邊形學(xué)

習

目

標1.探索并證明矩形的判定定理，并能靈活運用判定定理進行證明和計算;（重點）2.探索矩形判定條件的過程，以及合理、準確地運用判定定理解決問題。(難點)CBAO

知識回顧1.矩形的定義：有一個角是

的平行四邊形叫作矩形.直角2.矩形的性質(zhì)：（1）一般性質(zhì)：矩形具有

的一切性質(zhì)：對邊平行且相等、對角相等、對角線互相平分.（2）特殊性質(zhì)：矩形的四個角都是

；矩形的對角線

.平行四邊形直角相等3.直角三角形斜邊中線定理：直角三角形斜邊上的中線等于

.斜邊的一半AC情境引入

問題：小華同學(xué)想親手制作一個矩形相框，作為生日禮物送給媽媽。他找來了兩根長度相等的短木條和兩根長度相等的長木條，通過拼接制成了一個四邊形框架，從邊的特征看，這顯然是一個平行四邊形框架。平行四邊形？矩形

可小華犯愁了，怎樣才能確定這個框架是矩形呢？大家開動腦筋想一想，有沒有什么辦法來驗證？？

根據(jù)矩形的定義，再有一個角是直角就是矩形了.還有沒有其他方法呢?下面我們一起探索吧!新知探究

探究：矩形的判定

類比平行四邊形的定義也是判定平行四邊形的一種方法，那么矩形的定義也是判定矩形的一種方法.有一個角是直角的平行四邊形是矩形.∠B=90°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是矩形.幾何語言：

除此之外，你認為還有什么條件可以判斷一個平行四邊形是矩形?先想一想，再與同伴交流。定義法：ABCD∟新知探究做一做

下圖是一個平行四邊形活動框架，拉動一對不相鄰的頂點時，平行四邊形的形狀會發(fā)生變化．(2)當兩條對角線的長度相等時,平行四邊形有什么特征?由此你能得到一個怎樣的猜想?(1)隨著∠α的變化,兩條對角線的長度將發(fā)生怎樣的變化?當∠α逐漸增大時，其中一條對角線逐漸變長，另一條對角線逐漸變短。當兩條對角線長度相等時，平行四邊形的四個角都變成直角。由此可猜想：對角線相等的平行四邊形是矩形。已知：在□ABCD中，AC，DB是它的兩條對角線，AC=DB.求證：四邊形ABCD是矩形.新知探究驗證猜想：對角線相等的平行四邊形是矩形.

新知探究矩形的判定定理1：知識歸納幾何語言：∵在□ABCD中，AC=BD,∴□ABCD是矩形.AC=BDABDC矩形ABCDABCD□ABCD對角線相等的平行四邊形是矩形.1.如圖，在□ABCD中，AC和BD相交于點O，則下面條件能判定□ABCD是矩形的是（）A．AC=BD

B．AC=BCC．AD=BC

D．AB=AD新知探究A新知探究想一想

我們知道，矩形的四個角都是直角，反過來，一個四邊形至少有幾個角是直角時，這個四邊形就是矩形呢？請證明你的結(jié)論，并與同伴交流.ABDC(有一個角是直角)ABDC(有二個角是直角)ABDC(有三個角是直角)猜想：有三個角是直角的四邊形是矩形.已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.求證：四邊形ABCD是矩形.ABCD新知探究驗證猜想：有三個角是直角的四邊形是矩形.證明:∵∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，∴AD∥BC，AB∥CD.∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是矩形.新知探究知識歸納矩形的判定定理2：幾何語言：在四邊形ABCD中，∵∠A=∠B=∠C=90°,∴□ABCD是矩形.∠A=∠B=∠C=90°有三個角是直角的四邊形是矩形.ABCD矩形ABCD四邊形ABCDABCD新知探究議一議

你有什么方法檢查你家（或教室）剛安裝的門框是不是矩形？如果僅有一根較長的繩子，你怎樣檢查？請說明檢查方法的合理性，并與同伴交流.方法一：測量三個角操作：使用量角器測量門框的三個角。依據(jù)：有三個角是直角的四邊形是矩形。方法二：測量兩組對邊及對角線操作：先用卷尺測量門框的兩組對邊，看它們是否分別相等；若兩組對邊分別相等，再測量兩條對角線的長度。依據(jù)：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，對角線相等的平行四邊形是矩形。新知探究若僅有一根較長繩子時的方法:操作：用繩子依次測量出門框的兩組對邊長度并做好標記，判斷兩組對邊是否分別相等；若兩組對邊分別相等，再用繩子測量門框的兩條對角線長度。依據(jù)：當兩組對邊分別相等，說明門框是平行四邊形。在此前提下，若兩條對角線長度相等，依據(jù)“對角線相等的平行四邊形是矩形”，能夠判定該門框是矩形。新知探究2.在判斷“一個四邊形門框是否為矩形”的數(shù)學(xué)活動課上，一個合作學(xué)習小組的4位同學(xué)分別擬定了如下的方案，其中正確的是（）A．測量對角線是否相等B．測量兩組對邊是否分別相等C．測量一組對角是否都為直角D．測量其中三個角是否都為直角D典例分析

如圖，如圖，在□ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，△ABO是等邊三角形，AB=4，求這個□ABCD的面積.例1∴∠ABC=90°（矩形的四個角是直角）.解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD.又∵△ABO是等邊三角形，∴OA=OB=AB=4.∴OA=OB=OC=OD=4.∴AC=BD=2OA=2×4=8.∴□ABCD是矩形.（對角線相等的平行四邊形是矩形）

如圖,矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)，G，H分別是AO，BO，CO，DO上的一點,且AE=BF=CG=DH.求證:四邊形EFGH是矩形.例2典例分析BCDEFGHOA證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD（矩形的對角線相等)，AO=BO=CO=DO（矩形的對角線互相平分），∵AE=BF=CG=DH，∴OE=OF=OG=OH，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵EO+OG=FO+OH，

即EG=FH，∴四邊形EFGH是矩形.鞏固練習基礎(chǔ)鞏固題1.下列說法正確的是(

)(1)對角線相等的四邊形是矩形;(2)對角線互相平分且相等的四邊形是矩形;(3)有一個角是直角的四邊形是矩形;(4)有三個角是直角的四邊形是矩形;(5)四個角都相等的四邊形是矩形;(6)對角線相等且互相垂直的四邊形是矩形.A.(1)(2)(3)B.(2)(4)(5)C.(4)(5)(6)D.(3)(4)(6)B

2.如圖,直線EF∥MN,PQ交EF，MN于A，C兩點,AB，CB，CD，AD分別是∠EAC，∠MCA，∠ACN，∠CAF的平分線,則四邊形ABCD是（）

A.梯形

B.平行四邊形

C.矩形

D.不能確定DEFMNQPABC鞏固練習基礎(chǔ)鞏固題C3.如圖所示,工人師傅做鋁合金窗框分下面幾個步驟進行:

①

②

③

④

(1)先截出兩對符合規(guī)格的鋁合金窗料,如圖①所示,即AB＝CD,EF＝GH.

(2)擺放成如圖②的四邊形，這時窗框的形狀是

,根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是

.

(3)將直角尺靠緊窗框的一個角(如圖③)調(diào)整窗框的邊框，當直角尺的兩條直角邊與窗框無縫隙時(如圖④)，說明窗框合格.這時窗框的形狀是

，根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是

.鞏固練習基礎(chǔ)鞏固題平行四邊形兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形矩形有一個角是直角的平行四邊形是矩形4.如圖所示,在?ABCD中,AB=6,BC=8,AC=10,求證：四邊形ABCD是矩形.鞏固練習基礎(chǔ)鞏固題∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴四邊形ABCD是矩形.證明:∵在△ABC中，

AB=6,BC=8,AC=10,∴AC2=AB2+BC2,∴∠ABC=90°.5.如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，延長OA到N，使ON＝OB，再延長OC至M，使CM＝AN.求證：四邊形NDMB為矩形．鞏固練習基礎(chǔ)鞏固題證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AO＝OC，OD＝OB.∵AN＝CM，ON＝OB，∴ON＝OM＝OD＝OB，∴四邊形NDMB為平行四邊形，MN＝BD，∴平行四邊形NDMB為矩形．6.如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高，AE是△BAC的外角平分線，DE∥AB交AE于點E.求證：四邊形ADCE是矩形．鞏固練習基礎(chǔ)鞏固題證明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠B＝∠ACB，BD＝DC.∵AE是∠BAC的外角平分線，∴∠FAE＝∠EAC.∵∠B＋∠ACB＝∠FAE＋∠EAC