專題1.4數(shù)學歸納法教學目標1、理解數(shù)學歸納法的概念、掌握數(shù)學歸納法的原理步驟；2、掌握用數(shù)學歸納法證明幾種常見命題的方法技巧；教學重難點1、重點：(1)數(shù)學歸納法的原理；(2)用數(shù)學歸納法證明幾種常見命題的方法．2、難點：(1)數(shù)學歸納法原理的理解；(2)“證明n=k+1時結論也成立”.知識點01數(shù)學歸納法的概念1.定義：一般地，證明一個與正整數(shù)n有關的命題，可按下列步驟進行：第一步(歸納莫基)，先證明當n取第一個值n0第二步(歸納遞推)，假設當n=k(k∈N?,k只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n這種證明方法叫做數(shù)學歸納法．2.數(shù)學歸納法的原理：數(shù)學歸納法是專門證明與正整數(shù)集有關的命題的一種方法，它是一種完全歸納法．(1)證明了第一步：先證明當n取第一個值n0時命題成立；就獲得了遞推的基礎．(歸納奠基也稱但僅靠這一步還不能說明結論的普遍性．在第一步中，考察結論成立的最小正整數(shù)就足夠了，沒有必要再考察更多的正整數(shù)，因為即使再考察幾個正整數(shù)，對這幾個正整數(shù)命題都成立，也不能保證命題對其他正整數(shù)也成立；所以必須證明第二步：假設當n=k(k∈N?,k(2)證明了第二步，就獲得了遞推的依據(jù)．(歸納遞推也稱歸納傳遞)即：n=n0時命題成立?n=n0+1(3)若沒有第一步就失去了遞推的基礎；若沒有第二步就失去了遞推的依據(jù)．只有把第一步和第二步結合在一起，才能獲得普遍性的結論．3.數(shù)學歸納法的適用范圍：只適用于證明與正整數(shù)n(一般n可取無窮多個值)有關的數(shù)學命題。但是，并不能簡單地說所有與正整數(shù)n有關的數(shù)學命題都可使用數(shù)學歸納法證明．知識點02數(shù)學歸納法的功能、步驟及易錯點1.功能：數(shù)學歸納法將無窮的歸納過程依據(jù)歸納公理轉化為有限的特殊演繹(直接驗證與演繹推理相結合)的過程1.步驟：(1)證明：當取第一個值n0結論正確；(2)假設當n=k(k∈N?,k(3)由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確，2.易錯點：(1)弄錯起始n0:注意的是n0不一定都是1，起始值可以是任意一個正整數(shù)(需要由題意判斷n(2)項數(shù)估算錯誤:從n=k與n=k+1的關系時，項數(shù)的變化易出現(xiàn)錯誤(即跨度問題)．(3)沒有利用歸納假設:如果沒有歸納假設，整個證明過程也就不正確了(即偽證問題)．(4)關鍵步驟含糊不清：“假設n=k時結論成立，證明n=k+1時結論也成立”，是數(shù)學歸納法的關鍵和最重要的環(huán)節(jié)，要把推導的過程寫完整，且要保證證明過程的嚴謹性、規(guī)范性(即規(guī)范問題)．3.難點：“假設n=k時結論成立，證明n=k+1時結論也成立”，是數(shù)學歸納法證明的難點；突破難點的關鍵是：分析清楚由n=k到n=k+1時，要證明命題的差異與聯(lián)系，利用拆、添、并、放、縮等手段，或從歸納假設出發(fā)，或從n=k+1時的式子中分離出n=k時的式子，再進行局部調整；也可以考慮二者的結合點，以便順利過渡．【即學即練】某同學用數(shù)學歸納法證明不等式n2(1)當n=1時，12(2)假設當n=kk∈N?,且k≥1時，不等式成立，即k2+k∴當n=k+1時，不等式成立．根據(jù)(1)和(2)可知對任何n∈N?,nA．全部過程均符合數(shù)學歸納法的原理B．n=1的驗證不正確C．歸納假設不正確D．從n=k到n=k+1的推理沒有用到歸納假設【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)學歸納法的定義與證明即可判斷.【解】根據(jù)數(shù)學歸納法的證明可知當n=1的驗證正確，歸納假設正確，故BC錯誤；從n=k到n=k+1的推理中，并沒有用到n=k時的假設，故D正確，A錯誤，故選：D.知識點03數(shù)學歸納法證明的常見類型1、用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)n有關的恒等式；證明要有目的性：證明恒等式時，在證n=k+1時等式也成立時，應把n=k+1時的結論和n=k時的結論進行對比，采用兩邊湊的方法，從而得出所要證明的式子.2、用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)n有關的不等式．用數(shù)學歸納法證明一些與n有關的不等式時，在證n=k+1時等式也成立時，有時要進行一些簡單的放縮，有時還要用到一些其他的證明不等式的方法，如比較法、綜合法、分析法、反證法等等．3、用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)n有關的整除性問題；用數(shù)學歸納法證明整除問題時，在證n=k+1時等式也整除時，先要從n=k+1時要證的式子中拼湊出n=k時的式子；只需要證明剩余的式子也能被整除．4、用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)n有關的幾何問題；此類問題解決的關鍵在于：抓住線、面、體的個數(shù)及(線線、線面、面面)交點、面面交線間的關系等．5、用數(shù)學歸納法證明與數(shù)列有關的命題：歸納?猜想?證明基本步驟是：“試驗—歸納—猜想—證明”(1)計算：根據(jù)條件，準確計算出前若干項，這是歸納、猜想的前題；(2)歸納、猜想：通過觀察、分析、比較、綜合、聯(lián)想，猜想出一般的結論；(3)證明：對一般結論利用數(shù)學歸納法進行證明.高中階段與數(shù)列結合的問題是最常見的問題．這種方法更適用于已知數(shù)列的遞推公式求通項公式．6.由數(shù)學歸納法可得常用結論：1+2+3+?+n=112131+32+【即學即練31】(證明恒等式)用數(shù)學歸納法證明：對任意的正整數(shù)n,2+6+10+?+4n?2【分析】應用數(shù)學歸納法證明即可.【解】當n=1時，左邊=2=2×1假設n=kk≥1,時，原等式成立，則n=k+1等式左邊=2+6+10+?+因此n=k+1時原等式也成立．綜上，?n∈N*都有【即學即練32】(證明不等式)(2024高三全國專題練習)證明∶不等式32【分析】利用數(shù)學歸納法證明即可.【解】①當n=1時，左邊=3②假設當n=k時不等式成立，即32③當n=k+1時，左邊==4∴當n=k+1時，不等式也成立.綜上可得，原不等式恒成立.【即學即練33】(證明整除)用數(shù)學歸納法證明：n3+n+13+【分析】先驗證n=1時，n3+n+13+n+23能被9整除；假設當n=k時，k【解】證明：(1)當n=1時，13+2(2)假設當n=kk∈N?時結論成立，即k則當n=k+1時，k+1=k因為k3+k+13+k+23所以，k+13+k+23+由(1)(2)知命題對一切n∈N【即學即練34】(證明幾何問題)已知n≥2，且平面內有n條直線，其中任意兩條不平行，任意三條不過同一點，證明這些直線的交點的個數(shù)為f(n)=n(n?1)【分析】按照數(shù)學歸納法證明步驟證明即可.【解】(1)當n=2時，兩直線交點只有1個，又f(2)=2(2?1)2=1(2)假設n=k∈N?且k>2時，命題成立，即平面內滿足題設的任何k條直線交點個數(shù)那么，當n=k+1時，任取一條直線l，除l以外其他k條直線的交點個數(shù)為f(k)=k(k?1)因為任意兩條直線不平行，所以直線l與其他k條直線的交點個數(shù)為k，又任意三條不過同一點，所以上面k個交點兩兩不同，且與平面內其他的f(k)=k(k?1)從而k+1條直線共有f(k)+k個交點，即f(k+1)=f(k)+k=k(k?1)2所以當n=k+1時，命題成立.綜上，原命題成立.【即學即練35】(證明數(shù)列問題)(2324高二下·北京房山·期中)已知數(shù)列an中，a1=0(1)求數(shù)列an的第2，3，4項；(2)根據(jù)(1)的計算結果，猜想數(shù)列a【分析】(1)由題意逐個計算即可得；(2)由(1)的計算結果可猜想出數(shù)列an【解】(1)由a1=0且an+1=12?a(2)由(1)的計算結果可猜想an當n=1時，a1假設當n=k時等式成立，即有ak則當n=k+1時，有ak+1即當n=k+1時，等式成立；故猜想an題型01對數(shù)學歸納法的理解A．不能用數(shù)學歸納法判斷此命題的真假B．此命題一定為真命題所以ACD錯誤；故選：B．【典例12】(2024高二下遼寧階段練習)利用數(shù)學歸納法證明不等式1+12+13+…+13A．1項 B．k項 C．3k項 D．2×【分析】根據(jù)題意，結合n=k變到n=k+1時，左邊由3k?1項增加到【解】由題意，不等式的左邊中分子都為1，分母是從1開始到3n?1，故共有又由n=k變到n=k+1時，左邊由3k?1項增加到從而左邊增加了3k+1【變式12】(2024高二下四川成都階段練習)用數(shù)學歸納法證明“對任意的n∈N*，都有1?12+1A．1?12+C．1=12+【分析】根據(jù)數(shù)學歸納法的知識確定正確答案.【解】在等式1?1當n=1時，2n=2，故等式的左邊為1?12，右邊為所以第一步應該驗證的等式是1?12【變式13】已知經(jīng)過同一點的nn∈N?,n≥3個平面，任意三個平面不經(jīng)過同一條直線，若這n個平面將空間分成f(A．2kB．2k+2C．k【答案】A【解】n=3時，3個平面分空間為8部分，nn=4時，增加6=2×3，故增加量為2題型02數(shù)學歸納法中的增項問題【變式21】用數(shù)學歸納法證明等式12+22?+(n?1)A．(k+1)2+2k2B．【答案】B【解】n=k時左邊為12+2【變式23】用數(shù)學歸納法證明等式(n+1)(n+2)??(n+n)=A．2k+3k+1B．2k+1【答案】D【解】n=k時左端為(k+1)(k增乘(2k題型03用數(shù)學歸納法證明恒等式【變式31】用數(shù)學歸納法證明1?n+2?n?1+3?n?2+?+n?1=1【分析】根據(jù)數(shù)學歸納法證明的步驟，首先驗證當n=1時成立，進而假設n=k時等式成立，證明n=k+1時，等式也成立；即可得證．【解】設f(n)=1?n+2?(n?1)+3?(n?2)+…+(n?1)?2+n?1．①當n=1時，左邊=1，右邊=1②設當n=k時等式成立，即fk則當n=k+1時，f(k+1)=1(k+1)+2[(k+1)?1]+3[(k+1)?2]+=f(k)+1+2+3+…+k+(k+1)=1∴由①②可知當n∈N【答案】證明見解析【分析】根據(jù)數(shù)學歸納法的步驟證明即可.由①②知等式對于一切正整數(shù)都成立．題型04用數(shù)學歸納法證明不等式【典例4】證明不等式1＋12＋13＋…＋1n<2n(n∈【分析】利用數(shù)學歸納法可證明，先假設n＝k時成立，再證明n＝k＋1時成立即可.【解】當n＝1時，左邊＝1，右邊＝2，左邊<右邊，不等式成立．假設當n＝k(k∈N*)時，不等式成立，即1+1當n＝k＋1時，1+1所以當n＝k＋1時，不等式成立．綜上，原不等式對任意n∈N*都成立．根據(jù)①②可得不等式對所有的n>1都成立．【答案】證明見解析【分析】利用數(shù)學歸納法證明即可.綜上可得，原命題成立.題型05用數(shù)學歸納法證明整除問題其中兩個連續(xù)自然數(shù)之積是偶數(shù)，它的3倍能被6整除，【解】用數(shù)學歸納法證明：題型06用數(shù)學歸納法證明幾何問題過這k個點中的任一個點與相連的直線共有k條，【變式61】用數(shù)學歸納法證明：凸n邊形的內角和fn【分析】驗證當n=3時，結論成立；假設當n=kk∈分析知凸k+1k≥3,k∈N?邊形A1A2?Ak即可得出fk+1這說明當n=k+1時，結論成立，再由歸納原理可證得結論成立.【解】當n=3時，三角形的內角和為180°，即f假設當n=kk∈N?假設凸k+1k≥3,k∈N?則凸k+1k≥3,k∈N?邊形A1A2?Ak所以，fk+1這說明當n=k+1時，結論成立，故凸n邊形的內角和fn【變式62】(2024上海普陀模擬預測)如圖，曲線C:xy=1x>0與直線l:y=x相交于A1，作A1B1⊥l交x軸于B1(1)寫出點A1,A2,A3和B【分析】(1)將直線y=x，曲線xy=1方程聯(lián)立，由x>0即可求得A1，由垂直關系可得直線A1B1方程，令y=0即可求得B1坐標，依次類推即可求得結果；(2)由(1)可歸納出Ann+n?1,n?n?1【解】(1)由y=xxy=1x>0得：x=1y=1∴直線A1B1方程為：y?1=?令y=0，解得：x=2，∴B∴直線A2B1方程為：y=x?2，由y=x?2xy=1x>0∴直線A2B2方程為：y?令y=0，解得：x=22，∴∴直線A3B2由y=x?22xy=1x>0得：x=∴直線A3B3方程為y?令y=0，解得：x=23，∴(2)由(1)猜想Ann∈N設Anxn,yn，令y=0，解得：x=xn?1+∵直線AnBn?1的斜率為1，即ynx用數(shù)學歸納法證明An①當n=1時，A11,1滿足②假設當n=k時，Ak那么當n=k+1時，由1x1xk+1?即當n=k+1時，An綜上所述：An【變式63】在平面上畫n條直線，且任何2條直線都相交，其中任何3條直線不共點.問：這n條直線將平面分成多少個部分？【分析】通過n=1，2，3，4，5的結果歸納出rn【解】記n條直線把平面分成rn個部分，我們通過n=1，2，3，4，5，畫出圖形觀察rn的情況(從圖中可以看出，r1r2r3r4r5由此猜想rn接下來用數(shù)學歸納法證明這個猜想.(1)當n=1，2時，結論均成立.(2)假設當n=k時結論成立，即rk那么，當n=k+1時，第k+1條直線與前面的k條直線都相交，有k個交點，這k個交點將這條直線分成k+1段，且每一段將原有的平面部分分成兩個部分，所以rk+1根據(jù)(1)和(2)可知，對n∈N?，都有即rn題型07用數(shù)學歸納法證明數(shù)列問題(1)求，，；(2)試猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明.(1)求，，，并由此猜想出的一個通項公式；(2)用數(shù)學歸納法證明你的猜想成立．【變式73】)已知正項數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足(1)求出數(shù)列an的前三項；(2)根據(jù)數(shù)列a【分析】(1)分別將n=1,n=2,n=3代入求解即可；(2)先猜想通項公式，再應用數(shù)學歸納法及an【解】(1)當n=1時，由已知條件可得a1+1=a12當n=2時，由已知條件可得a1+a2+1=解得a2當n=3時，由已知條件可得a1+a(2)由(1)可以猜想an=2n+1假設當n=kk>3,k∈N*又因為ak+1將ak=2k+1所以n=k+1時命題成立．綜合可得，當n∈N*時，題型08用數(shù)學歸納法處理探究問題【典例8】請觀察下列三個式子：歸納出一般的結論，并用數(shù)學歸納法證明．【答案】1×3+2×【解】1×即1×=1【變式81】觀察下列不等式：5+3≥8，25+9≥32，125+27≥128，625+81≥512，……．(1)根據(jù)這些不等式，歸納出一個關于正整數(shù)n的命題；(2)用數(shù)學歸納法證明(1)中得到的命題．【分析】(1)不完全歸納得解；(2)利用數(shù)學歸納法證明即可.【解】(1)不等式可寫為：5+3≥23，52+3所以歸納得到命題：5n+3n≥(2)證明：①當n＝1時，易知命題成立；②假設當n=k(k≥1,k∈N?)則當n=k+1時，5=4×5k+即n=k+1時，命題也成立．由①②可知，5n【變式82】(2324高二下·山西呂梁·期末)給出下列不等式：1>12，1+12+13(1)根據(jù)給出不等式的規(guī)律，歸納猜想出不等式的一般結論；(2)用數(shù)學歸納法證明你的猜想.【分析】(1)猜想不等式左邊最后一個數(shù)分母2n?1，對應各式右端為n(2)遞推部分，利用n=k時結論，替換括號內部分1+12+【解】(1)觀察不等式左邊最后一個數(shù)分母的特點：1=21?1，3=22猜想不等式左邊最后一個數(shù)分母2n?1，對應各式右端為n所以，不等式的一般結論為：1+1(2)證明：①當n=1時顯然成立；

②假設n=k時結論成立，即：1+12當n=k+1時，1+>k2+即當n=k+1時結論也成立.由①②可知對任意n∈一、單選題1．觀察下列式子：1+122<32A．nn+1B．2n?1n+1【答案】C【解】觀察前三個式子，右邊分母為項數(shù)加1，分子為項數(shù)的2倍加1。如第1個式子右邊為32(n=1時，2×1+1=3