3.1.1空間向量的線性運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解空間向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共線向量等的概念.2.會用平行四邊形法則、三角形法則作出向量的和與差，了解向量加法的交換律和結(jié)合律.3.掌握數(shù)乘向量運(yùn)算的意義及運(yùn)算律．知識點(diǎn)一空間向量的概念思考類比平面向量的概念，給出空間向量的概念．梳理(1)在空間，把具有________和________的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的________或______．空間向量也用有向線段表示，有向線段的________表示向量的模，向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，則向量a也可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為________．(2)幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量起點(diǎn)與終點(diǎn)重合的向量叫做__________，記為0單位向量________的向量稱為單位向量相反向量與向量a長度________而方向________的向量，稱為a的相反向量，記為－a相等向量方向________且模________的向量稱為相等向量，________且________的有向線段表示同一向量或相等向量共線向量或平行向量有向線段所在的直線叫做向量的基線．如果空間中一些向量的基線____________，則這些向量叫做________或________知識點(diǎn)二空間向量的加減運(yùn)算及運(yùn)算律思考1下面給出了兩個(gè)空間向量a、b，作出b＋a，b－a.思考2由上述的運(yùn)算過程總結(jié)一下，如何求空間兩個(gè)向量的和與差？下面兩個(gè)圖形中的運(yùn)算分別運(yùn)用了什么運(yùn)算法則？梳理(1)類似于平面向量，可以定義空間向量的加法和減法運(yùn)算．eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝a－b.(2)空間向量加法交換律a＋b＝________，空間向量加法結(jié)合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．知識點(diǎn)三數(shù)乘向量運(yùn)算思考實(shí)數(shù)λ和空間向量a的乘積λa的意義是什么？向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足哪些運(yùn)算律？梳理(1)實(shí)數(shù)與向量的積與平面向量一樣，實(shí)數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算，記作λa，其長度和方向規(guī)定如下：①|(zhì)λa|＝________.②當(dāng)λ>0時(shí)，λa與向量a方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與向量a方向________；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0.(2)空間向量數(shù)乘運(yùn)算滿足以下運(yùn)算律①λ(μa)＝________；②λ(a＋b)＝____________.類型一有關(guān)空間向量的概念的理解例1給出以下結(jié)論：①兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別相同；②若空間向量a，b滿足|a|＝|b|，則a＝b；③在正方體ABCD－A1B1C1D1中，必有eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))；④若空間向量m，n，p滿足m＝n，n＝p，則m＝p.其中不正確的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4反思與感悟在空間中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相關(guān)概念完全一致，兩向量相等的充要條件是兩個(gè)向量的方向相同、模相等．兩向量互為相反向量的充要條件是大小相等，方向相反．跟蹤訓(xùn)練1(1)在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，下列四對向量：①eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(C1D1,\s\up6(→))；②eq\o(AC1,\s\up6(→))與eq\o(BD1,\s\up6(→))；③eq\o(AD1,\s\up6(→))與eq\o(C1B,\s\up6(→))；④eq\o(A1D,\s\up6(→))與eq\o(B1C,\s\up6(→)).其中互為相反向量的有n對，則n等于()A．1 B．2C．3 D．4(2)如圖，在長方體ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，則分別以長方體的頂點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中：①單位向量共有多少個(gè)？②試寫出模為eq\r(5)的所有向量．③試寫出與向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的所有向量．④試寫出向量eq\o(AA′,\s\up6(→))的所有相反向量．類型二空間向量的加減運(yùn)算例2如圖，已知長方體ABCDA′B′C′D′，化簡下列向量表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量．(1)eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))；(2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→)).引申探究利用例2題圖，化簡eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′B′,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＋eq\o(C′A,\s\up6(→)).反思與感悟(1)首尾順次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋An－1An＝eq\o(A1An,\s\up6(→)).(2)首尾順次相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為0.如圖，eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(FG,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))＋eq\o(HO,\s\up6(→))＝0.(3)空間向量的減法運(yùn)算也可以看成是向量的加法運(yùn)算，即a－b＝a＋(－b)．(4)由于空間任意兩個(gè)向量都可以平移到同一平面內(nèi)，成為同一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)向量，而平面向量滿足加法交換律，因此空間向量也滿足加法交換律．(5)空間向量加法結(jié)合律的證明：如圖，(a＋b)＋c＝(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))，a＋(b＋c)＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))，所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．跟蹤訓(xùn)練2在如圖所示的平行六面體中，求證：eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB′,\s\up6(→))＋eq\o(AD′,\s\up6(→))＝2eq\o(AC′,\s\up6(→)).類型三數(shù)乘向量運(yùn)算例3如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up6(→))；(3)eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→)).引申探究若把本例中“P是C1D1的中點(diǎn)”改為“P在線段C1D1上，且eq\f(C1P,PD1)＝eq\f(1,2)”，其他條件不變，如何表示eq\o(AP,\s\up6(→))？反思與感悟利用數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行向量表示的技巧(1)數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí)，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量．(2)明確目標(biāo)：在化簡過程中要有目標(biāo)意識，巧妙運(yùn)用中點(diǎn)性質(zhì)．跟蹤訓(xùn)練3如圖，在空間四邊形OABC中，M，N分別是對邊OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在MN上，且MG＝2GN，如圖所示，記eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，試用向量a，b，c表示向量eq\o(OG,\s\up6(→)).1．下列命題中，假命題是()A．同平面向量一樣，任意兩個(gè)空間向量都不能比較大小B．兩個(gè)相等的向量，若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同C．只有零向量的模等于0D．空間中任意兩個(gè)單位向量必相等2．在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，與向量eq\o(AD,\s\up6(→))相等的向量共有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)3．向量a，b互為相反向量，已知|b|＝3，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)＝b B．a(chǎn)＋b為實(shí)數(shù)0C．a(chǎn)與b方向相同 D．|a|＝34．在正方體ABCDA1B1C1D1中，已知下列各式：①(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))；②(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→))；③(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))＋B1C1；④(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→)).其中運(yùn)算的結(jié)果為eq\o(AC1,\s\up6(→))的有________個(gè)．5．化簡2eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→))＋3eq\o(CD,\s\up6(→))＋3eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝________.1．一些特殊向量的特性(1)零向量不是沒有方向，而是它的方向是任意的．(2)單位向量方向雖然不一定相同，但它們的長度都是1.(3)兩個(gè)向量模相等，不一定是相等向量，反之，若兩個(gè)向量相等，則它們不僅模相等，方向也相同．若兩個(gè)向量模相等，方向相反，則它們?yōu)橄喾聪蛄浚?．空間向量加法、減法運(yùn)算的兩個(gè)技巧(1)巧用相反向量：向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵，靈活運(yùn)用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量加、減法運(yùn)算時(shí)，務(wù)必注意和向量、差向量的方向，必要時(shí)可采用空間向量的自由平移獲得運(yùn)算結(jié)果．提醒：完成作業(yè)第三章3.1.1

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)一思考在空間，把具有大小和方向的量叫做空間向量．梳理(1)大小方向長度模長度|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|(2)零向量模為1相等相反相同相等同向等長互相平行或重合共線向量平行向量知識點(diǎn)二思考1如圖，空間中的兩個(gè)向量a，b相加時(shí)，我們可以先把向量a，b平移到同一個(gè)平面α內(nèi)，以任意點(diǎn)O為起點(diǎn)作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝b－a.思考2先將兩個(gè)向量平移到同一個(gè)平面，然后運(yùn)用平面向量的運(yùn)算法則(三角形法則、平行四邊形法則)運(yùn)算即可；圖1是三角形法則，圖2是平行四邊形法則．梳理(2)b＋a知識點(diǎn)三思考λ>0時(shí)，λa和a方向相同；λ<0時(shí)，λa和a方向相反；λa的長度是a的長度的|λ|倍．空間向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律：①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，②結(jié)合律：λ(μa)＝(λμ)a.梳理(1)①|(zhì)λ||a|②相反(2)①(λμ)a②λa＋λb題型探究例1B跟蹤訓(xùn)練1(1)B(2)解①由于長方體的高為1，所以長方體的四條高所對應(yīng)的向量eq\o(AA′,\s\up6(→))，eq\o(AA,\s\up6(→))，eq\o(BB′,\s\up6(→))，eq\o(B′B,\s\up6(→))，eq\o(CC′,\s\up6(→))，eq\o(C′C,\s\up6(→))，eq\o(DD′,\s\up6(→))，eq\o(D′D,\s\up6(→))，共8個(gè)向量都是單位向量，而其他向量的模均不為1，故單位向量共有8個(gè)．②由于長方體的左右兩側(cè)面的對角線長均為eq\r(5)，故模為eq\r(5)的向量有eq\o(AD′,\s\up6(→))，eq\o(D′A,\s\up6(→))，eq\o(A′D,\s\up6(→))，eq\o(DA′,\s\up6(→))，eq\o(BC′,\s\up6(→))，eq\o(C′B,\s\up6(→))，eq\o(B′C,\s\up6(→))，eq\o(CB′,\s\up6(→)).③與向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的所有向量(除它自身之外)有eq\o(A′B′,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))及eq\o(D′C′,\s\up6(→)).④向量eq\o(AA′,\s\up6(→))的相反向量有eq\o(A′A,\s\up6(→))，eq\o(B′B,\s\up6(→))，eq\o(C′C,\s\up6(→))，eq\o(D′D,\s\up6(→)).例2解(1)eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AD′,\s\up6(→)).(2)eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＝(eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＝eq\o(AB′,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＝eq\o(AC′,\s\up6(→)).向量eq\o(AD′,\s\up6(→))、eq\o(AC′,\s\up6(→))如圖所示．引申探究解結(jié)合加法運(yùn)算eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′B′,\s\up6(→))＝eq\o(AB′,\s\up6(→))，eq\o(AB′,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＝eq\o(AC′,\s\up6(→))，eq\o(AC′,\s\up6(→))＋eq\o(C′A,\s\up6(→))＝0.故eq\o(AA′,\s\up6(→))＋eq\o(A′B′,\s\up6(→))＋eq\o(B′C′,\s\up6(→))＋eq\o(C′A,\s\up6(→))＝0.跟蹤訓(xùn)練2證明∵平行六面體的六個(gè)面均為平行四邊形，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AB′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))，eq\o(AD′,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB′,\s\up6(→))＋eq\o(AD′,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＋(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))＝2(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→)))．又∵eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(CC′,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CC′,\s\up6(→))＝eq\o(AC′,\s\up6(→)).∴eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB′,\s\up6(→))＋eq\o(AD′,\s\up6(→))＝2eq\o(AC′,\s\up6(→)).例3解(1)eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1P,\s\up6(→))＝(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b.(2)eq\o(A1N,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→))＝－eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→))＝(eq\o(MA1,