專題2.1函數(shù)教學目標1.了解常量、變量的概念，能區(qū)分某一變化過程中的變量與常量。2.掌握自變量和函數(shù)的概念，能辨析兩個變量之間是否存在函數(shù)關系。3.理解函數(shù)解析式的概念，能求出與已知自變量對應的函數(shù)值。4.會確定實際問題中兩個變量之間的函數(shù)解析式，能求出相應自變量的取值范圍。教學重難點教學重點：明確“變量”與“常量”的區(qū)別；掌握函數(shù)的核心定義；函數(shù)的三種表示方法三者能相互轉(zhuǎn)化。教學難點：理解“唯一性”的內(nèi)涵；擺脫“解析式依賴”；區(qū)分“自變量”與“因變量”。知識點01變量與常量的含義在一個變化過程中，我們稱數(shù)值發(fā)生變化的量為變量.數(shù)值保持不變的量叫做常量.A．常量50；變量． B．常量，50；變量．C．常量，50；變量． D．常量，50；變量，．知識點02函數(shù)的概念一般地，在一個變化過程中.如果有兩個變量與，并且對于的每一個確定的值，都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說是自變量，是的函數(shù).要點詮釋：對于函數(shù)的定義，應從以下幾個方面去理解：（1）函數(shù)的實質(zhì)，揭示了兩個變量之間的對應關系；（2）對于自變量的取值，必須要使代數(shù)式有實際意義；（3）判斷兩個變量之間是否有函數(shù)關系，要看對于允許取的每一個值，是否都有唯一確定的值與它相對應.（4）兩個函數(shù)是同一函數(shù)至少具備兩個條件：①函數(shù)關系式相同（或變形后相同）；②自變量的取值范圍相同.否則，就不是相同的函數(shù).而其中函數(shù)關系式相同與否比較容易注意到，自變量的取值范圍有時容易忽視，這點應注意.【即學即練】如圖，下列各曲線中能夠表示是的函數(shù)的是（

）A．B．C． D．知識點03函數(shù)的三種表示方法函數(shù)的三種表示方法：列表法、解析式法、圖象法．其特點分別是：列表法能具體地反映自變量與函數(shù)的數(shù)值對應關系，在實際生活中應用非常廣泛；解析式法準確地反映了函數(shù)與自變量之間的對應規(guī)律，根據(jù)它可以由自變量的取值求出相應的函數(shù)值，反之亦然；圖象法直觀地反映函數(shù)值隨自變量的變化而變化的規(guī)律．注意：①它們分別從數(shù)和形的角度反映了函數(shù)的本質(zhì)；②它們之間可以互相轉(zhuǎn)化．函數(shù)的三種表示方法的優(yōu)缺點解析法：即全面地概括了變量之間的依賴關系，又簡單明了，便于對函數(shù)進行理論上的分析和研究．但有時函數(shù)不能用解析法表示，或很難找到這個函數(shù)的解析式．列表法：自變量的值與其對應的函數(shù)值一目了然，查找方便．但有很多函數(shù)，往往不可能把自變量的所有值與其對應的函數(shù)值都列在表中．圖像法：非常直觀，可以清楚地看出函數(shù)的變化情況．但是，在圖像中找對應值時往往不夠準確，而且有時函數(shù)畫不出它的圖像，還有很多函數(shù)不可能得到它的完整圖像．【即學即練】1.某商店銷售一批玩具時，其收入y（元）與銷售數(shù)量x（個）之間有如下關系：銷售數(shù)量x（個）1234…收入y（元）8+0.316+0.624+0.932+1.2…則收入y與銷售數(shù)量x之間的關系式可表示為（）A．y＝8.3x B．y＝8x+0.3 C．y＝8+0.3x D．y＝8.3+x2.一物體從4m高的地方勻速降到地面，若物體每分鐘下降0.4m，則物體與地面的距離y（單位：m）與下降時間t（單位：min）之間的函數(shù)圖象是（）A． B． C． D．知識點04自變量的取值范圍的確定函數(shù)的自變量允許取值的范圍，叫做這個函數(shù)的定義域.要點詮釋：考慮自變量的取值必須使解析式有意義。（1）當解析式是整式時，自變量的取值范圍是全體實數(shù)；（2）當解析式是分式時，自變量的取值范圍是使分母不為零的實數(shù)；（3）當解析式是二次根式時，自變量的取值范圍是使被開方數(shù)不小于零的實數(shù)；（4）當解析式中含有零指數(shù)冪或負整數(shù)指數(shù)冪時，自變量的取值應使相應的底數(shù)不為零；（5）當解析式表示實際問題時，自變量的取值必須使實際問題有意義.知識點05函數(shù)值要點詮釋：【即學即練】根據(jù)如圖所示的程序計算函數(shù)y的值，若輸入的x的值為4時，輸出的y的值為5．則輸入x的值為3時，輸出的y的值為（）A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3知識點06確定函數(shù)表達式用來表示函數(shù)關系的等式叫做函數(shù)解析式，也稱為函數(shù)關系式．注意：①函數(shù)解析式是等式．②函數(shù)解析式中，通常等式的右邊的式子中的變量是自變量，等式左邊的那個字母表示自變量的函數(shù)．③函數(shù)的解析式在書寫時有順序性，例如，y＝x+9時表示y是x的函數(shù)，若寫成x＝﹣y+9就表示x是y的函數(shù)．【即學即練】已知一個長方形的周長為50cm，相鄰兩邊分別為xcm，ycm，則它們的關系為是（）A．y＝50﹣x（0＜x＜50） B．y＝50﹣x（0≤x≤50） C．y＝25﹣x（0＜x＜25） D．y＝25﹣x（0≤x≤25）知識點07由函數(shù)表達式畫函數(shù)圖象的一般步驟對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內(nèi)由這些點組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象.要點詮釋：由函數(shù)解析式畫出圖象的一般步驟：列表、描點、連線.列表時，自變量的取值范圍應注意兼顧原則，既要使自變量的取值有一定的代表性，又不至于使自變量或?qū)暮瘮?shù)值太大或太小，以便于描點和全面反映圖象情況.(1)寫出y與x的函數(shù)關系式；(2)求自變量x的取值范圍；(3)畫出這個函數(shù)的圖像．題型01判斷所給的表達式是否為函數(shù)A．0個 B．1個 C．2個 D．4個【變式11】下列關系式中，y是x的函數(shù)的是（）A．3 B．4 C．5 D．6A．2個 B．3個 C．4個 D．5個題型02求自變量的值（或函數(shù)值）A．或1.5 B． C．1.5或 D．1.5A．1 B．1 C． D．【例23】（2425八年級上·安徽蚌埠·階段練習）如圖為一組有規(guī)律的圖案，第1個圖案是由4個組成的，第2個圖案是由7個組成的，第3個圖案是由10個組成的，……．設第n個圖案是由y個組成的．(1)求y與n之間的函數(shù)表達式；(2)第100個圖案是由多少個組成的？【變式22】（2324八年級上·安徽阜陽·階段練習）定義：函數(shù)的零點是指使函數(shù)值等于零的自變量的值，則下列函數(shù)中零點為2的是（

）(1)觀察圖形，填寫下表：鏈條節(jié)數(shù)（節(jié)234(2)請你寫出y與x之間的關系式；(3)如果一輛自行車上安裝的鏈條共有60節(jié)，那么鏈條的總長度是多少？題型03函數(shù)的表示方法【例31】（列表法與關系式法）某商店銷售一批玩具時，其收入y（元）與銷售數(shù)量x（個）之間有如下關系：銷售數(shù)量x（個）1234……收入y（元）8＋0.316＋0.624＋0.932＋1.2……則收入y與銷售數(shù)量x之間的關系式可表示為（

）【例32】（圖像法）（2425八年級上·安徽亳州·階段練習）用固定的速度向容器里注水，水面的高度h和注水時間t的函數(shù)關系的大致圖象如圖，則該容器可能是（

）A． B． C． D．【變式31】下列曲線中，能表示是的函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【變式32】（2425八年級上·安徽池州·期末）下列圖象中，能表示函數(shù)圖象的是（

）A．B．C．D．【變式33】（2324八年級上·安徽安慶·期末）甲、乙兩人同時從A地到B地，甲先步行到中點改騎自行車，乙先騎自行車到達中點后改為步行．已知甲、乙兩人騎車的速度和步行的速度分別相同，則甲、乙兩人所行的路與所用時間的關系圖正確的是（實線表示甲，虛線表示乙）（）A． B．C． D．…售價（元）…下列用表示的關系式中，正確的是（

）【變式35】某文具店老板購進一批熒光筆，銷量（支）與銷售額（元）的關系如下表所示：銷量支…銷售額元…則銷售額與銷量的函數(shù)關系式為（

）題型04從實際問題中獲取信息【例41】（從表格中獲取信息）（2425八年級上·安徽淮北·期中）聲音在空氣中傳播的速度和氣溫之間有如下關系：05101520331334337340343(1)上表反映了____________與____________之間的關系，其中____________是自變量；(3)從表中數(shù)據(jù)的變化，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？寫出與之間的函數(shù)表達式．【例42】（從圖象中獲取信息）（2425八年級上·安徽淮北·階段練習）為響應國家號召“低碳生活，綠色出行”李老師騎單車上班，當他騎了一段時間，想起要去家訪生病的小明，于是又折回到剛經(jīng)過的小明家，到小明家家訪完后繼續(xù)去學校，以下是他本次所用的時間與離家距離的關系示意圖，根據(jù)圖中提供的信息回答下列問題：(1)圖中自變量是__________，因變量是__________；(2)李老師家到小明家的路程是__________米．李老師在小明家家訪用了__________分鐘；(3)請計算李老師家訪完后到學校的騎車速度．01234…181260…根據(jù)以上表格，解答下列問題：(1)自變量是______，因變量是______；(2)求氣溫與海拔高度之間的函數(shù)表達式．【變式42】（2425八年級上·安徽滁州·階段練習）科學家實驗發(fā)現(xiàn)，聲音在不同氣溫下傳播的速度不同，聲音在空氣中的傳播速度隨氣溫的變化而有規(guī)律的變化．某科學社團通過查閱資料發(fā)現(xiàn)，聲音在空氣中傳播的速度和氣溫的變化存在如下的關系：012345(1)在這個變化過程中，______是自變量；（填漢字）(3)某日的氣溫為，小樂看到煙花燃放后才聽到聲響，那么小樂與燃放煙花所在地大約相距多遠？【變式43】（2324八年級上·安徽安慶·期末）張師傅駕車運送貨物到某地出售，汽車出發(fā)前油箱有油升，行駛?cè)舾尚r后，途中在加油站加油若干升，油箱中剩余油量（升）與行駛時間（小時）之間的關系如圖所示．請根據(jù)圖象回答下列問題：(1)汽車行駛小時后加油，中途加油升；(2)已知加油前、后汽車都以千米小時勻速行駛，如果加油站距目的地千米，要到達目的地，問油箱中的油是否夠用?請說明理由．【變式44】（2324八年級上·安徽滁州·期中）隨著“雙減”政策落地，周末家庭野外郊游將成為我們的生活常態(tài)．誠誠騎自行車從家里出發(fā)30分鐘后到達甲地，游玩一段時間后按原速前往乙地．誠誠離家1小時30分鐘后，媽媽駕車沿相同路線前往乙地，下圖是他們離家的路程與誠誠離家時間的函數(shù)圖象，已知媽媽駕車的速度是誠誠騎車速度的3倍，根據(jù)圖中的信息：

(1)誠誠從家出發(fā)多少小時后被媽媽追上？此時離家多遠？(2)若媽媽比誠誠還早10分鐘到達乙地，從家到乙地的路程是多少？題型05函數(shù)在實際生活中的應用(1)分別求出，與x之間的關系式；(2)王華買了25本練習本，選擇哪家商店更優(yōu)惠？請說明理由．【例52】小英在家里整理內(nèi)務時發(fā)現(xiàn)：把一些相同規(guī)格的塑料凳子整齊地疊放在水平地面上，這摞塑料凳子的高度隨著凳子的數(shù)量變化有一定的關系．于是小英對凳子的高度進行測量，具體變化的情況如下表所示：凳子的數(shù)量個高度(1)上述兩個變量之間的關系中，哪個是自變量？哪個是因變量？(2)用（）表示這摞凳子的高度，（個）表示這摞凳子的數(shù)量，請寫出與之間的函數(shù)關系式；【變式51】小可的媽媽打算購買一些草莓回家做水果拼盤，經(jīng)了解，生態(tài)園區(qū)中的“老農(nóng)果園”的草莓標價為50元／千克，若一次性購買不超過2千克，則按原價付款，若購買超過2千克，則超過部分按標價的八折付款．(2)去購買草莓當天，發(fā)現(xiàn)旁邊的“盛田果園”也在進行草莓優(yōu)惠活動，同品種草莓標價也為50元／千克，但全部按標價的九折付款，小可媽媽計劃用200元購買此種草莓（全部用完），請問她在哪個果園購買更合算？(1)寫出每種優(yōu)惠方案實際付款金額y（元）與x（打）之間的函數(shù)關系式；(2)若只能按一種方案購買，比較購買100打的羽毛球，按哪種方案付款更合算；(3)若專賣店允許以任意選擇一種優(yōu)惠方案購買，也可以用兩種方案混合購買，請就購買球拍20支和羽毛球50打設計一種最省錢的購買方法．【變式53】（2425八年級上·安徽合肥·期中）劉阿姨承包了一些土地種植西紅柿、茄子，西紅柿每畝地成本2000元，茄子每畝地成本2500元（凈利潤收入成本）．“陽光農(nóng)場”社團的兩位同學李華和張萌幫助劉阿姨搜集到了如下信息：(1)種植每畝西紅柿的收入為_______元，每畝茄子的收入為_______元；(2)若劉阿姨兩種蔬菜均有種植，共種植了6畝，其中西紅柿種植了畝，要使凈利潤不低于15000元，則至少種植多少畝西紅柿？(3)在（2）的條件下，設總成本為元，請求出與之間的表達式，并計算出最小成本．（西紅柿和茄子的種植畝數(shù)均為正整數(shù)）【變式54】甲、乙兩家商場平時以同樣價格出售相同的商品，新冠疫情期間，為了減少庫存，甲、乙兩家商場打折促銷，甲商場所有商品按折出售，乙商場對一次購物中價格超過元后的部分打折．(1)以（單位：元）表示商品原價，（單位：元）表示實際購物金額，分別就兩家商場的讓利方式寫出關于的函數(shù)關系式；(2)當商品的原價為250時，在哪家商場通過打折后更劃算．(3)當商品的原價為多少元時，兩家商場打折后的價格相同．題型06動點構(gòu)造的函數(shù)綜合問題(1)寫出點和點的坐標；(2)在整個運動過程中，用含的式子表示線段的長，并寫出的取值范圍；

圖甲圖乙(2)求：圖乙中的的值；(3)求：圖乙中的的值．

(1)在這個變化過程中，自變量是什么？因變量是什么？

(1)求線段的長及a的值；【變式64】（2122八年級上·安徽合肥·期中）如圖①，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，點P從A出發(fā)，沿A→B→C→D路線運動，到D停止；點Q從D出發(fā)，沿D→C→B→A路線運動，到A停止．若點P、點Q同時出發(fā)，點P的速度為每秒lcm，點Q的速度為每秒2cm，a秒時點P、點Q同時改變速度，點P的速度變?yōu)槊棵隻cm，點Q的速度變?yōu)槊棵雔cm，圖②是點P出發(fā)x秒后△APD的面積S（cm）與x（秒）的函數(shù)關系圖象．（1）根據(jù)圖象得a=；b=；（2）設點P已行的路程為y1（cm），點Q還剩的路程為y2（cm），請分別求出改變速度后，y1、y2和運動時間x（秒）的關系式，并寫出自變量取值范圍．一、單選題A．點P和點Q B．點Q和點N C．點P和點N D．點M和點NA．，， B．3，， C．，， D．，，5．（2425八年級上·安徽合肥·期中）下列曲線中，表示y是x的函數(shù)的是（）A． B．C． D．A．第一檔單價是元/立方米B．第二檔單價是元/立方米

8．（2324八年級下·安徽蕪湖·期末）某湖邊公園有一條筆直的健步道，甲、乙兩人從起點同方向勻速步行，先到終點的人在終點休息．已知甲先出發(fā)6分鐘，在整個過程中，甲、乙兩人之間的距離y（米）與甲出發(fā)的時間t（分鐘）之間的關系如圖所示，下列結(jié)論：①甲步行的速度為75米/分鐘；②起點到終點的距離為5940米；③甲走完全程用了78分鐘；④乙步行的速度為90米/分鐘；⑤圖中m的值為36．則以上結(jié)論一定正確的是（

）A．①②③④ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤二、