學(xué)習(xí)目標(biāo)1.進(jìn)一步掌握三角恒等變換的方法.2.會運(yùn)用正弦、余弦、正切的兩角和與差公式與二倍角公式對三角函數(shù)式進(jìn)行化簡、求值和證明．1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式cos(α－β)＝________________________.cos(α＋β)＝________________________.sin(α＋β)＝________________________.sin(α－β)＝________________________.tan(α＋β)＝________________________.tan(α－β)＝________________________.2．二倍角公式sin2α＝________________.cos2α＝________________＝________________＝________________.tan2α＝________________.3．升冪公式1＋cos2α＝________________.1－cos2α＝________________.4．降冪公式sinxcosx＝______________，cos2x＝______________，sin2x＝________________.5．和差角正切公式變形tanα＋tanβ＝________________，tanα－tanβ＝________________.6．輔助角公式y(tǒng)＝asinωx＋bcosωx＝________________.類型一靈活變角的思想在三角恒等變換中的應(yīng)用例1已知α，β為銳角，cosα＝eq\f(4,5)，tan(α－β)＝－eq\f(1,3)，求cosβ的值．反思與感悟給值求值的重要思想是探求已知式與待求式之間的聯(lián)系，常常在進(jìn)行角的變換時，要注意各角之間的和、差、倍、半的關(guān)系，如α＝2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)))，α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝eq\f(1,2)[(α＋β)＋(α－β)]，β＝eq\f(1,2)[(α＋β)－(α－β)]等．跟蹤訓(xùn)練1如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩個銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點，已知A，B的橫坐標(biāo)分別為eq\f(3\r(10),10)，eq\f(2\r(5),5).(1)求tan(α－β)的值；(2)求α＋β的值．類型二整體換元思想在三角恒等變換中的應(yīng)用例2求函數(shù)f(x)＝sinx＋cosx＋sinx·cosx，x∈R的最值及取到最值時x的值．反思與感悟在三角恒等變換中，有時可以把一個代數(shù)式整體視為一個“元”來參與計算和推理，這個“元”可以明確地設(shè)出來．跟蹤訓(xùn)練2求函數(shù)y＝sinx＋sin2x－cosx(x∈R)的值域．類型三轉(zhuǎn)化與化歸思想在三角恒等變換中的應(yīng)用例3已知函數(shù)f(x)＝2eq\r(3)sin(x－3π)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))＋2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5π,2)))－1，x∈R.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝eq\f(6,5)，x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，求cos2x0的值．反思與感悟(1)為了研究函數(shù)的性質(zhì)，往往要充分利用三角變換公式轉(zhuǎn)化為正弦型(余弦型)函數(shù)，這是解決問題的前提．(2)本題充分運(yùn)用兩角和(差)、二倍角公式、輔助角轉(zhuǎn)換公式消除差異，減少角的種類和函數(shù)式的項數(shù)，將三角函數(shù)表達(dá)式變形化簡，然后根據(jù)化簡后的三角函數(shù)，討論其圖象和性質(zhì)．跟蹤訓(xùn)練3已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))＝eq\f(3,5)，eq\f(17π,12)<x<eq\f(7π,4)，求eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)的值．類型四構(gòu)建方程(組)的思想在三角恒等變換中的應(yīng)用例4已知sinx＋2cosy＝2，求2sinx＋cosy的取值范圍．反思與感悟在三角恒等變換中，有時可以把某個三角函數(shù)式看作未知數(shù)，聯(lián)系已知條件或三角公式，設(shè)法建立關(guān)于未知數(shù)的方程組，從而使問題得以解決．跟蹤訓(xùn)練4已知關(guān)于θ的方程eq\r(3)cosθ＋sinθ＋a＝0在區(qū)間(0,2π)上有兩個不相等的實數(shù)解α，β，求cos(α＋β)的值．1．已知sineq\f(θ,2)＋coseq\f(θ,2)＝eq\f(2\r(3),3)，那么sinθ＝________，cos2θ＝________.2．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝eq\f(5,9)，則sin2θ＝________.3．已知sinα＋cosβ＝eq\f(1,3)，sinβ－cosα＝eq\f(1,2)，則sin(α－β)＝________.4．設(shè)α為銳角，若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(4,5)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,12)))的值為________．5．已知函數(shù)f(x)＝cosx·sin(x＋eq\f(π,3))－eq\r(3)cos2x＋eq\f(\r(3),4)，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在閉區(qū)間[－eq\f(π,4)，eq\f(π,4)]上的最大值和最小值．本章所學(xué)的內(nèi)容是三角恒等變換重要的工具，在三角函數(shù)式求值、化簡、證明，進(jìn)而研究三角函數(shù)的性質(zhì)等方面都是必要的基礎(chǔ)，是解答整個三角函數(shù)類試題的必要基本功，要求準(zhǔn)確，快速化到最簡，再進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)．

答案精析知識梳理1．cosαcosβ＋sinαsinβcosαcosβ－sinαsinβsinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβeq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)2．2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2αeq\f(2tanα,1－tan2α)3．2cos2α2sin2α4.eq\f(sin2x,2)eq\f(1＋cos2x,2)eq\f(1－cos2x,2)5．tan(α＋β)(1－tanαtanβ)tan(α－β)(1＋tanαtanβ)6.eq\r(a2＋b2)sin(ωx＋θ)題型探究例1解∵α是銳角，cosα＝eq\f(4,5)，∴sinα＝eq\f(3,5)，tanα＝eq\f(3,4).∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝eq\f(tanα－tanα－β,1＋tanαtanα－β)＝eq\f(13,9).∵β是銳角，∴cosβ＝eq\f(9\r(10),50).跟蹤訓(xùn)練1解(1)由題可知，cosα＝eq\f(3\r(10),10)，cosβ＝eq\f(2\r(5),5).由于α，β為銳角，則sinα＝eq\f(\r(10),10)，sinβ＝eq\f(\r(5),5)，故tanα＝eq\f(1,3)，tanβ＝eq\f(1,2)，則tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(\f(1,3)－\f(1,2),1＋\f(1,6))＝－eq\f(1,7).(2)因為tan(α＋β)＝eq\f(\f(1,3)＋\f(1,2),1－\f(1,6))＝1，sinα＝eq\f(\r(10),10)<eq\f(\r(2),2)，sinβ＝eq\f(\r(5),5)<eq\f(\r(2),2)，即α＋β<eq\f(π,2)，故α＋β＝eq\f(π,4).例2解設(shè)sinx＋cosx＝t，則t＝sinx＋cosx＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sinx＋\f(\r(2),2)cosx))＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，∴t∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]，∴sinx·cosx＝eq\f(sinx＋cosx2－1,2)＝eq\f(t2－1,2).∵f(x)＝sinx＋cosx＋sinx·cosx，∴g(t)＝t＋eq\f(t2－1,2)＝eq\f(1,2)(t＋1)2－1，t∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]．當(dāng)t＝－1，即sinx＋cosx＝－1時，f(x)min＝－1，此時，由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝－eq\f(\r(2),2)，解得x＝2kπ－π或x＝2kπ－eq\f(π,2)，k∈Z.當(dāng)t＝eq\r(2)，即sinx＋cosx＝eq\r(2)時，f(x)max＝eq\r(2)＋eq\f(1,2)，此時，由eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝eq\r(2)，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝1，解得x＝2kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z.綜上，當(dāng)x＝2kπ－π或x＝2kπ－eq\f(π,2)，k∈Z時，f(x)取得最小值，f(x)min＝－1；當(dāng)x＝2kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z時，f(x)取得最大值，f(x)max＝eq\r(2)＋eq\f(1,2).跟蹤訓(xùn)練2解令sinx－cosx＝t，則由t＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))知，t∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]．又sin2x＝1－(sinx－cosx)2＝1－t2，∴y＝(sinx－cosx)＋sin2x＝t＋1－t2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))2＋eq\f(5,4).當(dāng)t＝eq\f(1,2)時，ymax＝eq\f(5,4)；當(dāng)t＝－eq\r(2)時，ymin＝－eq\r(2)－1.∴函數(shù)的值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\r(2)－1，\f(5,4))).例3解(1)因為f(x)＝eq\r(3)(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，所以f(x)的最小正周期為π.又因為x∈[0，eq\f(π,2)]，所以2x＋eq\f(π,6)∈[eq\f(π,6)，eq\f(7π,6)]，所以f(x)的最大值為2，最小值為－1.(2)由(1)可知，f(x0)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x0＋\f(π,6))).又因為f(x0)＝eq\f(6,5)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x0＋\f(π,6)))＝eq\f(3,5).由x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，得2x0＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，\f(7π,6)))，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x0＋\f(π,6)))＝－eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x0＋\f(π,6))))＝－eq\f(4,5)，cos2x0＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x0＋\f(π,6)))－\f(π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x0＋\f(π,6)))coseq\f(π,6)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x0＋\f(π,6)))sineq\f(π,6)＝eq\f(3－4\r(3),10).跟蹤訓(xùn)練3解eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)＝eq\f(2sinxcosx＋2sin2x,1－\f(sinx,cosx))＝eq\f(2sinxcosxcosx＋sinx,cosx－sinx)＝eq\f(sin2x1＋tanx,1－tanx)＝sin2x·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)).∵eq\f(17π,12)<x<eq\f(7π,4)，∴eq\f(5π,3)<x＋eq\f(π,4)<2π，又∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))＝eq\f(3,5)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))＝－eq\f(4,5).∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))＝－eq\f(4,3).∴cosx＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))－\f(π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))coseq\f(π,4)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)－\f(4,5)))＝－eq\f(\r(2),10).∴sinx＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))－\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))coseq\f(π,4)－sineq\f(π,4)·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))＝－eq\f(7\r(2),10)，sin2x＝eq\f(7,25).∴eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)＝－eq\f(28,75).例4解設(shè)2sinx＋cosy＝a.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx＋2cosy＝2，,2sinx＋cosy＝a，))解得eq\b\lc