第2講平面向量的數(shù)量積一、平面向量的數(shù)量積①兩個向量數(shù)量積的定義已知兩個非零向量與，它們的夾角為，我們把數(shù)量||||叫做向量與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作，即=||||.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0=0.②平面向量數(shù)量積的幾何意義：（1）向量的投影數(shù)量：向量a在b方向上的投影數(shù)量為|a|cosθ，當θ為銳角時，它是正數(shù)；當（3）a?b的幾何意義：數(shù)量積a?b等于a的長度|a|與二、向量數(shù)量積的性質(zhì)和運算律（1）向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)，是非零向量，它們的夾角是，是與方向相同的單位向量，則①==.③當與同向時，=；當與反向時，=.④|a|，當且僅當向量，共線，即∥時，等號成立.（2）向量數(shù)量積的運算律由向量數(shù)量積的定義，可以發(fā)現(xiàn)下列運算律成立：對于向量，，和實數(shù)，有①交換律：=；②數(shù)乘結(jié)合律：()=()=()；③分配律：(+)=+.三、向量數(shù)量積的常用結(jié)論號成立.以上結(jié)論可作為公式使用.四、向量數(shù)量積的兩大應(yīng)用（1）夾角與垂直（2）向量的模的求解方法：②幾何法：利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解.【例題1】1、設(shè)向量a與b夾角的余弦值為13，且a=4，b=1，則A．13 B．?13 C．3【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律，結(jié)合數(shù)列的定義式，可得答案.【詳解】2a故選：B.2、已知邊長為1的等邊△ABC，BD=2DC，則A． B．3 C．152 D．6【答案】A【分析】根據(jù)向量運算求得正確答案.【詳解】AB==1故選：A3、如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，若動點P在以AB為直徑的半圓上（正方形ABCD內(nèi)部，含邊界），則PC?PD的取值范圍為（A．0,2 B．0,4 C．0,3 D．0,1【解答過程】取CD中點E，連接PE，求出PE的取值范圍，再根據(jù)PC?【解答過程】取CD中點E，連接PE，因為ABCD是邊長為2的正方形，動點P在以AB為直徑的半圓上，所以當P在A點或B點時，PE取得最大值5，當P在弧AB中點時，PE取得最小值1，PE的取值范圍為1,5又因為PC?PD=PE+所以PC=PE因為PE的取值范圍為1,5所以PE2的取值范圍為1,5，PC?PD故選：B.【練習】1、在△ABC中，G為重心，AC=23，BG【答案】6【分析】設(shè)AC中點為D，根據(jù)向量線性表示可得BA=BD+【詳解】設(shè)AC中點為D，為△ABC的重心且BG=2∴BD=3，因為BA=BD+所以BA?故答案為：6.2、向量a，b滿足a=2，b=4，向量a與b的夾角為2π3，則aA．0 B．8 C．4+43 D．【解答過程】由條件根據(jù)數(shù)量積的定義求a?b，再結(jié)合數(shù)量積的運算律求【解答過程】因為a=2，b=4，向量a與b的夾角為所以a?所以a?故選：A.3、在△ABC中，CA=2，AB=3，∠BAC=2π3（1）求AD?（2）若點P滿足CP=λCA，求PB【解答過程】（1）將AD?BC化為AB和AC表示，利用AB和（2）用AB、AC表示PB?PC，求出PB?【解答過程】（1）因為D為BC的三等分點（靠近C點），所以CD=所以AD=AC+所以AD?BC=(=?13×9+（2）因為CP=λCA因為PB=PC+所以PB?PC===?3λ+4λ(λ所以當λ=78時，PB【例題2】已知向量a，b滿足a=b=2，且a+b=10A．14 B．14b C．1【解答過程】根據(jù)已知條件利用模的平方求出數(shù)量積，再結(jié)合投影向量的定義即可求解.【解答過程】由已知a=b=2則a2解得a?故a在b上的投影向量是a?bb故選：B.【練習】1、已知|a|=3,|b|=5，設(shè)a,b的夾角為120°，則A．56a B．536a 【答案】C【分析】列出投影向量公式，即可計算求解.【詳解】b在a上的投影向量a故選：C2、已知單位向量a,b滿足a?b=2，則aA．b B．?b C．2a 【答案】B【分析】先由條件計算得a?b的值，再利用a在b方向上的投影向量為【詳解】因為a,b是單位向量，所以a=1,由a?b=2得a?b2=4，即a設(shè)a與b的夾角為θ，則a在b方向上的投影向量為acos故選：B.【例題3】1、已知向量a=3,b=2,a與b的夾角為π3A．6 B．36 C．3 D．【答案】A【分析】由數(shù)量積公式結(jié)合2a【詳解】解：因為向量a=3,b=2,a與所以a所以2故選：A2、向量a，b滿足a=3，b=1，a?2b=1，則向量A．π6 B．π3 C．2π3【解答過程】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義和數(shù)量積的運算律求解即可.【解答過程】由a?2b=1兩邊平方得a所以cosa,b=3故選：A.【練習】1、已知向量a，b的夾角為45°，且a=1，2a?【答案】5【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平面向量的數(shù)量積運算求得b的模長，再求結(jié)果即可.【詳解】根據(jù)題意，2a?b即4?22b+b2故a+=a2+22、已知e1，e2是夾角為60°的兩個單位向量，設(shè)向量a=2e1+e2，A．13π B．16π C．【解答過程】計算出a?b=?72，a【解答過程】a=?6+1其中a2=2b2=?3所以cosa所以a與b夾角為23故選：C.【例題4】已知平面向量a,b,（1）求與的夾角θ的值；（2）當b?λa【解析】（1）由b?a?又a=2，所以cosθ=a?（2）因為a?所以b?所以b?λa的最小值為，且取到最小值時【練習】（1）求a+（2）在上的投影向量；（3）求向量與a+ba+b2（2）在上的投影向量為a?b|（2）求|a（3）若向量(2a?λb)所以存在實數(shù)m使得2a所以mt=2?m=3，解得（3）向量(2a?λ可得(2a?λb)?(解得λ=±6，當則實數(shù)λ的取值范圍為(1,6【例題5】已知向量，滿足a=3，b=6，a?（1）求3a（2）若向量2b+ka與【解析】（1）因為向量，滿足a=3，b=6，a?所以3=9×9?6×9+36（2）因為向量2b+k所以(2b所以2b所以2×36?4×9+9k?18k【練習】1、已知向量a=1,2，b=2，且與的夾角為（1）求a?2（2）若a+kb【解析】（1）由a=(1,2)，得a=3，又b=2，與的夾角為所以a?2（2）由a+kb⊥b于是?3?3+4k+3k2、設(shè)，是平面內(nèi)兩個不共線的向量．（1）若AB=a+b，BC=2a+8b，（2）試確定實數(shù)k，使ka+b（3）若a=1,2，b=?2,3，【解析】（1）因為BC=2a+8所以BD=又AB=所以BD=5所以，BD共線，又因為它們有公共點B，所以A，B，D三點共線．（2）因為ka+b所以存在實數(shù)λ，使ka即k?因為，是平面內(nèi)兩個不共線的向量，所以k?（3）由題意可得ma+b因為ma則ma解得m=9課堂檢測1、已知在△ABC中，AB=2,AC=1,D為BCA． B．?32 C．?2 D．【答案】B【分析】將AD,BC轉(zhuǎn)化為【詳解】由題意得AD=12則AD?故選：B2、已知單位向量a，b的夾角為45°，ka–b與a垂直，則k=__________.【答案】2【解析】由題意可得：a→?b即：k×a→3、設(shè)向量a，b的夾角的余弦值為?13，a=2，b=3，則A．23 B．23 C．27 D．27【解答過程】由數(shù)量積的定義以及運算律直接計算即可求解.【解答過程】設(shè)a與b的夾角為θ，則cosθ又a=2，b=3，所以所以2a故選：B.A．?3135B．?1935【答案】D【思路導引】計算出a?a+b、【解析】∵a=5，b=6，aa+b=5、已知向量a，b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則【答案】2【解析】a=A．2π3 B．π3 C．5【答案】C【分析】根據(jù)向量垂直關(guān)系得a?b=a2所以(a?b所以a?a所以cos因為a?所以a?故選：C7、若非零向量a，b滿足a?(a+b)=0A．π6 B．π3 C．2π【答案】C【分析】由a?(a+b)=0【詳解】因為a?(a+b)=0又因為2|a|=|b|，所以因為0≤a,b故選：C.8、已知a=2，b=1，且2a+b【答案】π3##【分析】由向量數(shù)量積運算律和定義可求得cos<【詳解】∵2∴2a?b又<a,b故答案為：π39、已知向量a=3,b=5，設(shè)a與b的夾角為60°，則b在A．?536a B．536【解答過程】直接利用投影向量的計算公式進行計算即可.【解答過程】由題意知，b在a上的投影向量為：b→故選：C.10、若平面向量a,b,c兩兩的夾角相等，|aA．3 B．6 C．3或6 D．3或6【解答過程】依題意可得，a→,b→,【解答過程】因為平面向量a→所以平面向量a→,b→,又因為a當夾角為0°時，即向量a→,當夾角為120°時，即aa→c→則a→綜上所述，a→+b→+故選：C.課后作業(yè)1、邊長為2的正方形ABCD，E為CD的中點，則AC?【答案】2【分析】以AB,AD為基底，分別表示【詳解】∵AC=∴故答案為：22、在平行四邊形ABCD中，過點A作BD的垂線，垂足為E，且AE=2，則AE?【答案】?8【解析】如圖所示，在平行四邊形ABCD中，連接AC，交BD于點O，則AE?故答案為：?8.3、已知向量a，b滿足a=1，b=3，且a與b夾角的余弦值為13，則aA．?13 B．?28 C．23 D．13【解答過程】根據(jù)向量的數(shù)量積運算律運算即可.【解答過程】由題得a?所以a+2故選：A.4、已知a=3，b=4，且a與b的夾角θ=2π3A．13 B．13 C．37 D．37【解答過程】根據(jù)數(shù)量積的定義求出a?b，再由【解答過程】因為a=3，b=4，且a與b的夾角所以a?所以a?故選：D.5、已知向量滿足a=2，b=1，a⊥a+λb，A．22 B．4 C．8 D．【答案】D【解析】由a⊥a+故選：D6、已知平面向量a，b滿足a=1，b=2，且2a?bA．12 B．14 C．16【解答過程】對2a?b【解答過程】因為2a因為a=1，b所以a?b=故選：D.7、已知向量a,b滿足a=2,b=1,a?A．a(chǎn)8 B．a(chǎn)4 C．b4【答案】D【解析】因為向量a,b滿足所以a?b2所以在方向上的投影向量是a?bb故選：D.8、已知平面向量的夾角為π3，且b=2，a+b?a=2，則A．π6 B．π3 C．π2【答案】D解得a=1或a=?2（舍去），則a?又a?b,故選：D.9、（多選題）已知向量a,b