第二章軸對稱

2.3

簡單的軸對稱圖形（第2課時）學(xué)習(xí)目標(biāo)12通過操作、驗證等方式，探究并掌握角平分線的性質(zhì)定理。（難點）能運用角的平分線性質(zhì)解決簡單的幾何問題。（重點）問題1：在紙上畫一個角，你能得到這個角的平分線嗎？

用量角器度量，也可用折紙的方法。

問題2：如果把前面的紙片換成木板、鋼板等，還能用對折的方法得到木板、鋼板的角平分線嗎？新課導(dǎo)入不能。問題3：如圖，是一個角平分儀，其中AB=AD,BC=DC.將點A放在角的頂點,AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線，你能說明它的道理嗎?ABC(E)D其依據(jù)是SSS，兩全等三角形的對應(yīng)角相等。AOBOABBBBB角是軸對稱圖形嗎？如果是，你能找出它的對稱軸嗎？做一做在一張紙上任意畫一個角∠AOB，沿角的兩邊將角剪下，然后將這個角對折，使角的兩邊重合。知識講解1.

角的軸對稱性

新的折痕與OB的交點為E。

AOBOA(2)過點C折OA邊的垂線，得到新的折痕CD，(3)將紙打開，BBBBBCABABABABCDABABABABBACBBBBCE

其中點D是折痕與OA的交點，即垂足；（1）在折痕(即角平分線)上任意取一點C;

在上述的操作過程，你發(fā)現(xiàn)了哪些線段相等？說說你的理由。AOBOABBBBBCABABABABCDABABABABBACBABBDCE=CDBCE在折痕上另取一點，再試一試。結(jié)論：

角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線就是它的對稱軸。操作測量：取點P的三個不同的位置，分別過點P作PD⊥OA，PE⊥OB,點D、E為垂足，測量PD、PE的長。將三次數(shù)據(jù)填入下表：2.觀察測量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系，寫出結(jié)：__________。

PD

PE

第一次第二次第三次

COBAPD=PEpDE實驗：OC是∠AOB的平分線，點P是射線OC上的

任意一點。猜想：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。2.角平分線的性質(zhì)驗證猜想已知：如圖，∠AOC=∠BOC,點P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E。試說明：PD=PE。PAOBCDE解：因為

PD⊥OA,PE⊥OB，所以

∠PDO=∠PEO=90°。在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，所以△PDO

≌△PEO(AAS）。所以PD=PE。角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。

性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。應(yīng)用所具備的條件：（1）角的平分線；（2）點在該平分線上；（3）垂直。定理的作用：

證明線段相等。應(yīng)用格式：因為OP

是∠AOB的平分線，所以PD=PE。推理的理由有三個，必須寫完全，不能少了任何一個。知識要點PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC（1）如下左圖，因為AD平分∠BAC（已知），

所以

=

，()在角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等BDCD×BADC(2)

如上右圖，因為DC⊥AC，DB⊥AB

（已知）.

所以

=

,

()在角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等BDCD×BADC練一練ABMNCO已知:∠AOB。求作：∠AOB的平分線。仔細(xì)觀察步驟作法：（1）在OＡ和OB上分別截取OＭ、OＮ，使OＭ＝OＮ。（2）分別以點M和點N為圓心，大于MN的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)相交于點C。（3）作射線OC。射線OC就是∠AOB的平分線。3.尺規(guī)作角平分線已知：平角∠AOB。

求作：平角∠AOB的角平分線。結(jié)論：作平角的平分線的方法就是過直線上一點作這條直線的垂線的方法。ABOC例1

已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC。垂足分別為E,F。試說明：EB=FC。ABCDEF解：因為AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB,DF⊥AC，所以

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°。在Rt△BDE

和Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，所以

Rt△BDE

≌Rt△CDF(HL)。所以EB=FC。例題講解例2如圖，AM是∠BAC的平分線，點P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是D、E，PD=4cm，則PE=______cm。BACPMDE4溫馨提示：存在兩條垂線段———直接應(yīng)用。ABCP變式：如

圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于點P，若PC＝4,

AB=14。（1）則點P到AB的距離為_______。D4溫馨提示：存在一條垂線段———構(gòu)造應(yīng)用。ABCP變式：如圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于點P，若PC＝4，AB=14。（2）求△APB的面積。D（3）求?PDB的周長?！B·PD=28。解：由垂直平分線的性質(zhì)，可知，PD=PC=4，=解：2.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,則點D到AB的距離是

。ABCD3E1.如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F(xiàn)，DE=DF，∠EDB=60°，則∠EBF=

度，BE=

。60BFEBDFACG隨堂訓(xùn)練3.用尺規(guī)作圖作一個已知角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC=∠BOC的依據(jù)是（）A.SSSB.ASAC.AASD.角平分線上的點到角兩邊的距離相等ABMNCOA4.如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC的長是()A．6B．5C．4D．3DBCEAD解析：過點D作DF⊥AC于F，

因為AD是△ABC的角平分線，

DE⊥AB，

所以DF＝DE＝2，解得AC＝3。F方法總結(jié)：利用角平分線的性質(zhì)作輔助線構(gòu)造三角形的高，再利用三角形面積公式求出線段的長度是常用的方法。5.如圖，已知AD∥BC，P是∠BAD與∠ABC的平分線的交點，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD與BC之間的距離。解：過點P作MN⊥AD于點M，交BC于點N。因為

AD∥BC，所以

MN⊥BC，MN的長即為AD與BC之間的距離。因為

AP平分∠BAD,PM⊥AD,PE⊥AB，所以PM=PE。同理，PN=PE。所以PM=PN=PE=3。所以MN=6.即AD與BC之間的距離為6。6.如圖所示，D是∠ACG的平分線上的一點。DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分別為E，F(xiàn)。試說明：CE＝CF。解：因為