津南區(qū)期末高二數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x+1)的定義域是（）

A.(-1,+∞)B.(-∞,-1)C.(-∞,+∞)D.(-1,-∞)

2.若sinα=1/2，且α是第二象限角，則cosα的值是（）

A.√3/2B.-√3/2C.1/2D.-1/2

3.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的概率是（）

A.1/2B.1/3C.1/4D.1

4.已知點(diǎn)A(1,2)和B(3,0)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.(2,1)B.(1,2)C.(4,2)D.(2,4)

5.函數(shù)f(x)=x3-3x的導(dǎo)數(shù)f'(x)是（）

A.3x2-3B.3x2+3C.x2-3D.x2+3

6.在等差數(shù)列{a?}中，若a?=5，d=2，則a?的值是（）

A.9B.11C.13D.15

7.已知圓的方程為(x-1)2+(y+2)2=4，則該圓的圓心坐標(biāo)是（）

A.(1,-2)B.(-1,2)C.(2,-1)D.(-2,1)

8.若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像開口向上，則a的取值范圍是（）

A.a>0B.a<0C.a≥0D.a≤0

9.已知三角形ABC的三邊長(zhǎng)分別為3,4,5，則該三角形的面積是（）

A.6B.8C.10D.12

10.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離等于5，則點(diǎn)P的軌跡方程是（）

A.x2+y2=5B.x2-y2=5C.x2+y2=25D.x2-y2=25

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.f(x)=x3B.f(x)=sinxC.f(x)=x2D.f(x)=tanx

2.已知等比數(shù)列{b?}中，b?=2，b?=16，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式b?可能是（）

A.b?=23??1B.b?=4?C.b?=2·4??1D.b?=2?·4

3.下列命題中，真命題的有（）

A.若a>b，則a2>b2B.若sinα=sinβ，則α=βC.任何三角形都有外接圓D.相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等

4.關(guān)于直線l：ax+by+c=0，下列說法正確的有（）

A.當(dāng)a=0時(shí)，直線l平行于x軸B.當(dāng)b=0時(shí)，直線l平行于y軸C.直線l恒過點(diǎn)(0,0)D.若b≠0，則直線l的斜率為-a/b

5.下列曲線中，離心率e>1的有（）

A.橢圓B.拋物線C.雙曲線D.圓

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=√(x-1)，則其定義域用區(qū)間表示為_______。

2.計(jì)算：sin(30°)·cos(60°)+tan(45°)=_______。

3.在等差數(shù)列{a?}中，若a?=10，a??=19，則公差d=_______。

4.已知圓O的半徑為3，點(diǎn)P到圓心O的距離為5，則點(diǎn)P到圓上任意一點(diǎn)的距離的取值范圍是_______。

5.若函數(shù)f(x)=mx2+nx+1在x=1時(shí)取得極大值4，則m+n=_______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=(x-1)(x+2)，求f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)，并判斷在x=0處函數(shù)是取得極小值還是極大值。

2.計(jì)算：lim(x→2)(x3-8)/(x-2)。

3.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知a=3，b=4，C=60°，求cosA的值。

4.解方程：2^(x+1)-2^x=8。

5.已知點(diǎn)A(1,2)和B(3,0)，求以AB為直徑的圓的方程。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.A定義域要求對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，即x+1>0，解得x>-1。

2.Bsinα=1/2，α在第二象限，cosα為負(fù)，根據(jù)三角函數(shù)基本關(guān)系式sin2α+cos2α=1，cosα=-√(1-sin2α)=-√(1-(1/2)2)=-√3/2。

3.A硬幣出現(xiàn)正面和反面的概率相等，均為1/2。

4.A線段中點(diǎn)坐標(biāo)為((x?+x?)/2,(y?+y?)/2)，即((1+3)/2,(2+0)/2)=(2,1)。

5.Af'(x)=d/dx(x3)-d/dx(3x)=3x2-3。

6.C等差數(shù)列通項(xiàng)公式a?=a?+(n-1)d，a?=5+(5-1)×2=5+8=13。

7.A圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-h)2+(y-k)2=r2，圓心坐標(biāo)為(h,k)。本題中圓心為(1,-2)。

8.A函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像開口方向由二次項(xiàng)系數(shù)a決定，a>0時(shí)開口向上。

9.A根據(jù)勾股定理，32+42=52，所以△ABC是直角三角形，面積S=1/2×3×4=6。

10.C點(diǎn)P到原點(diǎn)距離為5，即√(x2+y2)=5，兩邊平方得x2+y2=25。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.ABD奇函數(shù)滿足f(-x)=-f(x)。f(x)=x3，f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)，是奇函數(shù)；f(x)=sinx，f(-x)=sin(-x)=-sinx=-f(x)，是奇函數(shù)；f(x)=x2，f(-x)=(-x)2=x2=f(x)，是偶函數(shù)；f(x)=tanx，f(-x)=tan(-x)=-tanx=-f(x)，是奇函數(shù)。所以A、B、D是奇函數(shù)。

2.ACb?=b?q2，16=2q2，q2=8，q=±√8=±2√2。b?=b?q??1=2(±2√2)??1。當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，q??1為負(fù)，b?為負(fù)；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，q??1為正，b?為正。A選項(xiàng)b?=23??1=2??1，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，b?為正；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，b?為正。符合條件。C選項(xiàng)b?=2·4??1=2·(22)??1=2·22??2=22??1，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，b?為正；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，b?為正。符合條件。B選項(xiàng)b?=4?=(22)?=22?，b?恒為正。不符合條件。D選項(xiàng)b?=2?·4=2?·22=2??2，b?恒為正。不符合條件。所以選AC。

3.CDA選項(xiàng)，反例：a=1,b=-2，則a>b但a2=1<4=b2，錯(cuò)誤。B選項(xiàng)，反例：sin30°=1/2，sin150°=1/2，但30°≠150°，錯(cuò)誤。C選項(xiàng)，任何三角形都可以作外接圓，圓心是三角形外心，正確。D選項(xiàng)，相似三角形的定義就是形狀相同，大小不同，對(duì)應(yīng)角相等，正確。

4.AB若b=0，則方程為ax+c=0，即x=-c/a（a≠0），這是一條平行于y軸的直線。若a=0，則方程為by+c=0（b≠0），即y=-c/b，這是一條平行于x軸的直線。C選項(xiàng)，當(dāng)c=0時(shí)，ax+by=0，直線過原點(diǎn)(0,0)；當(dāng)c≠0時(shí)，ax+by+c=0，直線不過原點(diǎn)。所以不恒過原點(diǎn)。D選項(xiàng)，當(dāng)b≠0時(shí)，方程可化為y=(-a/b)x-c/b，斜率為-a/b；當(dāng)b=0時(shí)，方程為ax+c=0，不表示直線。所以不總是成立。故選AB。

5.C雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)或y2/a2-x2/b2=1(a>0,b>0)，離心率e=c/a>1。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)，離心率e=c/a<1。拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0)或x2=2py(p>0)，離心率e=1。圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-h)2+(y-k)2=r2，離心率e=0。故只有雙曲線的離心率e一定大于1。

三、填空題答案及解析

1.(-1,+∞)對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=log?(x-1)的真數(shù)x-1必須大于0，即x-1>0，解得x>1。所以定義域?yàn)?1,+∞)。

2.1sin30°=1/2，cos60°=1/2，tan45°=1。原式=1/2×1/2+1=1/4+1=5/4。這里原參考答案給出的是1，可能是計(jì)算錯(cuò)誤或題目有誤。按標(biāo)準(zhǔn)值計(jì)算應(yīng)為5/4。

3.1由等差數(shù)列性質(zhì)，a??=a?+5d。19=10+5d，解得5d=9，d=9/5=1.8。這里原參考答案給出的是1，可能是簡(jiǎn)化或題目有誤。按計(jì)算結(jié)果應(yīng)為1.8。

4.[2,8]圓心到點(diǎn)P的距離為5，圓的半徑為3。點(diǎn)P到圓上任意一點(diǎn)A的距離|PA|的最小值為|OP|-r=5-3=2。最大值為|OP|+r=5+3=8。所以取值范圍是[2,8]。

5.-4f(x)=mx2+nx+1在x=1時(shí)取得極大值4。首先求導(dǎo)f'(x)=2mx+n。極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0，即f'(1)=2m+n=0，得n=-2m。極大值f(1)=m(1)2+n(1)+1=4，即m-n+1=4。代入n=-2m，得m-(-2m)+1=4，即3m+1=4，解得m=1。則n=-2m=-2。m+n=1+(-2)=-1。這里原參考答案給出的是-4，可能是計(jì)算錯(cuò)誤或題目有誤。按計(jì)算結(jié)果應(yīng)為-1。

四、計(jì)算題答案及解析

1.f'(x)=2x+1；在x=0處取得極小值。f'(x)=d/dx(x2+x+1)=2x+1。f'(0)=2(0)+1=1。因?yàn)閒'(0)=1>0，所以x=0處取得極小值。這里原參考答案給出的是極大值，可能是判斷錯(cuò)誤。

2.8lim(x→2)(x3-8)/(x-2)=lim(x→2)((x-2)(x2+x+4))/(x-2)=lim(x→2)(x2+x+4)=22+2+4=4+2+4=10。這里原參考答案給出的是8，可能是計(jì)算錯(cuò)誤。

3.cosA=-4/5在△ABC中，已知a=3，b=4，C=60°。根據(jù)余弦定理，c2=a2+b2-2abcosC=32+42-2×3×4×cos60°=9+16-24×1/2=25-12=13，所以c=√13。再根據(jù)余弦定理求cosA，a2=b2+c2-2bcosA，即32=42+(√13)2-2×4×√13×cosA，9=16+13-8√13cosA，9=29-8√13cosA，8√13cosA=20，cosA=20/(8√13)=5/(2√13)=5√13/26=-4/5。這里原參考答案給出的是-4/5，計(jì)算正確。

4.x=32^(x+1)-2^x=8=>2·2^x-2^x=8=>2^x=8=>2^x=23=>x=3。

5.(x-2)2+y2=5以AB為直徑的圓的圓心是A和B的中點(diǎn)D。D坐標(biāo)為((1+3)/2,(2+0)/2)=(2,1)。AB的長(zhǎng)度為√((3-1)2+(0-2)2)=√(22+(-2)2)=√(4+4)=√8=2√2。半徑r=AB/2=√8/2=√2。圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-h)2+(y-k)2=r2，代入圓心(2,1)和半徑√2，得(x-2)2+(y-1)2=(√2)2=2。這里原參考答案給出的是(x-2)2+y2=5，可能是半徑計(jì)算或方程書寫錯(cuò)誤。

各題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例

選擇題：考察學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)概念、公式、定理的掌握程度和辨析能力。例如，函數(shù)奇偶性判斷需要理解定義f(-x)=±f(x)；直線與圓的位置關(guān)系需要結(jié)合幾何圖形和代數(shù)計(jì)算（距離公式）；三角函數(shù)值需要記憶特殊角值或掌握誘導(dǎo)公式；數(shù)列通項(xiàng)公式需要運(yùn)用公式a?=a?+(n-1)d或等比數(shù)列性質(zhì)b?=b?q??1。示例：判斷函數(shù)f(x)=x3-2x是奇函數(shù)還是偶函數(shù)。解：f(-x)=(-x)3-2(-x)=-x3+2x=-f(x)，所以是奇函數(shù)。

多項(xiàng)選擇題：考察學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，需要選出所有正確的選項(xiàng)?？赡苌婕皩?duì)多個(gè)概念的辨析，或需要通過計(jì)算驗(yàn)證選項(xiàng)。例如，判斷函數(shù)y=|x|在x=0處是否可導(dǎo)。解：|x|在x=0處有左右導(dǎo)數(shù)不相等（左導(dǎo)數(shù)為-1，右導(dǎo)數(shù)為1），所以不可導(dǎo)。選項(xiàng)中“在x=0處不可導(dǎo)”為真，選之。再如，判斷命題“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”的真假。解：這是平行四邊形的定義，為真。選之。

填空題：考察學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算的熟練程度，要求準(zhǔn)確填寫結(jié)果。通常難度不大，但容易因計(jì)算失誤或概念混淆而失分。例如，求函數(shù)f(x)=√(x-1)的定義域。解：根號(hào)下表達(dá)式必須非負(fù)，x-1≥0，x≥1。答案：(1,+∞)。再如，計(jì)算sin15°+cos15°的值。解：sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=√2/2·√3/2-√2/2·1/2=(√6-√2)/4；cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=√2/2·√3/2+√2/2·1/2=(√6+√2)/4；原式=(√6-√2)/4+(√6+√2)/4=2√6/4=√6/2。

計(jì)算題：考察學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法解決具體問題的能力，需要寫出詳細(xì)的計(jì)算過程。通常涉及導(dǎo)數(shù)、極限、解三角形、數(shù)列、圓錐曲線方程等綜合性問題。例如，求函數(shù)f(x)=x3-3x在區(qū)間[-2,2]上的最大值和最小值。解：先求導(dǎo)f'(x)=3x2-3=3(x2-1)=3(x-1)(x+1)。令f'(x)=0，得x=-1,1。比較f(-2),f(-1),f(1),f(2)的值：f(-2)=-23-3(-2)=-8+6=-2；f(-1)=(-1)3-3(-1)=-1+3=2；f(1)=13-3(1)=1-3=-2；f(2)=23-3(2)=8-6=2。所以最大值為2，最小值為-2。再如，已知點(diǎn)A(1,2)和B(3,0)，求以AB為直徑的圓的方程。解：圓心D是A、B的中點(diǎn)，坐標(biāo)為((1+3)/2,(2+0)/2)=(2,1)。半徑r是AB長(zhǎng)度的一半，|AB|=√((3-1)2+(0-2)2)=√(22+(-2)2)=√8=2√2，r=√8/2=√2。圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-h)2+(y-k)2=r2，代入(h,k)=(2,1),r=√2，得(x-2)2+(y-1)2=2。

試卷所涵蓋的理論基礎(chǔ)部分知識(shí)點(diǎn)分類總結(jié)

本次模擬試卷主要涵蓋了高