金融學研究生數(shù)學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得f(ξ)等于(f(b)-f(a))/(b-a)。

A.對

B.錯

2.若級數(shù)∑(n=1to∞)a_n收斂，則級數(shù)∑(n=1to∞)a_n^2也收斂。

A.對

B.錯

3.函數(shù)f(x)=x^3-3x在區(qū)間[-2,2]上的最大值是。

A.8

B.2

C.-2

D.-8

4.設(shè)矩陣A為3×3矩陣，且det(A)=2，則矩陣A的伴隨矩陣A*的行列式det(A*)等于。

A.1/2

B.2

C.4

D.8

5.若向量組α1,α2,α3線性無關(guān)，則向量組α1+α2,α2+α3,α3+α1也線性無關(guān)。

A.對

B.錯

6.設(shè)隨機變量X的期望E(X)=2，方差Var(X)=1，則隨機變量Y=3X-4的期望E(Y)和方差Var(Y)分別是。

A.E(Y)=2,Var(Y)=1

B.E(Y)=2,Var(Y)=9

C.E(Y)=2,Var(Y)=10

D.E(Y)=10,Var(Y)=9

7.設(shè)事件A和事件B互斥，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，則事件A或事件B發(fā)生的概率P(A∪B)等于。

A.0.3

B.0.4

C.0.7

D.0.8

8.設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(0,1)，則P(X>1)等于。

A.0.1587

B.0.8413

C.0.5

D.0.3413

9.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且單調(diào)遞增，則f(x)在(a,b)內(nèi)的中值定理表達式為。

A.f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)，其中ξ∈(a,b)

B.f(b)-f(a)=f(ξ)(b-a)，其中ξ∈(a,b)

C.f(b)-f(a)=f''(ξ)(b-a)，其中ξ∈(a,b)

D.f(b)-f(a)=f(ξ)(b-a^2)，其中ξ∈(a,b)

10.設(shè)矩陣A為4×4矩陣，且A的秩rank(A)=3，則矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣A^T的秩rank(A^T)等于。

A.1

B.3

C.4

D.7

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間[-1,1]上收斂的級數(shù)有（）。

A.∑(n=1to∞)(-1)^n/n

B.∑(n=1to∞)1/n^2

C.∑(n=1to∞)(-1)^n/n^2

D.∑(n=1to∞)1/n

2.下列矩陣中，可逆矩陣的有（）。

A.[[1,2],[3,4]]

B.[[1,0],[0,0]]

C.[[2,3],[4,6]]

D.[[3,1],[1,3]]

3.下列向量組中，線性無關(guān)的有（）。

A.α1=[1,0,0],α2=[0,1,0],α3=[0,0,1]

B.β1=[1,1,1],β2=[1,2,3],β3=[2,3,4]

C.γ1=[1,2,3],γ2=[2,3,4],γ3=[3,4,5]

D.δ1=[1,0,1],δ2=[0,1,1],δ3=[1,1,0]

4.下列關(guān)于隨機變量的說法中，正確的有（）。

A.若隨機變量X和Y獨立，且X~N(μ1,σ1^2)，Y~N(μ2,σ2^2)，則X+Y~N(μ1+μ2,σ1^2+σ2^2)

B.若隨機變量X~N(μ,σ^2)，則隨機變量Y=(X-μ)/σ~N(0,1)

C.若隨機變量X和Y不獨立，則X和Y的聯(lián)合分布可以表示為P(X≤x,Y≤y)

D.若隨機變量X的期望E(X)存在，則隨機變量X的方差Var(X)也存在

5.下列關(guān)于事件的說法中，正確的有（）。

A.若事件A和事件B互斥，則事件A和事件B的概率之和等于它們同時發(fā)生的概率

B.若事件A和事件B獨立，則事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的概率

C.若事件A和事件B互斥，且P(A)=0.6，P(B)=0.3，則P(A∩B)=0

D.若事件A和事件B獨立，且P(A)=0.7，P(B)=0.4，則P(A∩B)=P(A)P(B)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.設(shè)函數(shù)f(x)=x^2-4x+5，則f(x)在x=2處的導數(shù)f'(2)等于________。

2.設(shè)矩陣A=[[1,2],[3,4]]，矩陣B=[[2,0],[1,2]]，則矩陣A+B等于________。

3.設(shè)向量組α1=[1,2,3],α2=[4,5,6],α3=[7,8,9]，則向量組α1,α2,α3的秩rank(α1,α2,α3)等于________。

4.設(shè)隨機變量X服從二項分布B(n,p)，其中n=5，p=0.3，則P(X=3)等于________。

5.設(shè)事件A和事件B的概率分別為P(A)=0.6，P(B)=0.4，且P(A∩B)=0.2，則事件A和事件B的獨立性________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算不定積分∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

2.計算定積分∫[0,π]sin^2(x)dx。

3.求解線性方程組：

2x+y-z=1

x-y+2z=-1

3x+y+z=2

4.設(shè)矩陣A=[[1,2],[3,4]]，求矩陣A的逆矩陣A^-1（若存在）。

5.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)={2x,0≤x≤1;0,其他}，求隨機變量X的期望E(X)和方差Var(X)。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題答案

1.A

2.B

3.A

4.C

5.A

6.D

7.C

8.A

9.B

10.B

二、多項選擇題答案

1.ABC

2.AD

3.AD

4.ABD

5.BCD

三、填空題答案

1.-4

2.[[3,2],[4,6]]

3.2

4.0.1035

5.不獨立

四、計算題答案及過程

1.解：∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫(x+1+2)/(x+1)dx=∫(1+2/(x+1))dx=∫1dx+2∫1/(x+1)dx=x+2ln|x+1|+C。

2.解：∫[0,π]sin^2(x)dx=∫[0,π](1-cos(2x))/2dx=1/2∫[0,π]1dx-1/2∫[0,π]cos(2x)dx=1/2[x]_[0,π]-1/2[sin(2x)/2]_[0,π]=1/2(π-0)-1/4(sin(2π)-sin(0))=π/2-0=π/2。

3.解：將方程組寫成矩陣形式AX=B，其中A=[[2,1,-1],[1,-1,2],[3,1,1]],X=[[x],[y],[z]],B=[[1],[-1],[2]]。求增廣矩陣的行簡化階梯形：

[[2,1,-1,|1],[1,-1,2,|-1],[3,1,1,|2]]

→[[1,-1,2,|-1],[0,3,-5,|3],[0,4,-5,|5]]

→[[1,-1,2,|-1],[0,1,-5/3,|1],[0,0,0,|1]]

由于最后一行變?yōu)閇0,0,0|1]，故方程組無解。

4.解：計算det(A)=(1)(4)-(2)(3)=4-6=-2≠0，矩陣A可逆。計算伴隨矩陣A*：

A*=[[4,-2],[-3,1]]。則A^-1=A*/det(A)=[[4,-2]/-2,[-3,1]/-2]=[[-2,1],[3/2,-1/2]]。

5.解：E(X)=∫[0,1]x*2xdx=2∫[0,1]x^2dx=2[x^3/3]_[0,1]=2(1/3-0)=2/3。

E(X^2)=∫[0,1]x^2*2xdx=2∫[0,1]x^3dx=2[x^4/4]_[0,1]=2(1/4-0)=1/2。

Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2=1/2-(2/3)^2=1/2-4/9=9/18-8/18=1/18。

知識點總結(jié)

本試卷主要涵蓋微積分、線性代數(shù)和概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識，適用于金融學研究生一年級學生。知識點分類如下：

1.微積分基礎(chǔ)

-函數(shù)的極限與連續(xù)性

-導數(shù)與微分

-不定積分與定積分

-級數(shù)收斂性

2.線性代數(shù)基礎(chǔ)

-矩陣運算（加法、乘法）

-行列式計算

-向量組的線性相關(guān)性（線性組合、線性無關(guān)）

-矩陣的秩

-逆矩陣求解

3.概率論基礎(chǔ)

-隨機變量及其分布（正態(tài)分布、二項分布）

-隨機變量的期望與方差

-事件及其關(guān)系（互斥、獨立）

-概率計算（加法公式、乘法公式、條件概率）

各題型考察知識點詳解及示例

一、選擇題

-考察點：對基本概念和定理的理解與辨析。

-示例1（考點：拉格朗日中值定理）：題目1考察了中值定理的應(yīng)用條件與結(jié)論。

-示例2（考點：級數(shù)收斂性）：題目2考察了正項級數(shù)比較判別法。

二、多項選擇題

-考察點：綜合運用多個知識點進行判斷，考察學生的分析能力。

-示例1（考點：矩陣運算與秩）：題目2考察了矩陣加法運算和矩陣可逆的條件。

-示例2（考點：向量組線性相關(guān)性）：題目3考察了向量