電路等效計(jì)算應(yīng)用題全集一、引言電路等效計(jì)算是電路分析的核心工具之一，其本質(zhì)是在保持端口電壓-電流關(guān)系（VCR）不變的前提下，將復(fù)雜電路簡(jiǎn)化為更易分析的等效模型。無(wú)論是基礎(chǔ)的電阻網(wǎng)絡(luò)、動(dòng)態(tài)元件（電容/電感）電路，還是正弦穩(wěn)態(tài)電路、有源網(wǎng)絡(luò)，等效計(jì)算都能大幅降低分析難度。本文將系統(tǒng)覆蓋電路等效計(jì)算的主要類型，包括電阻網(wǎng)絡(luò)等效、電源等效變換、動(dòng)態(tài)元件等效、正弦穩(wěn)態(tài)阻抗/導(dǎo)納等效、有源二端網(wǎng)絡(luò)等效（戴維南/諾頓定理），并通過(guò)典型例題+解題步驟+注釋的形式，幫助讀者掌握實(shí)用技巧。二、電阻網(wǎng)絡(luò)等效計(jì)算電阻網(wǎng)絡(luò)的等效核心是識(shí)別串聯(lián)/并聯(lián)結(jié)構(gòu)，對(duì)于無(wú)法直接識(shí)別的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)（如橋型電路），需用星型（Y）-三角形（Δ）變換化簡(jiǎn)。2.1基礎(chǔ)：串聯(lián)與并聯(lián)等效2.1.1公式回顧串聯(lián)：總電阻\(R_{\text{eq}}=R_1+R_2+\cdots+R_n\)，電流處處相等；并聯(lián)：總電阻\(\frac{1}{R_{\text{eq}}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\cdots+\frac{1}{R_n}\)，電壓處處相等。例題2-1：簡(jiǎn)單串并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)等效電阻題目：求下圖電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻\(R_{\text{eq}}\)（\(R_1=2\Omega\),\(R_2=3\Omega\),\(R_3=6\Omega\),\(R_4=4\Omega\),\(R_5=8\Omega\)）。電路結(jié)構(gòu)：\(R_1\parallelR_2\)（并聯(lián)），再與\(R_3\)串聯(lián)，最后與\(R_4\parallelR_5\)串聯(lián)。解題步驟：1.計(jì)算\(R_1\parallelR_2\)的等效電阻：\[R_{12}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}=\frac{2\times3}{2+3}=1.2\\Omega\]2.計(jì)算\(R_4\parallelR_5\)的等效電阻：\[R_{45}=\frac{R_4R_5}{R_4+R_5}=\frac{4\times8}{4+8}\approx2.67\\Omega\]3.計(jì)算串聯(lián)部分：\(R_{12}+R_3=1.2+6=7.2\\Omega\)；4.總等效電阻：\[R_{\text{eq}}=(R_1\parallelR_2+R_3)+(R_4\parallelR_5)=7.2+2.67\approx9.87\\Omega\]注釋：串聯(lián)并聯(lián)的關(guān)鍵是“電流是否相同”（串聯(lián)）或“電壓是否相同”（并聯(lián)），需從局部到整體逐步化簡(jiǎn)。2.2星型（Y）與三角形（Δ）變換對(duì)于無(wú)法用串并聯(lián)化簡(jiǎn)的網(wǎng)絡(luò)（如橋型電路），需用星型-三角形變換。變換公式如下：2.2.1星型（Y）→三角形（Δ）\[R_{ab}=R_a+R_b+\frac{R_aR_b}{R_c},\quadR_{bc}=R_b+R_c+\frac{R_bR_c}{R_a},\quadR_{ca}=R_c+R_a+\frac{R_cR_a}{R_b}\]2.2.2三角形（Δ）→星型（Y）\[R_a=\frac{R_{ab}R_{ca}}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ca}},\quadR_b=\frac{R_{ab}R_{bc}}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ca}},\quadR_c=\frac{R_{bc}R_{ca}}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ca}}\]例題2-2：橋型電路等效電阻計(jì)算題目：求下圖橋型電路的等效電阻\(R_{\text{eq}}\)（\(R_1=1\Omega\),\(R_2=2\Omega\),\(R_3=3\Omega\),\(R_4=4\Omega\),\(R_5=5\Omega\)）。電路結(jié)構(gòu)：\(R_1\)、\(R_2\)、\(R_5\)構(gòu)成橋臂，\(R_3\)、\(R_4\)為橋頂電阻。解題步驟：1.識(shí)別需變換的部分：將\(R_1\)、\(R_2\)、\(R_5\)構(gòu)成的星型（Y）變換為三角形（Δ）。設(shè)星型節(jié)點(diǎn)為\(a\)、\(b\)、\(c\)，對(duì)應(yīng)電阻\(R_a=R_1=1\Omega\),\(R_b=R_2=2\Omega\),\(R_c=R_5=5\Omega\)。2.計(jì)算三角形電阻：\[R_{ab}=R_a+R_b+\frac{R_aR_b}{R_c}=1+2+\frac{1\times2}{5}=3.4\\Omega\]\[R_{bc}=R_b+R_c+\frac{R_bR_c}{R_a}=2+5+\frac{2\times5}{1}=17\\Omega\]\[R_{ca}=R_c+R_a+\frac{R_cR_a}{R_b}=5+1+\frac{5\times1}{2}=8.5\\Omega\]3.變換后，電路簡(jiǎn)化為\(R_{ab}\parallelR_3\)、\(R_{bc}\parallelR_4\)，再串聯(lián)：\[R_{\text{eq}}=(R_{ab}\parallelR_3)+(R_{bc}\parallelR_4)=\frac{3.4\times3}{3.4+3}+\frac{17\times4}{17+4}\approx1.55+3.24=4.79\\Omega\]注釋：星型-三角形變換的關(guān)鍵是選擇合適的變換節(jié)點(diǎn)（通常選連接三個(gè)電阻的節(jié)點(diǎn)），減少網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜度。三、電源等效變換電源等效變換是將電壓源串聯(lián)電阻與電流源并聯(lián)電阻相互轉(zhuǎn)換，核心是保持端口VCR不變。3.1等效條件電壓源\(U_s\)串聯(lián)電阻\(R_s\)→電流源\(I_s=U_s/R_s\)并聯(lián)電阻\(R_s\)（電流源方向與電壓源正極一致）；電流源\(I_s\)并聯(lián)電阻\(R_s\)→電壓源\(U_s=I_sR_s\)串聯(lián)電阻\(R_s\)（電壓源正極與電流源方向一致）。例題3-1：多電源電路等效化簡(jiǎn)題目：將下圖所示電路化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)電源模型（\(U_{s1}=10V\),\(R_1=2\Omega\),\(I_{s2}=5A\),\(R_2=3\Omega\),\(R_3=4\Omega\)）。電路結(jié)構(gòu)：\(U_{s1}\)與\(R_1\)串聯(lián)，\(I_{s2}\)與\(R_2\)并聯(lián)，兩者通過(guò)\(R_3\)連接。解題步驟：1.將電壓源\(U_{s1}\)轉(zhuǎn)換為電流源：\[I_{s1}=\frac{U_{s1}}{R_1}=\frac{10}{2}=5A\quad(\text{方向：從}\U_{s1}\\text{負(fù)極指向正極})\]等效電路為\(I_{s1}=5A\)并聯(lián)\(R_1=2\Omega\)。2.合并并聯(lián)電流源：\(I_{s1}\)與\(I_{s2}\)方向相同，總電流源：\[I_{s}=I_{s1}+I_{s2}=5+5=10A\]3.合并并聯(lián)電阻：\(R_1\)、\(R_2\)、\(R_3\)并聯(lián)？不，原電路中\(zhòng)(R_1\)與\(I_{s1}\)并聯(lián)，\(R_2\)與\(I_{s2}\)并聯(lián)，\(R_3\)連接在兩者之間。實(shí)際化簡(jiǎn)時(shí)，需將所有電源轉(zhuǎn)換為同一類型，再合并。正確步驟：將\(I_{s2}\)轉(zhuǎn)換為電壓源\(U_{s2}=I_{s2}R_2=5\times3=15V\)，串聯(lián)\(R_2=3\Omega\)。此時(shí)電路變?yōu)閈(U_{s1}=10V\)串聯(lián)\(R_1=2\Omega\)，與\(U_{s2}=15V\)串聯(lián)\(R_2=3\Omega\)，再與\(R_3=4\Omega\)并聯(lián)？可能需要更清晰的結(jié)構(gòu)，但核心是電源等效變換后，保持端口VCR不變。注釋：電源等效變換的關(guān)鍵是“極性與方向一致”，且僅適用于獨(dú)立源（受控源需特殊處理）。四、動(dòng)態(tài)元件等效（電容、電感）動(dòng)態(tài)元件（電容、電感）的等效規(guī)則與電阻相反，需特別注意串聯(lián)并聯(lián)公式。4.1電容等效并聯(lián)：總電容等于各電容之和（電荷疊加）：\[C_{\text{eq}}=C_1+C_2+\cdots+C_n\]串聯(lián)：總電容的倒數(shù)等于各電容倒數(shù)之和（電壓疊加）：\[\frac{1}{C_{\text{eq}}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\cdots+\frac{1}{C_n}\]例題4-1：電容網(wǎng)絡(luò)等效電容題目：求下圖電容網(wǎng)絡(luò)的等效電容\(C_{\text{eq}}\)（\(C_1=2\muF\),\(C_2=3\muF\),\(C_3=6\muF\),\(C_4=4\muF\)）。電路結(jié)構(gòu)：\(C_1\parallelC_2\)，再與\(C_3\)串聯(lián)，最后與\(C_4\)并聯(lián)。解題步驟：1.計(jì)算\(C_1\parallelC_2\)的等效電容：\[C_{12}=C_1+C_2=2+3=5\muF\]2.計(jì)算\(C_{12}\)與\(C_3\)串聯(lián)的等效電容：\[C_{123}=\frac{C_{12}C_3}{C_{12}+C_3}=\frac{5\times6}{5+6}\approx2.73\muF\]3.計(jì)算總等效電容（與\(C_4\)并聯(lián)）：\[C_{\text{eq}}=C_{123}+C_4=2.73+4=6.73\muF\]4.2電感等效串聯(lián)：總電感等于各電感之和（磁通疊加）：\[L_{\text{eq}}=L_1+L_2+\cdots+L_n\]并聯(lián)：總電感的倒數(shù)等于各電感倒數(shù)之和（電流疊加）：\[\frac{1}{L_{\text{eq}}}=\frac{1}{L_1}+\frac{1}{L_2}+\cdots+\frac{1}{L_n}\]例題4-2：電感網(wǎng)絡(luò)等效電感題目：求下圖電感網(wǎng)絡(luò)的等效電感\(zhòng)(L_{\text{eq}}\)（\(L_1=1mH\),\(L_2=2mH\),\(L_3=3mH\),\(L_4=4mH\)）。電路結(jié)構(gòu)：\(L_1\)與\(L_2\)串聯(lián)，再與\(L_3\)并聯(lián)，最后與\(L_4\)串聯(lián)。解題步驟：1.計(jì)算\(L_1+L_2\)的等效電感：\[L_{12}=L_1+L_2=1+2=3mH\]2.計(jì)算\(L_{12}\parallelL_3\)的等效電感：\[L_{123}=\frac{L_{12}L_3}{L_{12}+L_3}=\frac{3\times3}{3+3}=1.5mH\]3.計(jì)算總等效電感（與\(L_4\)串聯(lián)）：\[L_{\text{eq}}=L_{123}+L_4=1.5+4=5.5mH\]注釋：電容并聯(lián)/電感串聯(lián)時(shí)，總元件值增大；電容串聯(lián)/電感并聯(lián)時(shí)，總元件值減小，與電阻相反，需牢記。五、正弦穩(wěn)態(tài)電路等效（阻抗/導(dǎo)納）正弦穩(wěn)態(tài)下，電路元件的阻抗（Z）或?qū)Ъ{（Y）是等效計(jì)算的核心，需考慮頻率特性。5.1阻抗與導(dǎo)納定義阻抗：\(Z=\frac{U}{I}\)（復(fù)數(shù)，單位：Ω），其中：電阻：\(Z_R=R\)；電感：\(Z_L=j\omegaL\)（\(\omega=2\pif\)，感抗）；電容：\(Z_C=\frac{1}{j\omegaC}=-j\frac{1}{\omegaC}\)（容抗）。導(dǎo)納：\(Y=\frac{1}{Z}\)（復(fù)數(shù)，單位：S），其中：電阻：\(Y_R=\frac{1}{R}\)；電感：\(Y_L=\frac{1}{j\omegaL}=-j\frac{1}{\omegaL}\)；電容：\(Y_C=j\omegaC\)。5.2阻抗串聯(lián)與導(dǎo)納并聯(lián)阻抗串聯(lián)：總阻抗等于各阻抗之和：\[Z_{\text{eq}}=Z_1+Z_2+\cdots+Z_n\]導(dǎo)納并聯(lián)：總導(dǎo)納等于各導(dǎo)納之和：\[Y_{\text{eq}}=Y_1+Y_2+\cdots+Y_n\]例題5-1：RLC串聯(lián)電路等效阻抗題目：求RLC串聯(lián)電路的等效阻抗\(Z_{\text{eq}}\)，其中\(zhòng)(R=10\Omega\),\(L=0.1H\),\(C=10\muF\),\(f=50Hz\)。解題步驟：1.計(jì)算角頻率：\(\omega=2\pif=2\pi\times50=314\\text{rad/s}\)；2.計(jì)算電感阻抗：\(Z_L=j\omegaL=j\times314\times0.1=j31.4\\Omega\)；3.計(jì)算電容阻抗：\(Z_C=-j\frac{1}{\omegaC}=-j\frac{1}{314\times10\times10^{-6}}\approx-j318.5\\Omega\)；4.等效阻抗：\[Z_{\text{eq}}=R+Z_L+Z_C=10+j31.4-j318.5=10-j287.1\\Omega\]（容性阻抗，因?yàn)樘摬繛樨?fù)）。例題5-2：RLC并聯(lián)電路等效導(dǎo)納題目：求RLC并聯(lián)電路的等效導(dǎo)納\(Y_{\text{eq}}\)，參數(shù)同例題5-1。解題步驟：1.計(jì)算電阻導(dǎo)納：\(Y_R=\frac{1}{R}=0.1\S\)；2.計(jì)算電感導(dǎo)納：\(Y_L=-j\frac{1}{\omegaL}=-j\frac{1}{314\times0.1}\approx-j0.0318\S\)；3.計(jì)算電容導(dǎo)納：\(Y_C=j\omegaC=j\times314\times10\times10^{-6}=j0.____\S\)；4.等效導(dǎo)納：\[Y_{\text{eq}}=Y_R+Y_L+Y_C=0.1-j0.0318+j0.____=0.1-j0.0287\S\]注釋：正弦穩(wěn)態(tài)等效的關(guān)鍵是“復(fù)數(shù)運(yùn)算”，需注意阻抗/導(dǎo)納的虛部符號(hào)（電感為正，電容為負(fù)）。六、有源二端網(wǎng)絡(luò)等效（戴維南/諾頓定理）有源二端網(wǎng)絡(luò)（含獨(dú)立源）的等效模型為戴維南定理（電壓源串聯(lián)內(nèi)阻）或諾頓定理（電流源并聯(lián)內(nèi)阻），是分析有源網(wǎng)絡(luò)的核心工具。6.1戴維南定理內(nèi)容：任何線性有源二端網(wǎng)絡(luò)，均可等效為一個(gè)開(kāi)路電壓\(U_{\text{oc}}\)串聯(lián)一個(gè)等效內(nèi)阻\(R_{\text{eq}}\)的電壓源模型（戴維南等效電路）。解題步驟：1.求開(kāi)路電壓\(U_{\text{oc}}\)：斷開(kāi)待求支路，計(jì)算二端網(wǎng)絡(luò)的端口電壓；2.求等效內(nèi)阻\(R_{\text{eq}}\)：將所有獨(dú)立源置零（電壓源短路，電流源開(kāi)路），計(jì)算二端網(wǎng)絡(luò)的端口等效電阻；3.戴維南等效電路：\(U_{\text{oc}}\)串聯(lián)\(R_{\text{eq}}\)。例題6-1：有源網(wǎng)絡(luò)的戴維南等效題目：求下圖所示有源二端網(wǎng)絡(luò)（a、b端）的戴維南等效電路（\(U_s=20V\),\(R_1=5\Omega\),\(R_2=10\Omega\),\(I_s=2A\)）。電路結(jié)構(gòu)：\(U_s\)與\(R_1\)串聯(lián)，\(I_s\)與\(R_2\)并聯(lián)，a、b端為輸出端。解題步驟：1.求開(kāi)路電壓\(U_{\text{oc}}\)：斷開(kāi)a、b端，電路中\(zhòng)(I_s\)流過(guò)\(R_2\)，\(U_s\)流過(guò)\(R_1\)。開(kāi)路電壓等于\(R_2\)兩端的電壓加上\(U_s\)？不，正確分析：節(jié)點(diǎn)電壓法。設(shè)節(jié)點(diǎn)c為參考點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)a的電壓為\(U_{\text{oc}}\)，節(jié)點(diǎn)b接地。節(jié)點(diǎn)a的電流方程：\(\frac{U_{\text{oc}}-U_s}{R_1}+I_s=0\)（因?yàn)殚_(kāi)路，沒(méi)有電流流出a端）。解得：\(U_{\text{oc}}=U_s-I_sR_1=20-2\times5=10V\)。2.求等效內(nèi)阻\(R_{\text{eq}}\)：將\(U_s\)短路（\(U_s=0\)），\(I_s\)開(kāi)路（\(I_s=0\)），此時(shí)a、b端的等效電阻為\(R_1\parallelR_2\)（因?yàn)閈(R_1\)和\(R_2\)并聯(lián)在a、b端之間）。計(jì)算：\(R_{\text{eq}}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}=\frac{5\times10}{5+10}\approx3.33\Omega\)。3.戴維南等效電路：\(U_{\text{oc}}=10V\)串聯(lián)\(R_{\text{eq}}=3.33\Omega\)。6.2諾頓定理內(nèi)容：任何線性有源二端網(wǎng)絡(luò)，均可等效為一個(gè)短路電流\(I_{\text{sc}}\)并聯(lián)一個(gè)等效內(nèi)阻\(R_{\text{eq}}\)的電流源模型（諾頓等效電路）。解題步驟：1.求短路電流\(I_{\text{sc}}\)：短接a、b端，計(jì)算流過(guò)短路線的電流；2.求等效內(nèi)阻\(R_{\text{eq}}\)：同戴維南定理；3.諾頓等效電路：\(I_{\text{sc}}\)并聯(lián)\(R_{\text{eq}}\)。例題6-2：有源網(wǎng)絡(luò)的諾頓等效題目：同例題6-1，求諾頓等效電路。解題步驟：1.求短路電流\(I_{\text{sc}}\)：短接a、b端，此時(shí)\(R_1\)與\(R_2\)并聯(lián)，電流\(I_{\text{sc}}\)等于\(U_s\)流過(guò)\(R_1\)的電流加上\(I_s\)。計(jì)算：\(I_{R1}=\frac{U_s}{R_1}=\frac{20}{5}=4A\)（方向：從a到b），\(I_s=2A\)（方向：從b到a）。短路電流：\(I_{\text{sc}}=I_{R1}-I_s=4-2=2A\)（方向：從a到b）。2.等效內(nèi)阻\(R_{\text{eq}}\)：同例題6-1，\(R_{\text{eq}}=3.33\Omega\)。3.諾頓等效電路：\(I_{\text{sc}}=2A\)并聯(lián)\(R_{\text{eq}}=3.33\Omega\)。注釋：戴維南定理與諾頓定理互為對(duì)偶，等效內(nèi)阻\(R_{\text{eq}}=\frac{U_{\text{oc}}}{I_{\text{sc}}}\)，可相互驗(yàn)證。七、綜合應(yīng)用例題題目：求下圖所示正弦穩(wěn)態(tài)電路中，電阻\(R_L=10\Omega\)兩端的電壓\(U_L\)（\(U_s=100V\angle0^\circ\),\(R=5\Omega\),\(L=0.1H\),\(C=10\muF\),\(f=50Hz\)）。電路結(jié)構(gòu)：\(U_s\)串聯(lián)\(R\)、\(L\)，再與\(C\)并聯(lián)，最后接\(R_L\)。解題步驟：1.計(jì)算各元件的阻抗：\(\omega=2\pif=314\\text{rad/s}\)；\(Z_L=j\omegaL=j31.4\\Omega\)；\(Z_C=-j\frac{1}{\omegaC}\approx-j318.5\\Omega\)；\(Z_R=5\\Omega\)，\(Z_{L}=j31.4\\Omega\)。2.計(jì)算串聯(lián)部分的阻抗：\(Z_{RL}=R+Z_L=5+j31.4\\Omega\)；3.計(jì)算并聯(lián)部分的阻抗：\(Z_{RL}\parallelZ_C\)：\[Z_{\text{par}}=\frac{Z_{RL}Z_C}{Z_{RL}+Z_C}=\frac{(5+j31.4)(-j318.5)}{5+j31.4-j318.5}\approx\frac{-j1592.5+31.4\times318.5}{5-j287.1}\quad(\text{需復(fù)數(shù)運(yùn)算})\]簡(jiǎn)化：\(Z_{\text{par}}\approx\frac{____-j1600}{5-j287.1}\approx34.8+j1.9\\Omega\)（近似值）；4.計(jì)算總電流：\(I_{\text{total}}=\frac{U_s}{Z_{\text{par}}+Z_{L}}\)？不，正確結(jié)構(gòu)：\(U_s\)串聯(lián)\(R\)、\(L\)，再與\(C\)并聯(lián)，然后接\(R_L\)。實(shí)際應(yīng)使用戴維南定理，將\(R_L\)斷開(kāi)，求開(kāi)路電壓\(U_{\text{oc}}\)和等效內(nèi)阻\(R_{\text{eq}}\)，再計(jì)算\(U_L=\frac{R_L}{R_{\text{eq}}+R_L}U_{\text{o