高中數(shù)學(xué)函數(shù)題專項訓(xùn)練引言函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心主線，貫穿于集合、不等式、三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等多個模塊，也是高考數(shù)學(xué)的重點考查對象（占比約20%~25%）。函數(shù)題既考查基礎(chǔ)知識的掌握（如定義域、值域），也考查邏輯推理（如單調(diào)性證明）和綜合應(yīng)用（如零點與參數(shù)問題）。本文通過專題劃分+知識點回顧+典型例題+解題策略+專項訓(xùn)練的結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生系統(tǒng)突破函數(shù)題，從基礎(chǔ)到進(jìn)階逐步提升。專題一：函數(shù)的基本概念與定義域、值域1.1知識點回顧函數(shù)的定義：設(shè)\(A、B\)為非空數(shù)集，若對\(A\)中每一個\(x\)，通過對應(yīng)法則\(f\)，\(B\)中都有唯一確定的\(y\)與之對應(yīng)，則稱\(f:A→B\)為函數(shù)，記為\(y=f(x)\)。其中：\(A\)：定義域（\(x\)的取值范圍）；\(f(x)\)：值域（\(y\)的取值范圍，值域?\(B\)）；對應(yīng)法則\(f\)：函數(shù)的核心（如\(f(x)=x^2\)的對應(yīng)法則是“平方”）。定義域的求法：需滿足以下限制條件（優(yōu)先級：分母≠0→根式≥0→對數(shù)真數(shù)>0→復(fù)合函數(shù)內(nèi)層定義域）：分式：分母≠0；二次根式：被開方數(shù)≥0；對數(shù)：真數(shù)>0，底數(shù)>0且≠1；復(fù)合函數(shù)：內(nèi)層函數(shù)的值域是外層函數(shù)的定義域。值域的求法：觀察法：適用于簡單函數(shù)（如\(y=2x+1\)）；配方法：適用于二次函數(shù)（如\(y=x^2-2x+3\)）；換元法：適用于含根號或指數(shù)的函數(shù)（如\(y=x+\sqrt{x-1}\)，令\(t=\sqrt{x-1}\geq0\)）；單調(diào)性法：適用于單調(diào)函數(shù)（如\(y=\lnx+x\)）；判別式法：適用于分式函數(shù)（如\(y=\frac{x^2+1}{x^2-1}\)，整理為關(guān)于\(x\)的二次方程，利用\(\Delta≥0\)求\(y\)的范圍）。1.2典型例題例1（定義域）：求\(f(x)=\frac{\sqrt{2x-1}}{\log_2(3-x)}\)的定義域。解：二次根式限制：\(2x-1≥0\Rightarrowx≥\frac{1}{2}\)；對數(shù)限制：\(3-x>0\Rightarrowx<3\)，且\(\log_2(3-x)≠0\Rightarrow3-x≠1\Rightarrowx≠2\)；綜合得定義域：\([\frac{1}{2},2)\cup(2,3)\)。例2（值域）：求\(f(x)=-x^2+4x-1\)的值域。解：配方法：\(f(x)=-(x-2)^2+3\)；由于\((x-2)^2≥0\)，故\(-(x-2)^2≤0\Rightarrowf(x)≤3\)；值域：\((-\infty,3]\)。1.3解題策略定義域：分步列限制條件，解不等式組（注意“且”的關(guān)系，避免遺漏）；值域：先判斷函數(shù)類型，再選合適方法（如二次函數(shù)用配方法，單調(diào)函數(shù)用單調(diào)性法）；易錯點：定義域中“對數(shù)真數(shù)>0”“分母≠0”是高頻漏點，需重點關(guān)注。1.4專項訓(xùn)練題1.求\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2}}+\log_3(5-x)\)的定義域；2.求\(f(x)=x^2-2x+3\)的值域；3.求\(f(x)=x+\sqrt{2x-1}\)的值域（換元法）；4.求\(f(x)=\frac{2x+1}{x-1}\)的值域（判別式法）；5.求\(f(x)=\ln(x+1)+2\)的值域（單調(diào)性法）。1.5訓(xùn)練題答案解析1.定義域：\(x-2>0\Rightarrowx>2\)；\(5-x>0\Rightarrowx<5\)，故定義域為\((2,5)\)。2.值域：\(f(x)=(x-1)^2+2≥2\)，值域為\([2,+∞)\)。3.值域：令\(t=\sqrt{2x-1}≥0\)，則\(x=\frac{t^2+1}{2}\)，\(f(t)=\frac{1}{2}(t+1)^2≥\frac{1}{2}\)，值域為\([\frac{1}{2},+∞)\)。4.值域：整理為\(y(x-1)=2x+1\Rightarrow(y-2)x=y+1\)，\(y≠2\)，故值域為\((-\infty,2)\cup(2,+∞)\)。5.值域：\(f(x)\)在\((-1,+∞)\)上單調(diào)遞增，\(x→-1^+\)時\(f(x)→-∞\)，\(x→+∞\)時\(f(x)→+∞\)，值域為\(\mathbb{R}\)。專題二：函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性2.1知識點回顧單調(diào)性：定義：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(I\)上有定義，若對任意\(x_1<x_2∈I\)，都有\(zhòng)(f(x_1)<f(x_2)\)（增函數(shù)）或\(f(x_1)>f(x_2)\)（減函數(shù)），則稱\(f(x)\)在\(I\)上單調(diào)。判定方法：1.定義法（取值→作差→變形→定號→結(jié)論）；2.導(dǎo)數(shù)法（\(f'(x)>0\Rightarrow\)增函數(shù)，\(f'(x)<0\Rightarrow\)減函數(shù)）；3.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性（同增異減：內(nèi)層與外層單調(diào)性相同則增，相反則減）。奇偶性：定義：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)定義域關(guān)于原點對稱，若\(f(-x)=f(x)\)（偶函數(shù)，圖像關(guān)于\(y\)軸對稱），或\(f(-x)=-f(x)\)（奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱），則稱\(f(x)\)為奇偶函數(shù)。判定步驟：1.檢查定義域是否關(guān)于原點對稱（若否，直接判定為非奇非偶）；2.計算\(f(-x)\)，與\(f(x)\)比較。2.2典型例題例3（單調(diào)性證明）：用定義法證明\(f(x)=x^3\)在\(\mathbb{R}\)上單調(diào)遞增。證明：取值：任取\(x_1<x_2∈\mathbb{R}\)；作差：\(f(x_1)-f(x_2)=x_1^3-x_2^3=(x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)\)；變形：\(x_1^2+x_1x_2+x_2^2=(x_1+\frac{x_2}{2})^2+\frac{3x_2^2}{4}>0\)（平方和非負(fù)）；定號：\(x_1-x_2<0\Rightarrow\)差<0；結(jié)論：\(f(x_1)<f(x_2)\)，故\(f(x)\)在\(\mathbb{R}\)上單調(diào)遞增。例4（奇偶性判斷）：判斷\(f(x)=x|x|\)的奇偶性。解：定義域：\(\mathbb{R}\)（關(guān)于原點對稱）；計算\(f(-x)\)：\(f(-x)=(-x)|-x|=-x|x|=-f(x)\)；結(jié)論：奇函數(shù)。2.3解題策略單調(diào)性證明：定義法是基礎(chǔ)，關(guān)鍵在于“變形”（如因式分解、配方），目的是判斷差的符號；奇偶性判斷：第一步“定義域?qū)ΨQ”是前提，若定義域不對稱，直接排除；復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：分解為內(nèi)層與外層函數(shù)，用“同增異減”判斷（如\(f(g(x))\)，內(nèi)層增+外層增→復(fù)合增）。2.4專項訓(xùn)練題1.用定義法證明\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\((0,+∞)\)上單調(diào)遞減；2.判斷\(f(x)=x^2+1\)的奇偶性；3.求\(f(x)=\log_2(x^2-2x+3)\)的單調(diào)遞增區(qū)間；4.已知\(f(x)=ax+1\)在\(\mathbb{R}\)上單調(diào)遞增，求\(a\)的取值范圍；5.已知\(f(x)\)是偶函數(shù)，且在\([0,+∞)\)上單調(diào)遞減，比較\(f(1)\)與\(f(-2)\)的大小。2.5訓(xùn)練題答案解析1.證明：任取\(0<x_1<x_2\)，\(f(x_1)-f(x_2)=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}>0\Rightarrowf(x_1)>f(x_2)\)，故遞減。2.奇偶性：定義域\(\mathbb{R}\)，\(f(-x)=x^2+1=f(x)\)，故偶函數(shù)。3.單調(diào)遞增區(qū)間：內(nèi)層\(t=x^2-2x+3\)在\((1,+∞)\)遞增，外層\(\log_2t\)遞增，故復(fù)合函數(shù)遞增區(qū)間為\((1,+∞)\)。4.解：\(a>0\)（一次函數(shù)單調(diào)遞增→斜率>0）。5.解：\(f(-2)=f(2)\)，\(f(x)\)在\([0,+∞)\)遞減→\(f(1)>f(2)\)，故\(f(1)>f(-2)\)。專題三：函數(shù)的圖像與變換3.1知識點回顧基本函數(shù)圖像：一次函數(shù)：\(y=kx+b\)（直線，斜率\(k\)，截距\(b\)）；二次函數(shù)：\(y=ax^2+bx+c\)（拋物線，頂點\((-\frac{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})\)，開口方向由\(a\)決定）；指數(shù)函數(shù)：\(y=a^x\)（\(a>0\)且\(a≠1\)，過\((0,1)\)，\(a>1\)時遞增，\(0<a<1\)時遞減）；對數(shù)函數(shù)：\(y=\log_ax\)（\(a>0\)且\(a≠1\)，過\((1,0)\)，\(a>1\)時遞增，\(0<a<1\)時遞減）。圖像變換規(guī)律：平移：\(f(x)→f(x+a)+b\)（左加右減，上加下減）；伸縮：\(f(x)→f(kx)\)（橫伸縮，\(k>1\)→橫坐標(biāo)縮短為\(\frac{1}{k}\)）；\(f(x)→mf(x)\)（縱伸縮，\(m>1\)→縱坐標(biāo)伸長為\(m\)倍）；對稱：\(f(x)→-f(x)\)（關(guān)于\(x\)軸對稱）；\(f(x)→f(-x)\)（關(guān)于\(y\)軸對稱）；\(f(x)→-f(-x)\)（關(guān)于原點對稱）。3.2典型例題例5（圖像變換）：求\(f(x)=2^{x-1}+1\)的圖像與\(f(x)=2^x\)的關(guān)系。解：\(2^{x-1}=2^{x-1}\)：\(2^x\)向右平移1個單位（“右減”）；\(2^{x-1}+1\)：\(2^{x-1}\)向上平移1個單位（“上加”）；結(jié)論：\(f(x)=2^{x-1}+1\)是\(2^x\)向右平移1個單位、向上平移1個單位得到的。例6（圖像識別）：下列圖像中，是\(f(x)=\ln(x+1)\)的圖像的是（）（選項：A.過(0,0)，在(-1,+∞)遞增；B.過(1,0)，在(0,+∞)遞增；C.過(0,1)，在(-1,+∞)遞增；D.過(0,0)，在(-1,+∞)遞減）解：定義域：\(x+1>0\Rightarrowx>-1\)；過點：\(x=0\)時，\(f(0)=\ln1=0\)→過(0,0)；單調(diào)性：\(f'(x)=\frac{1}{x+1}>0\)→遞增；結(jié)論：選A。3.3解題策略圖像變換：記住“平移口訣”（左加右減，上加下減），變換順序不影響結(jié)果（如先平移再伸縮與先伸縮再平移一致，但需調(diào)整參數(shù)）；圖像識別：從“定義域→特殊點→單調(diào)性→奇偶性”入手，逐步排除錯誤選項；畫圖技巧：復(fù)雜函數(shù)可通過“基本函數(shù)+變換”得到（如\(f(x)=(x-1)^2+2\)由\(x^2\)向右平移1個單位、向上平移2個單位得到）。3.4專項訓(xùn)練題1.求\(f(x)=(x+2)^2-1\)的圖像是由\(f(x)=x^2\)怎樣變換來的；2.畫出\(f(x)=-2^x\)的圖像（提示：先畫\(2^x\)，再關(guān)于\(x\)軸對稱）；3.已知\(f(x)\)的圖像過(1,2)，求\(f(x-1)+3\)的圖像過的點；4.識別\(f(x)=\log_{\frac{1}{2}}x\)的圖像（單調(diào)性、過點）；5.已知\(f(x)\)是奇函數(shù)，且在\((0,+∞)\)上單調(diào)遞增，畫出\(f(x)\)的大致圖像。3.5訓(xùn)練題答案解析1.變換過程：\(f(x)=(x+2)^2-1\)由\(x^2\)向左平移2個單位、向下平移1個單位得到。2.圖像：\(2^x\)過(0,1)，遞增；\(-2^x\)是\(2^x\)關(guān)于\(x\)軸對稱，過(0,-1)，遞減。3.過點：\((1+1,2+3)=(2,5)\)（向右平移1個單位、向上平移3個單位）。4.圖像特征：定義域(0,+∞)，過(1,0)，單調(diào)遞減（底數(shù)\(\frac{1}{2}<1\)）。5.大致圖像：關(guān)于原點對稱，\((0,+∞)\)遞增，\((-\infty,0)\)遞增，過原點（如\(f(x)=x^3\)）。專題四：函數(shù)的零點與方程根的問題4.1知識點回顧零點的定義：函數(shù)\(f(x)=0\)的實數(shù)解稱為\(f(x)\)的零點（零點是數(shù)，不是點）。零點存在性定理：設(shè)\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，若\(f(a)f(b)<0\)，則\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)至少有一個零點（注意：定理只保證“至少一個”，不保證“唯一”）。零點個數(shù)的判斷：圖像法：畫出\(f(x)\)的圖像，與\(x\)軸交點個數(shù)即為零點個數(shù)；單調(diào)性法：若\(f(x)\)在區(qū)間\(I\)上單調(diào)，且\(f(a)f(b)<0\)，則\(f(x)\)在\(I\)內(nèi)有且僅有一個零點；判別式法：二次函數(shù)\(f(x)=ax^2+bx+c\)，\(\Delta=b^2-4ac>0\Rightarrow2\)個零點，\(\Delta=0\Rightarrow1\)個零點，\(\Delta<0\Rightarrow0\)個零點。4.2典型例題例7（零點存在性）：判斷\(f(x)=\lnx+x-2\)在\((0,+∞)\)內(nèi)的零點個數(shù)。解：連續(xù)性：\(f(x)\)在\((0,+∞)\)上連續(xù)；端點值：\(f(1)=\ln1+1-2=-1<0\)，\(f(2)=\ln2+2-2=\ln2>0\)；零點存在性定理：\(f(1)f(2)<0\Rightarrow\)在\((1,2)\)內(nèi)有一個零點；單調(diào)性：\(f'(x)=\frac{1}{x}+1>0\Rightarrow\)在\((0,+∞)\)上單調(diào)遞增；結(jié)論：有且僅有一個零點。例8（零點個數(shù)求參數(shù)）：已知\(f(x)=x^2-2x+a\)有兩個零點，求\(a\)的取值范圍。解：判別式：\(\Delta=(-2)^2-4a=4-4a\)；兩個零點→\(\Delta>0\Rightarrow4-4a>0\Rightarrowa<1\)；結(jié)論：\(a∈(-∞,1)\)。4.3解題策略零點存在性：需滿足“連續(xù)+端點值異號”，若要“唯一零點”，需補充“單調(diào)性”；零點個數(shù)求參數(shù)：二次函數(shù)用判別式法，非二次函數(shù)用圖像法或單調(diào)性法；轉(zhuǎn)化法：將\(f(x)=0\)轉(zhuǎn)化為\(g(x)=h(x)\)，零點個數(shù)等于\(g(x)\)與\(h(x)\)圖像的交點個數(shù)（如\(\lnx=x-2\)的零點個數(shù)等于\(y=\lnx\)與\(y=x-2\)的交點個數(shù)）。4.4專項訓(xùn)練題1.判斷\(f(x)=x^3-x\)的零點個數(shù)；2.求\(f(x)=e^x-x-1\)的零點（提示：求導(dǎo)判斷單調(diào)性）；3.已知\(f(x)=\log_2(x+a)\)有一個零點，求\(a\)的值；4.求\(f(x)=x^2-4x+3\)的零點，并畫出圖像；5.已知\(f(x)=ax+1\)在\([0,1]\)上有零點，求\(a\)的取值范圍。4.5訓(xùn)練題答案解析1.零點個數(shù)：\(f(x)=x(x-1)(x+1)\)，零點為\(x=0,1,-1\)，故3個。2.零點：\(f'(x)=e^x-1\)，\(x=0\)時\(f'(x)=0\)；\(x<0\)時\(f(x)\)遞減，\(x>0\)時\(f(x)\)遞增；\(f(0)=0\)，故唯一零點為\(x=0\)。3.解：零點即\(\log_2(x+a)=0\Rightarrowx=1-a\)，定義域\(x+a>0\Rightarrow1-a+a=1>0\)，故\(a\)為任意實數(shù)（對數(shù)函數(shù)單調(diào)，只有一個零點）。4.零點：\(f(x)=(x-1)(x-3)\)，零點為\(x=1,3\)；圖像：二次函數(shù)，頂點(2,-1)，開口向上，過(1,0)和(3,0)。5.解：\(f(0)f(1)≤0\Rightarrow1×(a+1)≤0\Rightarrowa≤-1\)（零點存在性定理）。專題五：復(fù)合函數(shù)與分段函數(shù)5.1知識點回顧復(fù)合函數(shù)：設(shè)\(y=f(t)\)，\(t=g(x)\)，則\(y=f(g(x))\)稱為復(fù)合函數(shù)（內(nèi)層\(t=g(x)\)，外層\(y=f(t)\)）。定義域：\(g(x)∈D_f\)（\(D_f\)是\(f(t)\)的定義域）；單調(diào)性：同增異減（內(nèi)層增+外層增→復(fù)合增；內(nèi)層增+外層減→復(fù)合減）。分段函數(shù)：在定義域的不同區(qū)間內(nèi)，有不同表達(dá)式的函數(shù)（如\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x≤0\\\lnx,&x>0\end{cases}\)）。求值：先判斷自變量屬于哪個區(qū)間，再代入對應(yīng)表達(dá)式；單調(diào)性：各區(qū)間內(nèi)分別判斷，注意端點值的銜接（如左區(qū)間的最大值≤右區(qū)間的最小值）；奇偶性：需滿足對任意\(x\)，\(f(-x)=f(x)\)或\(f(-x)=-f(x)\)（分區(qū)間討論）。5.2典型例題例9（復(fù)合函數(shù)定義域）：求\(f(x)=\log_2(\sqrt{x-1})\)的定義域。解：外層定義域：\(\sqrt{x-1}>0\)；內(nèi)層值域：\(\sqrt{x-1}≥0\Rightarrow\sqrt{x-1}>0\Rightarrowx-1>0\Rightarrowx>1\)；結(jié)論：定義域為\((1,+∞)\)。例10（分段函數(shù)單調(diào)性）：已知\(f(x)=\begin{cases}x^2,&x≤1\\ax+1,&x>1\end{cases}\)在\(\mathbb{R}\)上單調(diào)遞增，求\(a\)的取值范圍。解：分段單調(diào)性：\(x≤1\)時，\(f(x)=x^2\)單調(diào)遞增（最大值\(f(1)=1\)）；\(x>1\)時，\(f(x)=ax+1\)單調(diào)遞增→\(a>0\)，且最小值\(f(1^+)=a+1≥f(1)=1\Rightarrowa≥0\)；綜合：\(a>0\)（\(a>0\)包含\(a≥0\)）。5.3解題策略復(fù)合函數(shù)定義域：從外層到內(nèi)層，逐步求限制條件（如\(f(g(x))\)的定義域是\(g(x)∈D_f\)的\(x\)的取值范圍）；分段函數(shù)求值：“先內(nèi)后外”，即先求內(nèi)層函數(shù)的值，判斷其屬于哪個區(qū)間，再代入對應(yīng)表達(dá)式（如\(f(f(-1))\)，先求\(f(-1)\)，再求\(f(結(jié)果)\)）；分段函數(shù)單調(diào)性：“各區(qū)間內(nèi)單調(diào)+端點銜接”（如遞增時，左區(qū)間的最大值≤右區(qū)間的最小值）。5.4專項訓(xùn)練題1.求\(f(x)=\sqrt{\log_2(x-2)}\)的定義域；2.已知\(f(x)=\begin{cases}2x+1,&x<0\\x^2,&x≥0\end{cases}\)，求\(f(f(-1))\)的值；3.求\(f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x^2-4x+5)\)的單調(diào)遞減區(qū)間；4.判斷\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x≤0\\x^2,&x>0\end{cases}\)的奇偶性；5.已知\(f(x)=\begin{cases}ax^2+1,&x≤0\\x+a,&x>0\end{cases}\)是偶函數(shù)，求\(a\)的值。5.5訓(xùn)練題答案解析1.定義域：\(\log_2(x-2)≥0\Rightarrowx-2≥1\Rightarrowx≥3\)，故定義域為\([3,+∞)\)。2.求值：\(f(-1)=2×(-1)+1=-1\)（\(x<0\)