第5頁(yè)（共5頁(yè)）2026高中數(shù)學(xué)計(jì)算題專(zhuān)練15個(gè)專(zhuān)題10平面向量的運(yùn)算一．填空題（共10小題）1．已知a→=（2，﹣1，3），b→=（﹣4，2，x），且a→⊥b2．已知a→=（1，1），b→=（2，﹣4），則a→3．已知向量a→=（2，1），a→?（a→+2b→）＝7，則4．已知向量a→，b→滿足|a→|＝2，|b→|＝3，|a→+b5．在△ABC中，AD→=34DC→，P是直線BD上一點(diǎn)，若6．已知點(diǎn)A（2，﹣1，1），B（3，﹣2，1），C（0，1，﹣1），則AB→在AC→上的投影向量的模為7．已知向量a→=（2，m），b→=（﹣1，m），若2a→+8．已知向量a→，b→滿足|a→|＝2，|a→+2b→|＝|9．設(shè)θ為非零向量a→與b→的夾角，定義：|a→×b→|=|a→|?|10．在△ABC中，點(diǎn)M，N滿足AM→=3MC→，BN→=NC→．若二．解答題（共20小題）11．計(jì)算：（1）(-3)×4a（2）3(a（3）(2a（4）AB→（5）NQ→12．已知|a→|=1，|（1）計(jì)算a→?b（2）求a→+b13．已知|a→|=4，|b→（1）(2a（2）|a14．已知向量a→與b→的夾角為120°，且|a（1）計(jì)算：|4a（2）若(2a→+15．已知向量a→與b→的夾角為120°，且|a→（1）計(jì)算：|4a→（2）當(dāng)k為何值時(shí)，（a→+2b→16．已知向量α→和β→的夾角φ=2π3，|（1）|α→+β（2）（3α→-2β→）?（α17．設(shè)|a→|＝3，|b→|＝2，|c→|＝5，向量a→與b→的夾角為π6，向量（1）|（a→?b→）?（2）|a→?（b→?18．已知|a→|＝4，|b→|＝6，a→（1）（a→+2b（2）|4a→19．計(jì)算：（1）已知a→=（﹣2，3），b→=（2，5），（2）已知a→=（5，7），b→=（﹣2，﹣1），求220．已知a→=(2，-1)，（1）求向量a→（2）求向量a→，b→的夾角21．如圖，在△ABC中，AM→=12AB→，（1）用a→，b→表示AN→（2）若P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且BP→=-49a→+22．已知向量a→=(2cos2x，3)（1）求函數(shù)g（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且f（C）＝3，c＝1，ab=23，且a＞b，且a，b23．如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D滿足AB→=3AD→，點(diǎn)E滿足BC→=3BE→，點(diǎn)（1）用a→，b→表示（2）若△ABC的邊長(zhǎng)為2，試求CD→與EF24．已知向量a→=(1，2)，b→（1）求|c（2）若向量d→=(5，2)，試用a→（3）若c→∥ka25．已知向量a→=(2，-2)，|b（Ⅰ）求向量a→與b（Ⅱ）求|2a（Ⅲ）若向量ka→+b→26．如圖，在菱形ABCD中，BE→（1）若EF→=xAB→+y（2）若|AB→|=3，∠BAD=60°27．已知a→（1）若AB→=2a→-b→，BC（2）當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，ka→-28．已知向量a→=(1，2)，（1）若(a→+（2）若t＝1，a→與a→+m29．已知向量a→=(1，3)，（1）a→（2）|3a（3）(a30．已知向量a→，b（1）求|a（2）a→-2b（3）若ka→+2b→與一．填空題（共10小題）1．已知a→=（2，﹣1，3），b→=（﹣4，2，x），且a→⊥b→，則【答案】103【解析】∵a→=（2，﹣1，3），b→=（﹣4，2，x），且∴2×（﹣4）+（﹣1）×2+3x＝0，解得x=10故答案為：1032．已知a→=（1，1），b→=（2，﹣4），則a→在b【答案】-5【解析】a→=（1，1），則a→在b→上的數(shù)量投影是故答案為：-53．已知向量a→=（2，1），a→?（a→+2b→）＝7，則b→【答案】(2【解析】由a→=（2，1），可得因?yàn)閍→所以5+2a→?所以b→在a→上的投影向量的坐標(biāo)為故答案為：(24．已知向量a→，b→滿足|a→|＝2，|b→|＝3，|a→+b→|＝4，則|【答案】34．【解析】由|a→|＝2，|b→|＝3，|可得a→2+2則|a故答案為：34．5．在△ABC中，AD→=34DC→，P是直線BD上一點(diǎn)，若AP→【答案】-2【解析】在△ABC中，AD→=34DC→，故可設(shè)BP→所以AP→又AD→=3所以AP→=(1-t)AB所以t=75，故答案為：-26．已知點(diǎn)A（2，﹣1，1），B（3，﹣2，1），C（0，1，﹣1），則AB→在AC→上的投影向量的模為2【答案】23【解析】因?yàn)锳（2，﹣1，1），B（3，﹣2，1），C（0，1，﹣1），所以AB→=(3，-2，1)-(2，-1，1)=(1，-1，0)，所以AB→?AC所以AB→在AC→上的投影向量的模為故答案為：237．已知向量a→=（2，m），b→=（﹣1，m），若2a→+b→【答案】5．【解析】向量a→=（2，m），b→則2a又2a→+所以(2a→+b所以|a故答案為：5．8．已知向量a→，b→滿足|a→|＝2，|a→+2b→|＝|【答案】2．【解析】由|a→+2b→|＝|a→-b→|，可得（a→+即|a→|2+4a→?b→+4|b→|2＝|a→|2﹣2a→?b→+|b→|所以（a→+b→）2＝|a→|2+2a→?b→+|b→故答案為：2．9．設(shè)θ為非零向量a→與b→的夾角，定義：|a→×b→|=|a→|?|【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解析】由已知，可得cosθ=a而0≤θ≤π，因此sinθ=1-co所以|a故答案為：6．10．在△ABC中，點(diǎn)M，N滿足AM→=3MC→，BN→=NC→．若MN→=xAB【答案】12【解析】△ABC中，點(diǎn)M，N滿足AM→=3MC如圖：MN→故x=1故答案為：12二．解答題（共20小題）11．計(jì)算：（1）(-3)×4a（2）3(a（3）(2a（4）AB→（5）NQ→【答案】（1）-12a（2）5b（3）-a（4）CB→（5）0→【解析】（1）(-3)×4a（2）3(a（3）(2=-a（4）AB→（5）NQ→12．已知|a→|=1，|（1）計(jì)算a→?b（2）求a→+b【答案】（1）a→（2）27【解析】（1）由題可得a→|a→+（2）∵(a設(shè)a→+b→和所以cosθ=(13．已知|a→|=4，|b→（1）(2a（2）|a【答案】（1）61；（2）13．【解析】（1）∵|a→|=4，|b→∴a→∴(2a（2）|a14．已知向量a→與b→的夾角為120°，且|a（1）計(jì)算：|4a（2）若(2a→+【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解析】（1）∵向量a→與b→的夾角為120°，且|a∴|4=16×4+4×16-16×2×4cos120°＝83．（2）∵(2a∴(2＝2ka→2+（＝2k×4+（k﹣2）×2×4cos120°﹣16＝0，解得k＝2．15．已知向量a→與b→的夾角為120°，且|a→（1）計(jì)算：|4a→（2）當(dāng)k為何值時(shí)，（a→+2b→【答案】（1）83（2）﹣7．【解析】（1）∵|a∴a→∴|4a（2）∵(a∴(a∴ka化簡(jiǎn)得k＝﹣7．16．已知向量α→和β→的夾角φ=2π3，|（1）|α→+β（2）（3α→-2β→）?（α【答案】（1）13；（2）﹣61．【解析】（1）|α→+β→|2＝（α→+（2）（3α→-2β→）?（α→+2β→）＝3α→2+4α17．設(shè)|a→|＝3，|b→|＝2，|c→|＝5，向量a→與b→的夾角為π6，向量（1）|（a→?b→）?（2）|a→?（b→?【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解析】（1）a→?b→=|a→|?|b→|?cosπ則|（a→?b→）?c→|＝33|c→|＝3（2）b→?c→=|b→|?|c→則|a→?（b→?c→18．已知|a→|＝4，|b→|＝6，a→（1）（a→+2b（2）|4a→【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解析】（1）(a（2）|4a19．計(jì)算：（1）已知a→=（﹣2，3），b→=（2，5），（2）已知a→=（5，7），b→=（﹣2，﹣1），求2【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解析】（1）根據(jù)題意，a→=（﹣2，3），b→則a→（2）根據(jù)題意，a→=（5，7），2a→=（10，14），52a→-520．已知a→=(2，-1)，（1）求向量a→（2）求向量a→，b→的夾角【答案】（1）（﹣4，﹣3）；（2）π4【解析】（1）因?yàn)閍→=(2，-1)，b→（2）a→=(2，-1)，則cosθ=a因?yàn)棣取蔥0，π]，所以向量a→，b→的夾角21．如圖，在△ABC中，AM→=12AB→，（1）用a→，b→表示AN→（2）若P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且BP→=-49a→+【答案】（1）AN→=1（2）證明見(jiàn)解答．【解析】（1）由題可知，AN→MN→（2）證明：由BP→可得MP→因?yàn)镸N→=3MP所以M，P，N三點(diǎn)共線．22．已知向量a→=(2cos2x，3)（1）求函數(shù)g（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且f（C）＝3，c＝1，ab=23，且a＞b，且a，b【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解析】（1）b→∴g(x)=b∴函數(shù)g（x）的最小正周期T=2π（2）∵a→=(2cos∴f(x)==2cos則f(C)=2sin(2C+π∴sin(2C+π∵C是三角形內(nèi)角，∴2C+π6∈(π6∴cosC=b∵c＝1，ab=23，∴a2+b2聯(lián)立a2+b2∴a=3當(dāng)a=3時(shí)，b＝2；當(dāng)a＝2，b=∵a＞b，∴a＝2，b=323．如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D滿足AB→=3AD→，點(diǎn)E滿足BC→=3BE→，點(diǎn)（1）用a→，b→表示（2）若△ABC的邊長(zhǎng)為2，試求CD→與EF【答案】（1）EF→=1【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)E滿足BC→=3BE→，點(diǎn)所以EF→（2）因?yàn)辄c(diǎn)D滿足AB→所以CD→因?yàn)榈冗叀鰽BC的邊長(zhǎng)為2，所以a→所以|EF|CDEF→所以cos＜CD24．已知向量a→=(1，2)，b→（1）求|c（2）若向量d→=(5，2)，試用a→（3）若c→∥ka【答案】（1）53；（2）d→（3）k＝﹣1．【解析】（1）根據(jù)a→=（1，2），b→所以|c（2）根據(jù)題意，a→與b→不共線，因此設(shè)d→=xa→+y所以（5，2）＝x（1，2）+y（﹣3，2），可得x-3y=52x+2y=2解得x＝2，y＝﹣1，可得d→（3）由題意得ka→+2b→=k（1，2）+2（﹣3，2）＝（因?yàn)閏→=（7，﹣2），且c→∥ka→+2b→，所以﹣2（25．已知向量a→=(2，-2)，|b（Ⅰ）求向量a→與b（Ⅱ）求|2a（Ⅲ）若向量ka→+b→【答案】（Ⅰ）π4；（Ⅱ）4；（Ⅲ）-1±【解析】（Ⅰ）∵向量a→∴|a→|=又(2a∴2a→?∴cos＜a→，b→＞=a→?b∴＜a→，（Ⅱ）由（Ⅰ）可知(2a∴|2a（Ⅲ）∵向量ka→+∴(ka∴ka∴8k+8（1﹣k2）﹣16k＝0，k2+k﹣1＝0，∴k=-1±26．如圖，在菱形ABCD中，BE→（1）若EF→=xAB→+y（2）若|AB→|=3，∠BAD=60°【答案】（1）0；（2）﹣3．【解析】（1）因?yàn)樵诹庑蜛BCD中，BE→故EF→又EF→則x=-2所以3x+4y＝0．（2）由題意可得：AE→所以AE→因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，且|AB故|AD所以AB→故AE→27．已知a→（1）若AB→=2a→-b→，BC（2）當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，ka→-【答案】（1）-1（2）125【解答】解；（1）由題意可得，AB→且A、B、C三點(diǎn)共線，則可得AB→即0=λ(1+2m)-1=λm，解得m=-（2）由題意可得，ka因?yàn)閗a→-b→與a28．已知向量a→=(1，2)，（1）若(a→+（2）若t＝1，a→與a→+m【答案】（1）t=-74或（2）(-5【解析】（1）因?yàn)閍→=(1，2)，所以a→+(a則(a故2×（﹣3）+（2+t）×（10﹣8t）＝0，即4t2+3t﹣7＝0，解得t=-74或（2）當(dāng)t＝1時(shí)b→=(1，1)，a→與a則a→?(a→+m故1×(1+m)+2×(2+m)＞01×(2+m)-2×(1+m)≠0，解得m＞-故m的取值范圍是(-529．已知向量a→=(1，3)，（1）a→（2）|3a（3）(a【答案】（1）17；（2）1