Chapter5BendingStressinBeams第5章梁的彎曲應(yīng)力1.Introduction引言梁（beam）是機(jī)械與建筑結(jié)構(gòu)中最常見的細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件（slendermember），其主要功能是承受橫向載荷（transverseload，如重力、集中力或分布力）并將載荷傳遞至支撐結(jié)構(gòu)。在橫向載荷作用下，梁的主要變形形式為彎曲（bending），即軸線由直線變?yōu)榍€。彎曲應(yīng)力（bendingstress）是梁設(shè)計(jì)的核心參數(shù)之一，直接決定了梁的強(qiáng)度（strength）與安全性（safety）。本章將基于平面假設(shè)（planesectionassumption）與胡克定律（Hooke'sLaw），推導(dǎo)純彎曲（purebending）時(shí)的彎曲正應(yīng)力公式，并通過示例說明其工程應(yīng)用。2.BasicConcepts基本概念2.1梁（Beam）梁是指承受橫向載荷的細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件，其長(zhǎng)度（length）遠(yuǎn)大于截面尺寸（cross-sectionaldimension，如寬度、高度）。常見的梁類型包括：簡(jiǎn)支梁（simplysupportedbeam）：兩端鉸支（hingedsupport），可自由轉(zhuǎn)動(dòng)但不能移動(dòng)；懸臂梁（cantileverbeam）：一端固定（fixedsupport），另一端自由（freeend）；連續(xù)梁（continuousbeam）：跨越多個(gè)支撐的梁。2.2純彎曲（PureBending）純彎曲是指梁的某一段內(nèi)只有彎矩（bendingmoment）而無剪力（shearforce）的情況。例如，簡(jiǎn)支梁中間受集中載荷時(shí)，跨中區(qū)域（mid-spanregion）的剪力為零，僅存在彎矩，屬于純彎曲狀態(tài)。純彎曲是彎曲應(yīng)力分析的理想模型（idealmodel），其結(jié)論可推廣至一般彎曲（generalbending）情況（存在剪力但影響較小）。3.PlaneSectionAssumption平面假設(shè)平面假設(shè)是彎曲應(yīng)力分析的基礎(chǔ)，其內(nèi)容為：>梁變形前的平面橫截面（planecross-section），變形后仍然保持平面，且垂直于變形后的梁軸線（axisofthebeam）。該假設(shè)簡(jiǎn)化了應(yīng)變（strain）與應(yīng)力（stress）的分布分析。如圖5-1所示（注：教材中此處應(yīng)有示意圖，展示梁彎曲前后的橫截面變化），變形前的橫截面ABCD，變形后變?yōu)锳'B'C'D'，仍保持平面且垂直于彎曲后的軸線（圓弧線）。4.StrainDistributioninPureBending純彎曲時(shí)的應(yīng)變分布根據(jù)平面假設(shè)，梁彎曲后，橫截面繞中性軸（neutralaxis，NA）轉(zhuǎn)動(dòng)。中性軸是橫截面內(nèi)既不伸長(zhǎng)也不縮短的纖維（fiber）所在的軸線，其位置由截面形狀與材料均勻性決定（對(duì)于對(duì)稱截面，中性軸與截面形心軸重合）。設(shè)梁變形前的長(zhǎng)度為\(L\)，彎曲后變?yōu)榘霃綖閈(\rho\)的圓?。╝rc），圓心角為\(\theta\)（rad）。對(duì)于距離中性軸\(y\)處的纖維，其變形后的長(zhǎng)度為：\[L'=(\rho+y)\theta\]原始長(zhǎng)度為：\[L=\rho\theta\]因此，該纖維的正應(yīng)變（normalstrain）為：\[\varepsilon=\frac{\DeltaL}{L}=\frac{L'-L}{L}=\frac{y\theta}{\rho\theta}=\frac{y}{\rho}\]5.StressDistributionandBendingStressFormula應(yīng)力分布與彎曲應(yīng)力公式5.1應(yīng)力分布（StressDistribution）根據(jù)胡克定律（適用于彈性變形，elasticdeformation），正應(yīng)力（normalstress）與正應(yīng)變的關(guān)系為：\[\sigma=E\varepsilon\]其中，\(E\)為材料的彈性模量（modulusofelasticity），單位為帕斯卡（Pa），反映材料抵抗彈性變形的能力。將應(yīng)變公式代入胡克定律，得：\[\sigma=E\cdot\frac{y}{\rho}=\frac{E}{\rho}\cdoty\]5.2彎曲正應(yīng)力公式（BendingNormalStressFormula）彎矩是截面上應(yīng)力的合力矩（resultantmoment）。取橫截面的微元面積\(dA\)（如圖5-2所示），其上的力為\(dF=\sigmadA\)，該力對(duì)中性軸的力矩為\(dM=y\cdotdF\)。對(duì)整個(gè)橫截面積分（integrate），得總彎矩：\[M=\int_Ay\cdotdF=\int_Ay\cdot\sigmadA\]將應(yīng)力公式\(\sigma=\frac{E}{\rho}y\)代入，得：\[M=\frac{E}{\rho}\int_Ay^2dA\]其中，\(\int_Ay^2dA\)為橫截面對(duì)中性軸的慣性矩（momentofinertia），記為\(I\)（單位：\(m^4\)）。慣性矩是衡量截面抵抗彎曲變形能力的幾何參數(shù)（geometricparameter），其值越大，截面抵抗彎曲的能力越強(qiáng)。整理得：\[\frac{1}{\rho}=\frac{M}{EI}\]該式稱為彎曲曲率公式（curvatureformula），其中\(zhòng)(EI\)為抗彎剛度（flexuralrigidity），反映梁抵抗彎曲變形的能力。將\(\frac{1}{\rho}=\frac{M}{EI}\)代入應(yīng)力公式，得純彎曲時(shí)的彎曲正應(yīng)力公式：\[\sigma=\frac{My}{I}\]符號(hào)說明：\(\sigma\)：彎曲正應(yīng)力（拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)），單位：Pa（\(1\,\text{Pa}=1\,\text{N/m}^2\)）；\(M\)：作用在該橫截面的彎矩（單位：\(\text{N·m}\)）；\(y\)：所求應(yīng)力點(diǎn)到中性軸的距離（單位：\(\text{m}\)）；\(I\)：橫截面對(duì)中性軸的慣性矩（單位：\(\text{m}^4\)）。6.MaximumBendingStress最大彎曲應(yīng)力6.1最大應(yīng)力位置由應(yīng)力公式\(\sigma=\frac{My}{I}\)可知，最大彎曲正應(yīng)力（maximumbendingnormalstress）出現(xiàn)在離中性軸最遠(yuǎn)的位置（\(y=y_{\text{max}}\)，\(y_{\text{max}}\)為截面邊緣到中性軸的最大距離）。因此：\[\sigma_{\text{max}}=\frac{My_{\text{max}}}{I}\]6.2截面模量（SectionModulus）為簡(jiǎn)化計(jì)算，引入截面模量（記為\(W\)，單位：\(\text{m}^3\)），定義為：\[W=\frac{I}{y_{\text{max}}}\]則最大彎曲正應(yīng)力公式可簡(jiǎn)化為：\[\sigma_{\text{max}}=\frac{M}{W}\]截面模量是工程設(shè)計(jì)中常用的參數(shù)，直接反映了截面抵抗彎曲的能力——\(W\)越大，截面抵抗彎曲的能力越強(qiáng)。常見截面的慣性矩與截面模量如下：截面形狀慣性矩（\(I\)）截面模量（\(W\)）矩形（矩形）\(I=\frac{bh^3}{12}\)\(W=\frac{bh^2}{6}\)圓形（圓形）\(I=\frac{\pid^4}{64}\)\(W=\frac{\pid^3}{32}\)工字形（I-section）需查標(biāo)準(zhǔn)截面參數(shù)（如GB/T706）需查標(biāo)準(zhǔn)截面參數(shù)注：\(b\)為矩形截面寬度（width），\(h\)為矩形截面高度（height），\(d\)為圓形截面直徑（diameter）。7.Example示例：簡(jiǎn)支梁彎曲應(yīng)力計(jì)算7.1問題描述某機(jī)械系統(tǒng)中采用一根矩形截面簡(jiǎn)支梁（如圖5-3所示），跨度\(L=2\,\text{m}\)，跨中受集中載荷\(P=1000\,\text{N}\)。梁的截面尺寸為：寬度\(b=0.1\,\text{m}\)，高度\(h=0.2\,\text{m}\)。材料為Q235鋼，彈性模量\(E=200\,\text{GPa}\)（\(200\times10^9\,\text{Pa}\)），許用應(yīng)力\([\sigma]=150\,\text{MPa}\)（\(150\times10^6\,\text{Pa}\)）。要求：1.計(jì)算梁的最大彎曲正應(yīng)力\(\sigma_{\text{max}}\)；2.檢查梁是否滿足強(qiáng)度要求（\(\sigma_{\text{max}}\leq[\sigma]\)）。7.2解答步驟（1）計(jì)算最大彎矩（MaximumBendingMoment）簡(jiǎn)支梁跨中受集中載荷時(shí)，最大彎矩位于跨中截面，計(jì)算公式為：\[M_{\text{max}}=\frac{PL}{4}\]代入數(shù)值：\[M_{\text{max}}=\frac{1000\times2}{4}=500\,\text{N·m}\]（2）計(jì)算截面慣性矩（MomentofInertia）矩形截面的慣性矩公式為：\[I=\frac{bh^3}{12}\]代入數(shù)值：\[I=\frac{0.1\times(0.2)^3}{12}=\frac{0.1\times0.008}{12}\approx6.667\times10^{-5}\,\text{m}^4\]（3）計(jì)算最大彎曲正應(yīng)力（MaximumBendingStress）最大彎曲正應(yīng)力公式為：\[\sigma_{\text{max}}=\frac{M_{\text{max}}y_{\text{max}}}{I}\]其中，矩形截面的最大距離\(y_{\text{max}}=\frac{h}{2}=0.1\,\text{m}\)，代入得：\[\sigma_{\text{max}}=\frac{500\times0.1}{6.667\times10^{-5}}\approx7.5\times10^6\,\text{Pa}=7.5\,\text{MPa}\]（4）強(qiáng)度檢查（StrengthCheck）許用應(yīng)力\([\sigma]=150\,\text{MPa}\)，計(jì)算得\(\sigma_{\text{max}}=7.5\,\text{MPa}<[\sigma]\)，因此該梁滿足強(qiáng)度要求。8.Conclusion結(jié)論1.彎曲正應(yīng)力公式\(\sigma=\frac{My}{I}\)是梁設(shè)計(jì)的核心公式，其推導(dǎo)基于平面假設(shè)與胡克定律，適用于彈性范圍內(nèi)的純彎曲情況；2.彎曲應(yīng)力分布呈線性，最大應(yīng)力出現(xiàn)在離中性軸最遠(yuǎn)的位置，設(shè)計(jì)時(shí)需重點(diǎn)校核該位置的應(yīng)力；3.截面模量\(W=\frac{I}{y_{\text{max}}}\)是衡量截面抵抗彎曲能力的關(guān)鍵參數(shù)，增大截面模量（如增加截面高度、采用工字形截面）可有效提高梁的彎曲強(qiáng)度；4.工程設(shè)計(jì)中，需確保梁的最大彎曲應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力（\(\sigma_{\text{max}}\leq[\sigma]\)），以保證梁的安全性與可靠性。9.Exercises習(xí)題（可選）1.一根圓形截面簡(jiǎn)支梁，跨度\(L=3\,\text{m}\)，跨中受集中載荷\(P=1500\,\text{N}\)，直徑\(d=0.1\,\text{m}\)，許用應(yīng)力\([\sigma]=120\,\text{MPa}\)。試計(jì)算最大彎曲應(yīng)力并檢查強(qiáng)度。2.某懸臂梁（長(zhǎng)度\(L=1.5\,\text{m}\)）的自由端受集中載荷\(P=800\,\text{N}\)，采用矩形截面（\(b=0.08\,\text{m}\)，\(h=0.15\,\text{m}\)）。試計(jì)算跨中截面的彎曲應(yīng)力。（答案：1.\(\si