全國高考理數試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.已知集合\(A=\{x|x^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{x|0<x<5,x\inN\}\)，則\(A\capB\)等于（）A.\(\{1,2\}\)B.\(\{1,2,3,4\}\)C.\(\{0,1,2\}\)D.\(\varnothing\)2.復數\(z=\frac{1+2i}{1-i}\)，則\(\vertz\vert\)等于（）A.\(\frac{\sqrt{10}}{2}\)B.\(\frac{5}{2}\)C.\(\frac{\sqrt{5}}{2}\)D.\(\sqrt{10}\)3.已知向量\(\vec{a}=(1,m)\)，\(\vec=(3,-2)\)，且\((\vec{a}+\vec)\perp\vec\)，則\(m\)的值為（）A.-8B.-6C.6D.84.若雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)\)的一條漸近線方程為\(y=\sqrt{3}x\)，則其離心率為（）A.2B.\(\sqrt{3}\)C.\(\frac{2\sqrt{3}}{3}\)D.\(\frac{\sqrt{5}}{2}\)5.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，則\(\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})\)等于（）A.\(\frac{1}{7}\)B.7C.-\(\frac{1}{7}\)D.-76.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的\(x=2\)，則輸出的\(y\)值為（）（程序框圖略）A.2B.4C.8D.167.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：\(cm\)），則該幾何體的體積是（）（三視圖略）A.\(8cm^3\)B.\(12cm^3\)C.\(\frac{32}{3}cm^3\)D.\(\frac{40}{3}cm^3\)8.已知\(f(x)\)是定義在\(R\)上的偶函數，且在\([0,+\infty)\)上單調遞增，則滿足\(f(x-1)<f(3)\)的\(x\)的取值范圍是（）A.\((-2,4)\)B.\((-1,3)\)C.\((-3,1)\)D.\((-4,2)\)9.設\(a=\log_{3}6\)，\(b=\log_{5}10\)，\(c=\log_{7}14\)，則（）A.\(c>b>a\)B.\(b>c>a\)C.\(a>c>b\)D.\(a>b>c\)10.已知函數\(f(x)=2\sin(\omegax+\varphi)(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2})\)的部分圖象如圖所示，則\(\omega\)，\(\varphi\)的值分別是（）（函數圖象略）A.\(\omega=2\)，\(\varphi=\frac{\pi}{6}\)B.\(\omega=2\)，\(\varphi=-\frac{\pi}{6}\)C.\(\omega=\frac{1}{2}\)，\(\varphi=\frac{\pi}{6}\)D.\(\omega=\frac{1}{2}\)，\(\varphi=-\frac{\pi}{6}\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數中，在\((0,+\infty)\)上單調遞增的是（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\sqrt{x}\)C.\(y=2^x\)D.\(y=\lnx\)2.已知\(a,b\inR\)，則下列不等式成立的是（）A.\(a^2+b^2\geq2ab\)B.\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)（\(a,b\geq0\)）C.\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)（\(a,b\geq0\)）D.\(a^2+b^2\geq\frac{(a+b)^2}{2}\)3.以下哪些是等差數列的性質（）A.若\(m+n=p+q\)，則\(a_m+a_n=a_p+a_q\)B.\(a_n=a_1+(n-1)d\)C.\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)D.\(a_{n+1}-a_n=d\)（\(d\)為常數）4.已知直線\(l_1:ax+y+1=0\)，\(l_2:x+ay+1=0\)，則下列說法正確的是（）A.當\(a=1\)時，\(l_1\)與\(l_2\)重合B.當\(a=-1\)時，\(l_1\)與\(l_2\)平行C.當\(a\neq\pm1\)時，\(l_1\)與\(l_2\)相交D.\(l_1\)與\(l_2\)不可能垂直5.已知\(\alpha\)，\(\beta\)是兩個不同的平面，\(m\)，\(n\)是兩條不同的直線，則下列命題正確的是（）A.若\(m\parallel\alpha\)，\(n\parallel\alpha\)，則\(m\paralleln\)B.若\(m\subset\alpha\)，\(n\subset\beta\)，\(\alpha\parallel\beta\)，則\(m\paralleln\)C.若\(m\perp\alpha\)，\(n\perp\beta\)，\(\alpha\parallel\beta\)，則\(m\paralleln\)D.若\(m\perp\alpha\)，\(n\subset\alpha\)，則\(m\perpn\)6.下列關于函數\(y=\sinx\)與\(y=\cosx\)的說法正確的是（）A.它們的最小正周期都是\(2\pi\)B.\(y=\sinx\)的對稱軸方程是\(x=k\pi+\frac{\pi}{2}(k\inZ)\)C.\(y=\cosx\)的對稱中心是\((k\pi+\frac{\pi}{2},0)(k\inZ)\)D.它們的值域都是\([-1,1]\)7.已知函數\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數，當\(x\geq0\)時，\(f(x)=x^2-2x\)，則下列說法正確的是（）A.\(f(-1)=1\)B.當\(x<0\)時，\(f(x)=-x^2-2x\)C.\(f(x)\)的單調遞增區(qū)間是\((-\infty,-1)\)和\((1,+\infty)\)D.\(f(x)\)的圖象關于原點對稱8.已知\(\triangleABC\)的內角\(A\)，\(B\)，\(C\)所對的邊分別為\(a\)，\(b\)，\(c\)，則下列條件能確定\(\triangleABC\)是直角三角形的是（）A.\(a^2+b^2=c^2\)B.\(A=\frac{\pi}{2}\)C.\(\sinC=\sinA\cosB\)D.\(a=1\)，\(b=\sqrt{3}\)，\(c=2\)9.已知拋物線\(y^2=2px(p>0)\)的焦點為\(F\)，準線為\(l\)，過點\(F\)的直線交拋物線于\(A\)，\(B\)兩點，則（）A.以\(AB\)為直徑的圓與準線\(l\)相切B.\(\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=\frac{2}{p}\)C.若\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，則\(y_1y_2=-p^2\)D.弦長\(\vertAB\vert\)的最小值為\(2p\)10.已知函數\(f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2-3x+1\)，則（）A.\(f(x)\)的極大值為\(\frac{10}{3}\)B.\(f(x)\)的極小值為\(-8\)C.\(f(x)\)在\((-\infty,-1)\)上單調遞增D.\(f(x)\)在\((3,+\infty)\)上單調遞增三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.若\(a>b\)，則\(a^2>b^2\)。（）3.函數\(y=\tanx\)的定義域是\(\{x|x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\}\)。（）4.若向量\(\vec{a}\)，\(\vec\)滿足\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，則\(\vec{a}\perp\vec\)。（）5.直線\(x+y+1=0\)的傾斜角是\(45^{\circ}\)。（）6.若等比數列\(zhòng)(\{a_n\}\)的公比\(q>1\)，則該數列單調遞增。（）7.對于函數\(y=f(x)\)，若\(f(a)f(b)<0\)，則函數在區(qū)間\((a,b)\)內至少有一個零點。（）8.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)\)的離心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(c\)為半焦距）。（）9.若函數\(y=f(x)\)是偶函數，則\(f(x)=f(-x)\)對于定義域內任意\(x\)都成立。（）10.已知\(a,b\inR\)，若\(a+b=0\)，則\(a\)，\(b\)互為相反數。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的單調遞增區(qū)間。答：令\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leq2x+\frac{\pi}{3}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}(k\inZ)\)，解不等式得\(k\pi-\frac{5\pi}{12}\leqx\leqk\pi+\frac{\pi}{12}(k\inZ)\)，所以單調遞增區(qū)間是\([k\pi-\frac{5\pi}{12},k\pi+\frac{\pi}{12}](k\inZ)\)。2.已知等差數列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，求其通項公式\(a_n\)。答：設公差為\(d\)，\(a_3=a_1+2d\)，即\(5=1+2d\)，解得\(d=2\)，則\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。3.求過點\((1,2)\)且與直線\(2x-y+1=0\)平行的直線方程。答：已知直線斜率\(k=2\)，所求直線與之平行斜率也為\(2\)，由點斜式\(y-y_0=k(x-x_0)\)，得\(y-2=2(x-1)\)，整理得\(2x-y=0\)。4.已知\(\tan\alpha=3\)，求\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)的值。答：將\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)分子分母同時除以\(\cos\alpha\)得\(\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}\)，把\(\tan\alpha=3\)代入得\(\frac{3+1}{3-1}=2\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(y=x^3-3x\)的單調性與極值情況。答：對\(y=x^3-3x\)求導得\(y^\prime=3x^2-3=3(x+1)(x-1)\)。令\(y^\prime>0\)，得\(x<-1\)或\(x>1\)，函數遞增；令\(y^\prime<0\)，得\(-1<x<1\)，函數遞減。極大值\(y(-1)=2\)，極小值\(y(1)=-2\)。2.探討在立體幾何中，如何證明面面垂直？答：可以通過證明一個平面經過另一個平面的一條垂線來證面面垂直。即若直線\(l\perp\beta\)，\(l\subset\alpha\)，則\(\alpha\perp\beta\)。也可通過計算二面角為\(90^{\circ}\)來證明，但通常前者更常用。3.已知橢圓和雙曲線有共同焦點，討論它們的性質聯系與區(qū)別。答：聯系：都有焦點、離心率等概念，且共焦點時滿足\(c^2\)相同（\(c\)為半焦距）。區(qū)別：橢圓\(a^2=b^2+c^2\)，離心率\(0<e<1\)；雙曲線\(c^2=a^2+b^2\)，離心率\(e>1\)。橢圓是