2025年教師資格考試初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)面試試題與參考答案一、試講題目勾股定理的逆定理二、試講內(nèi)容（教材節(jié)選）請(qǐng)根據(jù)以下教材內(nèi)容設(shè)計(jì)教學(xué)：“前面我們學(xué)習(xí)了勾股定理，知道了直角三角形的三邊滿足a2+b2=c2（其中c為斜邊）。反過來(lái)，如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)度a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是否一定是直角三角形呢？這就是我們本節(jié)課要探究的內(nèi)容——勾股定理的逆定理。請(qǐng)同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的三組小木棒（長(zhǎng)度分別為3cm、4cm、5cm；5cm、12cm、13cm；6cm、8cm、10cm），以小組為單位，用這些小木棒擺出三角形，并用量角器測(cè)量最大角的度數(shù)。觀察測(cè)量結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？通過實(shí)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)，這三組小木棒擺出的三角形都是直角三角形，且滿足較小兩邊的平方和等于最大邊的平方。由此可以猜想：如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。為了驗(yàn)證這一猜想，我們可以構(gòu)造一個(gè)直角三角形，使它的兩條直角邊分別為a、b，那么它的斜邊長(zhǎng)度應(yīng)為√(a2+b2)=c。根據(jù)SSS（邊邊邊）全等判定定理，原三角形與構(gòu)造的直角三角形全等，因此原三角形也是直角三角形。這就證明了勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中c為斜邊?！比?、基本要求1.結(jié)合生活實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“觀察-猜想-驗(yàn)證-歸納”的定理探索過程；2.設(shè)計(jì)小組合作活動(dòng)，幫助學(xué)生理解逆定理的推導(dǎo)邏輯；3.規(guī)范板書，體現(xiàn)知識(shí)生成過程與核心結(jié)論；4.教學(xué)時(shí)間10分鐘左右。參考答案一、試講逐字稿（上課鈴響）師：同學(xué)們好，請(qǐng)坐。上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了勾股定理，誰(shuí)能回憶一下它的內(nèi)容？生1：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，也就是a2+b2=c2，其中c是斜邊。師：回答得很準(zhǔn)確！那老師現(xiàn)在有個(gè)問題：如果一個(gè)三角形的三邊滿足a2+b2=c2，它一定是直角三角形嗎？比如，工人師傅蓋房子時(shí)，需要確定地基的一個(gè)角落是否為直角，他只帶了一根卷尺，量出兩邊長(zhǎng)分別是3米和4米，第三邊是5米，就說這個(gè)角落是直角。他的依據(jù)是什么呢？這就是我們今天要解決的問題——勾股定理的逆定理。（板書：17.2勾股定理的逆定理）環(huán)節(jié)一：實(shí)驗(yàn)探究，提出猜想師：請(qǐng)大家拿出課前準(zhǔn)備的三組小木棒（3cm、4cm、5cm；5cm、12cm、13cm；6cm、8cm、10cm），以4人小組為單位完成兩個(gè)任務(wù)：第一，用每組木棒擺出三角形；第二，用量角器測(cè)量每個(gè)三角形的最大角。3分鐘后，每組派代表匯報(bào)結(jié)果。（學(xué)生分組活動(dòng)，教師巡視指導(dǎo)，提醒學(xué)生注意“最大角”的測(cè)量方法：將量角器的中心與頂點(diǎn)重合，0刻度線與一邊對(duì)齊，讀取另一邊的刻度。）師：第一組同學(xué)，你們的測(cè)量結(jié)果是什么？生2：3cm、4cm、5cm的三角形，最大角是90度；5cm、12cm、13cm的三角形，最大角也是90度；6cm、8cm、10cm的三角形，最大角同樣是90度！師：其他小組的結(jié)果一致嗎？生（齊）：一致！師：觀察這三組數(shù)據(jù)，它們的邊長(zhǎng)有什么共同特征？生3：32+42=52，52+122=132，62+82=102，都是較小兩邊的平方和等于最大邊的平方。師：結(jié)合實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，我們可以猜想：如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形，且c邊所對(duì)的角是直角。（板書猜想：a2+b2=c2→直角三角形，c為斜邊）環(huán)節(jié)二：邏輯驗(yàn)證，歸納定理師：猜想是否正確？需要嚴(yán)格證明。我們可以用“構(gòu)造法”來(lái)驗(yàn)證。假設(shè)△ABC的三邊a、b、c滿足a2+b2=c2，現(xiàn)在構(gòu)造一個(gè)直角三角形△A'B'C'，其中∠C'=90°，A'C'=a，B'C'=b。根據(jù)勾股定理，A'B'的長(zhǎng)度是多少？生4：√(a2+b2)=c。師：對(duì)！所以A'B'=c，而△ABC的邊AB=c，因此△ABC和△A'B'C'的三邊分別相等（A'B'=AB=c，A'C'=AC=a，B'C'=BC=b）。根據(jù)SSS全等判定定理，△ABC≌△A'B'C'，所以∠C=∠C'=90°，即△ABC是直角三角形。這就證明了我們的猜想是正確的?。ò鍟ɡ恚喝绻切蔚娜呴L(zhǎng)a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中c為斜邊）環(huán)節(jié)三：聯(lián)系生活，鞏固應(yīng)用師：現(xiàn)在回到課前的問題，工人師傅量出3米、4米、5米，因?yàn)?2+42=52，所以這個(gè)角落是直角。這就是逆定理的應(yīng)用。接下來(lái)我們做幾道練習(xí)題。（PPT展示題目）1.下列各組數(shù)能否作為直角三角形的三邊長(zhǎng)？（1）7，24，25；（2）5，8，10。2.一個(gè)三角形的三邊為a=2n2+2n，b=2n+1，c=2n2+2n+1（n>0），判斷它是否為直角三角形。（學(xué)生獨(dú)立思考，教師請(qǐng)兩位同學(xué)上臺(tái)板演）生5：第（1）題，72+242=49+576=625=252，所以是直角三角形；第（2）題，52+82=25+64=89≠102=100，所以不是。生6：計(jì)算a2+b2=(2n2+2n)2+(2n+1)2=4n?+8n3+4n2+4n2+4n+1=4n?+8n3+8n2+4n+1；c2=(2n2+2n+1)2=4n?+8n3+8n2+4n+1，所以a2+b2=c2，是直角三角形。師：兩位同學(xué)的解答都正確！第2題需要先展開平方再比較，這提醒我們遇到含字母的邊長(zhǎng)時(shí)，要耐心計(jì)算。環(huán)節(jié)四：總結(jié)提升，布置作業(yè)師：通過今天的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？生7：知道了勾股定理的逆定理，能根據(jù)三邊關(guān)系判斷直角三角形。生8：學(xué)習(xí)了用構(gòu)造全等三角形的方法證明定理，體會(huì)了“猜想-驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)思想。師：總結(jié)得很好！勾股定理是“直角三角形→三邊關(guān)系”，逆定理是“三邊關(guān)系→直角三角形”，它們是互逆的命題。課后請(qǐng)完成：必做題：課本第34頁(yè)練習(xí)1、2；選做題：查閱資料，了解古埃及人用“3-4-5三角形”確定直角的方法，并寫一篇500字的數(shù)學(xué)小短文。二、答辯參考答案1.問題：勾股定理與其逆定理有何聯(lián)系與區(qū)別？答：聯(lián)系：兩者都涉及直角三角形的三邊關(guān)系，是互逆命題（勾股定理的題設(shè)是“直角三角形”，結(jié)論是“a2+b2=c2”；逆定理的題設(shè)是“a2+b2=c2”，結(jié)論是“直角三角形”）。區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，用于已知直角求邊長(zhǎng)；逆定理是直角三角形的判定定理，用于已知邊長(zhǎng)判定是否為直角三角形。2.問題：本節(jié)課設(shè)計(jì)小組測(cè)量活動(dòng)的意圖是什么？答：主要有三點(diǎn)：第一，通過動(dòng)手操作激發(fā)學(xué)生興趣，符合初中生“從具體到抽象”的認(rèn)知規(guī)律；第二，讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中觀察數(shù)據(jù)特征，主動(dòng)提出猜想，培養(yǎng)探究能力；第三，小組合作能促進(jìn)交流，增強(qiáng)團(tuán)隊(duì)意識(shí)，同時(shí)通過測(cè)量誤差的討論（如量角器精度問題），滲透“數(shù)學(xué)結(jié)論需要嚴(yán)格證明”的嚴(yán)謹(jǐn)性思維。3.問題：若學(xué)生提出“邊長(zhǎng)為3、4、5的三角形是直角三角形，那所有滿足a2+b2=c2的三角形都一定是直角三角形嗎？”，你會(huì)如何引導(dǎo)？答：首先肯定學(xué)生的問題意識(shí)，這正是本節(jié)課