第五章

連續(xù)系統(tǒng)的

域分析信號(hào)與系統(tǒng)復(fù)頻率：

內(nèi)容綱要1.拉普拉斯變換的定義2.常用信號(hào)的拉氏變換

3.拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系5.1拉普拉斯變換5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)5.3拉普拉斯逆變換5.4復(fù)頻域分析1.拉氏變換求解微分方程2.系統(tǒng)函數(shù)的定義3.系統(tǒng)的S域框圖4.電路的S域模型信號(hào)分析系統(tǒng)分析5.1拉普拉斯變換信號(hào)與系統(tǒng)主講人：吉利萍西安郵電大學(xué)5.1拉普拉斯變換皮埃爾-西蒙·拉普拉斯他長(zhǎng)期從事大行星運(yùn)動(dòng)理論和月球運(yùn)動(dòng)理論方面的研究，發(fā)表巨著《天體力學(xué)》，第一次提出天體力學(xué)的名詞，是經(jīng)典天體力學(xué)的代表作。被譽(yù)為法國(guó)的牛頓和天體力學(xué)之父，是天體力學(xué)的主要奠基人。法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，法國(guó)科學(xué)院院士。1749年3月生于法國(guó)，1827年3月卒于巴黎。他發(fā)表專著《宇宙體系論》，書中提出了對(duì)后來有重大影響的關(guān)于行星起源的星云假說。在這部書中，他提出了第一個(gè)科學(xué)的太陽系起源理論——星云說。他發(fā)表專著《概率分析理論》，是分析概率論的創(chuàng)始人，被譽(yù)為應(yīng)用數(shù)學(xué)的先驅(qū)。5.1拉普拉斯變換拉普拉斯在研究天體問題的過程中，創(chuàng)造和發(fā)展了許多數(shù)學(xué)的方法，以他的名字命名的拉普拉斯變換、拉普拉斯定理和拉普拉斯方程，在科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。拉普拉斯把牛頓的萬有引力定律應(yīng)用到整個(gè)太陽系，1773年解決了一個(gè)當(dāng)時(shí)著名的難題：解釋木星軌道為什么在不斷地收縮，而同時(shí)土星的軌道又在不斷地膨脹。拉普拉斯用數(shù)學(xué)方法證明行星平均運(yùn)動(dòng)的不變性，即行星的軌道大小只有周期性變化，并證明為偏心率和傾角的3次冪。1784～1785年，拉普拉斯求得天體對(duì)其外任一質(zhì)點(diǎn)的引力分量可以用一個(gè)勢(shì)函數(shù)來表示，這個(gè)勢(shì)函數(shù)滿足一個(gè)偏微分方程，即著名的拉普拉斯方程。5.1拉普拉斯變換拉普拉斯曾任拿破侖的老師，和拿破侖結(jié)下不解之緣。在席卷法國(guó)的政治變革中，包括拿破侖的興起和衰落，他的威望和他將數(shù)學(xué)應(yīng)用于軍事問題的才能保護(hù)了他。突出才能

護(hù)身符挖掘、培養(yǎng)、鉆研一技之長(zhǎng)

安身立命之本、強(qiáng)國(guó)興國(guó)之柱5.1拉普拉斯變換一、拉普拉斯變換的定義傅里葉變換向人們開啟了一扇不同的窗戶（頻域）來觀察世界，但仍存在

局限性

：信號(hào)必須滿足狄利赫里條件如：

、

等增長(zhǎng)信號(hào)

不存在傅里葉變換。

妙招：給信號(hào)

乘衰減因子

，為實(shí)常數(shù)，使

收斂，滿足狄里赫利條件。(一)從傅里葉變換到拉普拉斯變換5.1拉普拉斯變換相應(yīng)的傅里葉逆變換為：令

,有

對(duì)

作傅里葉變換：5.1拉普拉斯變換雙邊拉普拉斯變換：雙邊拉普拉斯逆變換：符號(hào)表示:5.1拉普拉斯變換從上述推導(dǎo)過程可知：（1）是信號(hào)

的傅里葉變換；（2）是信號(hào)的雙邊拉氏變換；（3）是雙邊拉普拉斯變換在

的特例；（4）許多原來不存在傅里葉變換的信號(hào)都可能存在拉氏變換。雙邊拉普拉斯變換：傅里葉變換：5.1拉普拉斯變換

雙邊拉氏變換存在的充分條件：

下面舉例分析雙邊拉氏變換收斂域的問題。使

的雙邊拉氏變換存在的

的取值范圍稱為收斂域。(二)雙邊拉氏變換的收斂域5.1拉普拉斯變換例1:求因果信號(hào)的雙邊拉普拉斯變換。

解:因果信號(hào)拉氏變換的收斂域?yàn)槟硹l直線以右的平面收斂邊界收斂域5.1拉普拉斯變換例2:

求反因果信號(hào)的雙邊拉普拉斯變換。

反因果信號(hào)拉氏變換的收斂域?yàn)槟硹l直線以左的平面解:5.1拉普拉斯變換例3:求雙邊信號(hào)

的雙邊拉普拉斯變換。

解:雙邊信號(hào)拉氏變換的收斂域必為帶狀區(qū)域當(dāng)

時(shí)，收斂域：當(dāng)

時(shí)，沒有共同的收斂域，拉氏變換不存在。5.1拉普拉斯變換例4:求下列信號(hào)的雙邊拉普拉斯變換。

象函數(shù)相同，但收斂域不同。雙邊拉氏變換必須標(biāo)出收斂域。5.1拉普拉斯變換(三)單邊拉普拉斯變換實(shí)際生活中的信號(hào)都有初始時(shí)刻，不妨設(shè)其初始時(shí)刻為坐標(biāo)原點(diǎn)。這樣，

時(shí)，

。從而雙邊拉氏變換式可寫為：?jiǎn)芜吚绽棺儞Q簡(jiǎn)稱拉氏變換本課程主要討論單邊拉氏變換。單邊拉氏變換的收斂域必然是：

，故可以省略。5.1拉普拉斯變換（1）

的單邊拉氏變換和雙邊拉氏變換可能相等也可能不相等。（2）的雙邊拉氏變換和的單邊拉氏變換相等。（3）指數(shù)階信號(hào)()的單邊拉氏變換一定存在。（4）非指數(shù)階信號(hào)的拉氏變換不存在，如。（5）有界的非周期信號(hào)的拉氏變換一定存在。雙邊拉氏變換：?jiǎn)芜吚献儞Q：分析下列說法是否正確？√√√√√5.1拉普拉斯變換學(xué)習(xí)拉普拉斯變換有什么用？拉普拉斯變換在許多工程技術(shù)和科學(xué)研究領(lǐng)域中有著廣泛

應(yīng)用，特別是在力學(xué)系統(tǒng)、電學(xué)系統(tǒng)、自動(dòng)控制系統(tǒng)等

系統(tǒng)科學(xué)中都起著重要作用。拉普拉斯變換是為簡(jiǎn)化計(jì)算而建立的實(shí)變量函數(shù)

和

復(fù)變量函數(shù)

間的一種函數(shù)變換。對(duì)一個(gè)實(shí)變量函數(shù)作拉氏變換，在復(fù)數(shù)域中進(jìn)行各種運(yùn)算，

再將運(yùn)算結(jié)果作拉氏逆變換來求得實(shí)數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，

往往比直接在實(shí)數(shù)域中求出同樣的結(jié)果在計(jì)算上容易得多。5.1拉普拉斯變換二、常用信號(hào)的拉氏變換單位沖激信號(hào)

沖激偶信號(hào)

5.1拉普拉斯變換階躍信號(hào)

、常數(shù)5.1拉普拉斯變換指數(shù)函數(shù)5.1拉普拉斯變換當(dāng)時(shí),實(shí)信號(hào)

當(dāng)時(shí)，虛指數(shù)信號(hào)

當(dāng)

時(shí)，復(fù)指數(shù)信號(hào)

5.1拉普拉斯變換余弦信號(hào)

5.1拉普拉斯變換正弦信號(hào)

5.1拉普拉斯變換周期信號(hào)

主周期信號(hào)的拉氏變換5.1拉普拉斯變換練1:求圖示周期信號(hào)的拉普拉斯變換。

解:周期：

主周期信號(hào)：

圖示周期信號(hào)的拉氏變換：

5.1拉普拉斯變換常用信號(hào)的拉氏變換5.1拉普拉斯變換三、單邊拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系單邊拉氏變換：傅里葉變換：要討論二者的關(guān)系，

必須為因果信號(hào)

收斂邊界

0的三種情況：5.1拉普拉斯變換(1)收斂邊界,

如:

即

的收斂域包含

軸則

的傅里葉變換存在，且收斂域包含

軸5.1拉普拉斯變換(2)收斂邊界,

即

的收斂邊界為

軸則

的傅里葉變換存在，且如:收斂邊界為

軸5.1拉普拉斯變換(3)收斂邊界,

即

的收斂域不包含

軸則

的傅里葉變換不存在。如:收斂域不包含

軸，其傅里葉變換不存在。5.1拉普拉斯變換總結(jié)：一、拉普拉斯變換的定義二、常用信號(hào)的拉氏變換三、單邊拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系5.1拉普拉斯變換學(xué)習(xí)通測(cè)試：

√√×5.1拉普拉斯變換CD5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)信號(hào)與系統(tǒng)主講人：吉利萍西安郵電大學(xué)教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)

其它信號(hào)的拉氏變換

常用信號(hào)的拉氏變換拉氏變換的性質(zhì)線性特性1時(shí)移特性尺度變換特性復(fù)頻移特性時(shí)域微分特性時(shí)域積分特性卷積定理s域微分特性s域積分特性初值和終值定理教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)拉氏變換的性質(zhì)：5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)一、線性特性5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)例1：求信號(hào)的拉氏變換。

解：線性特性:5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)二、尺度變換性質(zhì)5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)零點(diǎn)例2:已知如圖所示信號(hào)

的單邊拉氏變換為

，求信號(hào)的拉氏變換。

解：尺度變換特性:線性特性:5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)三、時(shí)移性質(zhì)零點(diǎn)5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)例3:

求如圖所示信號(hào)的單邊拉氏變換。

解：時(shí)移特性:線性特性:5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)零點(diǎn)例4:已知如圖所示信號(hào)的單邊拉氏變換為，求信號(hào)的拉氏變換。

解：尺度變換特性:線性特性:時(shí)移特性:5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)四、復(fù)頻移特性5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)零點(diǎn)例5:已知

，求信號(hào)

的象函數(shù)。

解：尺度變換特性:復(fù)頻移特性:時(shí)移特性:5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)五、時(shí)域卷積定理5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)例6:求如圖所示三角信號(hào)的象函數(shù)。

解：卷積定理:5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)解:卷積定理:例7:已知因果信號(hào)的象函數(shù)為

，求其原函數(shù)。

5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)卷積定理的應(yīng)用：求解線性時(shí)不變系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。將時(shí)域求響應(yīng)轉(zhuǎn)化為復(fù)頻域求響應(yīng)5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)六、時(shí)域微分特性特殊情況：當(dāng)為因果信號(hào)時(shí)5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)例8:求下面幾個(gè)信號(hào)的拉氏變換。

（1）（2）（3）5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)七、時(shí)域積分特性零點(diǎn)5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)例9:求如圖所示信號(hào)的拉普拉斯變換。

解:對(duì)求導(dǎo)得，如右下圖所示。時(shí)域積分特性:5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)八、S域微分特性5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)例10:求

的拉氏變換。

解:S域微分特性:5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)九、S域積分特性零點(diǎn)5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)例11:求信號(hào)

的拉氏變換。解：S域積分特性:5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)十、初值和終值定理若F(s)為假分式，化為真分式后再應(yīng)用初值定理。初值定理:若函數(shù)

不含

及其各階導(dǎo)數(shù)，即F(s)為真分式，則5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)終值定理:并且,，則

若當(dāng)時(shí)的極限存在，即

，注意：終值定理是取的極限，因而的點(diǎn)應(yīng)在的收斂域內(nèi)，否則不能應(yīng)用終值定理。5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)例12:解：F(s)為真分式，直接應(yīng)用初值定理得：在

sF(s)的收斂域內(nèi)

，應(yīng)用終值定理可得：5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)例13:解：F(s)為假分式，不能直接應(yīng)用初值定理。將F(s)化為真分式：真分式項(xiàng)F1(s)在

sF(s)的收斂域內(nèi)

，應(yīng)用終值定理可得：5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)練：已知

，求

解：F(s)為真分式，直接應(yīng)用初值定理得：在

sF(s)的收斂域內(nèi)

，應(yīng)用終值定理可得：5.2拉普拉斯變換的性質(zhì)解：練：×不在

sF(s)的收斂域內(nèi)

，不能應(yīng)用終值定理。注意：5.3拉普拉斯逆變換信號(hào)與系統(tǒng)主講人：吉利萍西安郵電大學(xué)教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)

留數(shù)定理——圍線積分法留數(shù)法計(jì)算比較復(fù)雜。

部分分式展開法部分分式展開法求解比較方便簡(jiǎn)單。5.3拉普拉斯逆變換部分分式展開法象函數(shù)通常為有理分?jǐn)?shù)形式：

有理真分式（m<n）：根據(jù)極點(diǎn)情況展開

有理假分式（m≥n）：5.3拉普拉斯逆變換真分式，根據(jù)極點(diǎn)情況部分分式展開5.3拉普拉斯逆變換有理真分式部分分式展開單階實(shí)極點(diǎn)（分母多項(xiàng)式只有單根）5.3拉普拉斯逆變換零點(diǎn)例1:利用部分分式展開法求

的逆變換。

解:為有理真分式，且有2個(gè)單階實(shí)極點(diǎn)5.3拉普拉斯逆變換零點(diǎn)例2:利用部分分式展開法求的逆變換。

解：為有理假分式，將其化為有理真分式（長(zhǎng)除法）5.3拉普拉斯逆變換5.3拉普拉斯逆變換共軛單階極點(diǎn)共軛復(fù)根：5.3拉普拉斯逆變換若設(shè)若設(shè)5.3拉普拉斯逆變換待定系數(shù)法確定根據(jù)常用變換對(duì)及復(fù)頻移性質(zhì)，求出其逆變換。將構(gòu)造成正弦或余弦函數(shù)的拉氏變換形式：5.3拉普拉斯逆變換例3:利用部分分式展開法求的逆變換。

解：為有理真分式，有1個(gè)單階實(shí)極點(diǎn)和1對(duì)共軛極點(diǎn)待定系數(shù)法確定5.3拉普拉斯逆變換通分：系數(shù)平衡：5.3拉普拉斯逆變換5.3拉普拉斯逆變換

重極點(diǎn)（分母多項(xiàng)式有重根）5.3拉普拉斯逆變換利用拉氏變換對(duì)求出其逆變換5.3拉普拉斯逆變換例4:利用部分分式展開法求的逆變換。

解：為有理真分式，有1個(gè)單階實(shí)極點(diǎn)和1個(gè)3重極點(diǎn)5.3拉普拉斯逆變換5.3拉普拉斯逆變換S域微分特性：5.3拉普拉斯逆變換靈活運(yùn)用常用變換對(duì)和性質(zhì)求解逆變換例5:求

的逆變換。

解：項(xiàng)不參加部分分式運(yùn)算，象函數(shù)中包含

的非有理式,求解時(shí)利用時(shí)移性質(zhì)。5.3拉普拉斯逆變換解：例6:求

的逆變換。

靈活運(yùn)用常用變換對(duì)和性質(zhì)求解逆變換5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號(hào)與系統(tǒng)主講人：吉利萍西安郵電大學(xué)教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)二、系統(tǒng)函數(shù)

三、系統(tǒng)的s域框圖四、電路系統(tǒng)的s域模型一、拉氏變換求解微分方程5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析一、拉氏變換求解微分方程描述n階LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分方程：

系統(tǒng)初始狀態(tài)：y(0-),y(1)(0-),…，y(n-1)(0-)思路：?jiǎn)芜吚献儞Q解代數(shù)方程拉氏逆變換時(shí)域微分方程s域代數(shù)方程s域響應(yīng)Y(s)時(shí)域響應(yīng)y(t)解微分方程5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析二階系統(tǒng)響應(yīng)的s域求解

已知

f(t)，y(0-)，y’(0-)，求y(t)。

求解s域代數(shù)方程，得到和

拉氏逆變換，求出響應(yīng)的時(shí)域形式求解步驟：對(duì)微分方程做單邊拉氏變換，得到s域的代數(shù)方程5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析例1：描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為

y"(t)+5y'(t)+6y(t)=3f'(t)+f(t)已知初始狀態(tài)y(0-)=1，y’(0-)=2，激勵(lì)f(t)=e-t

(t)，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。解：對(duì)微分方程兩邊同時(shí)進(jìn)行單邊拉氏變換5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析Yzi(s)Yzs(s)5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析例2：描述一線性時(shí)不變連續(xù)因果系統(tǒng)的微分方程為

初始狀態(tài)

,，輸入信號(hào)為

，試求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)

。解：對(duì)微分方程兩邊同時(shí)進(jìn)行單邊拉氏變換5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析先求零狀態(tài)響應(yīng)：5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析再求零輸入響應(yīng)：求解s域的零輸入響應(yīng)，逆變換求出時(shí)域形式歸納總結(jié)：已知微分方程、激勵(lì)信號(hào)、0+初始條件，求響應(yīng)的步驟求解s域的零狀態(tài)響應(yīng)，逆變換求出時(shí)域形式，和利用

和求出0-初始值5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析描述n階LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為:

在零狀態(tài)下對(duì)微分方程兩邊同時(shí)做單邊拉普拉斯變換：S域系統(tǒng)函數(shù)：二、系統(tǒng)函數(shù)5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析描述連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型微分方程系統(tǒng)框圖......

單位沖激響應(yīng)單位階躍響應(yīng)頻率響應(yīng)系統(tǒng)函數(shù)注意：系統(tǒng)函數(shù)是系統(tǒng)的各種數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換的橋梁紐帶。電路圖5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析（1）系統(tǒng)函數(shù)與單位沖激響應(yīng)之間的轉(zhuǎn)換與

是一對(duì)單邊拉氏變換5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析（2）系統(tǒng)函數(shù)與單位階躍響應(yīng)之間的轉(zhuǎn)換5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析例3：

某LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，求該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和階躍響應(yīng)。解：系統(tǒng)函數(shù)：階躍響應(yīng)：法一：法二：5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析（3）系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng)

之間的轉(zhuǎn)換拉氏變換傅里葉變換若的收斂域包含虛軸，則系統(tǒng)頻率響應(yīng)

存在,且5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析（4）系統(tǒng)函數(shù)與微分方程之間的轉(zhuǎn)換

方法：在零狀態(tài)下對(duì)微分方程兩邊同時(shí)做拉氏變換，已知微分方程，求系統(tǒng)函數(shù)已知系統(tǒng)函數(shù)

，求微分方程

方法：

將分式交叉相乘得到

對(duì)上式兩邊同時(shí)進(jìn)行拉氏逆變換得到微分方程。

5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析解：例4：

已知某線性時(shí)不變連續(xù)因果系統(tǒng)的微分方程為

試求該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和單位沖激響應(yīng)。在零狀態(tài)下對(duì)微分方程兩邊同時(shí)作拉氏變換：系統(tǒng)函數(shù)：?jiǎn)挝粵_激響應(yīng)：5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析解：例5：

已知當(dāng)輸入時(shí)，某LTI因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，求該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)和描述該系統(tǒng)的微分方程。

首先求系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)：5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析拉氏逆變換得：系統(tǒng)微分方程：?jiǎn)挝粵_激響應(yīng)：5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析基本單元的S域模型時(shí)域模型s域模型數(shù)乘器加法器三、系統(tǒng)的s域框圖