第六章

離散系統(tǒng)的

域分析信號與系統(tǒng)內(nèi)容綱要6.1z變換的定義6.2z變換的性質(zhì)6.3逆z變換6.4系統(tǒng)z域分析信號分析系統(tǒng)分析1.z變換求解差分方程2.系統(tǒng)函數(shù)3.系統(tǒng)的z域框圖4.s域與z域的關(guān)系5.離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)6.1z變換的定義信號與系統(tǒng)主講人：吉利萍西安郵電大學(xué)z變換的定義一、從拉氏變換到z變換對連續(xù)信號進(jìn)行均勻沖激取樣后，抽樣周期為T，就得到:取樣信號：兩邊取雙邊拉普拉斯變換，得1取樣成為復(fù)變量

z的函數(shù)令序列的雙邊z變換序列的單邊z變換

若為因果序列，則單邊、雙邊z變換相等，否則不相等。今后在不致混淆的情況下，統(tǒng)稱它們?yōu)閦變換。z變換的定義

z變換定義為一無窮冪級數(shù)之和，顯然只有當(dāng)該冪級數(shù)收斂，即收斂域：對于序列f(k)，滿足的所有z值組成的集合稱為z變換F(z)的收斂域。絕對可和條件序列的雙邊z變換:時，其z變換才存在。它是序列的z變換存在的充分必要條件。z變換的定義例1：求有限長序列的z變換(1)f1(k)=(k)解：(1)

單位樣值序列的單邊、雙邊z變換相等。收斂域與z無關(guān)，故其收斂域為整個z平面。雙邊z變換:單邊z變換:z變換的定義結(jié)論一：有限長序列的收斂域是，要討論0和∞兩點。解：(2)雙邊z變換:單邊z變換:例1：求有限長序列的z變換

(2)f2(k)={1,2,3,2,1}z變換的定義例2：

求因果序列的z變換。解：結(jié)論二：因果序列的收斂域是某個圓的圓外。z變換的定義等比數(shù)列求和即時，其z變換存在：

當(dāng)解：結(jié)論三：反因果序列的收斂域是某個圓的圓內(nèi)。例3：

求反因果序列的z變換。等比數(shù)列求和z變換的定義即時，其z變換存在：

當(dāng)解：結(jié)論四：雙邊序列的收斂域是環(huán)狀區(qū)域。例4：

求雙邊序列的z變換。收斂域為：（顯然要求，否則無共同收斂域）

z變換的定義注意：對雙邊z變換必須表明收斂域，否則其對應(yīng)的原序列不唯一。如：對單邊z變換，收斂域一定是某個圓以外的區(qū)域。因此求單邊z變換時經(jīng)常會省略收斂域。z變換的定義常用序列的z變換序列的雙邊z變換：序列的單邊z變換：z變換的定義z變換的定義謝謝！6.2z變換的性質(zhì)信號與系統(tǒng)主講人：吉利萍西安郵電大學(xué)z變換的性質(zhì)一、線性其收斂域是F1(z)與F2(z)收斂域的交集。例1：z變換的性質(zhì)二、移位（移序）特性單邊、雙邊序列差別大！對于雙邊Z變換，移位后的序列沒有丟失原序列的信息；對于單邊Z變換，移位后的序列較原序列長度有所增減。雙邊z變換的移位：，且整數(shù)m>0，則z變換的性質(zhì)單邊z變換的移位：，且整數(shù)m>0，則特例：若為因果序列，則z變換的性質(zhì)單邊z變換的移位：，且整數(shù)m>0，則z變換的性質(zhì)例2：求周期為N的單位序列

的z變換。

解：等比數(shù)列求和公比z變換的性質(zhì)三、序列乘ak

(z域尺度變換)，且有常數(shù)a≠0，則：例3：解：頻域、s域、z域尺度變換z變換的性質(zhì)例4：解：z變換的性質(zhì)四、卷積定理其收斂域一般為F1(z)與F2(z)收斂域的交集。對于單邊z變換，要求和均為因果序列。頻域、s域、z域卷積定理z變換的性質(zhì)五、序列乘k（z域微分）解：若

,<z<則頻域、s域、z域微分例5：求的z變換。z變換的性質(zhì)六、序列除(k+m)(z域積分）

則,<z<若m=0,且k>0，則

若，設(shè)有整數(shù)m，且k+m>0，z變換的性質(zhì)七、k域反轉(zhuǎn)(僅適用雙邊z變換）

若

則z變換的性質(zhì)解：乘a得：例6：求的z變換。k域反轉(zhuǎn)：移位：z變換對：z變換的性質(zhì)八、部分和解：|z|>max(|a|,1)例7：求序列(a為實數(shù))(k≥0)的z變換。

卷積和定義式z變換的性質(zhì)九、初值定理和終值定理初值定理：適用于右邊序列（或稱有始序列）

對因果序列，其初值為：則序列的初值為：如果序列在時，，它與象函數(shù)的關(guān)系為：z變換的性質(zhì)終值定理：適用于右邊序列

如果序列在時，，它與象函數(shù)的關(guān)系為：且則序列的終值:

注意：終值定理要求必須在的收斂域內(nèi)（）z變換的性質(zhì)例8：已知因果序列的象函數(shù)，求序列的初值和終值。

解：該因果序列的初值：該因果序列的終值：z變換的性質(zhì)謝謝！6.3逆z變換信號與系統(tǒng)主講人：吉利萍西安郵電大學(xué)逆z變換求逆z變換的方法：

當(dāng)已知象函數(shù)F(z)時，根據(jù)給定的收斂域?qū)(z)分為F1(z)和F2(z)，分別求得各自對應(yīng)的原序列f1(k)和f2(k)，將兩者相加得原序列f(k)。冪級數(shù)展開法;部分分式展開法;留數(shù)法雙邊序列f

(k)可分解為因果序列f1(k)和反因果序列f2(k)兩部分：逆z變換——冪級數(shù)展開法逆z變換

的冪級數(shù)

的冪級數(shù)

將展開為上式冪級數(shù)的形式，其系數(shù)即為。冪級數(shù)展開法的思路：例1：已知象函數(shù)

逆z變換（1）

（2）

（3）

，依據(jù)下述收斂域分別求其相對應(yīng)的原序列。解：(1),故為因果序列。用長除法將展開為

的冪級數(shù)：逆z變換(2),故為反因果序列。用長除法將展開為

的冪級數(shù)：冪級數(shù)展開法得到的序列難以寫成閉合形式。逆z變換(3),故為雙邊序列。再用長除法將展開為

和

的冪級數(shù)：將展開為部分分式，因果序列反因果序列逆z變換

逆z變換——部分分式展開法當(dāng)時，將真分式展開為部分分式，然后再乘以當(dāng)時，先從中分出常數(shù)項，再將余下的真分式部分分式展開當(dāng)時，將真分式展開為部分分式逆z變換(1)單極點當(dāng)時，將真分式展開為部分分式，然后再乘以根據(jù)極點的類型，的展開有幾種情況：(2)共軛單極點(3)重極點常用的z變換對：逆z變換（1）

均為單極點

根據(jù)給定的收斂域，將上式劃分為和兩部分，根據(jù)常用z變換對，求得原函數(shù)。解：

逆z變換例2：已知，依據(jù)以下三種收斂域進(jìn)行逆變換。（1）

（2）

（3）

逆z變換（1）

（2）

（3）

為因果序列為反因果序列為雙邊序列逆z變換例3：已知

，求逆變換。

收斂域:，因果序列收斂域:，反因果序列解：對進(jìn)行部分分式展開，得令

若則若則逆z變換（2）

為共軛單極點與拉氏逆變換中重極點的處理方法相同，求出（3）

為重極點

展開式中含項(r>1)逆z變換對①式兩邊對a進(jìn)行求導(dǎo)得：當(dāng)時，求逆z變換的方法：①②對②式兩邊對a進(jìn)行求導(dǎo)得：③若有需要，再對③式兩邊對a進(jìn)行求導(dǎo)。常用因果序列z變換對：逆z變換解：例4：已知象函數(shù)，，

求其原函數(shù)。逆z變換當(dāng)時，將真分式展開為部分分式例5：已知象函數(shù)，，

求其原函數(shù)。解：

利用z變換的時移性質(zhì)：逆z變換逆z變換謝謝！6.4系統(tǒng)z域分析信號與系統(tǒng)主講人：吉利萍西安郵電大學(xué)系統(tǒng)z域分析z變換是分析LTI離散系統(tǒng)的又一有力數(shù)學(xué)工具。z變換將描述系統(tǒng)的時域差分方程變換為z域代數(shù)方程，一舉求得系統(tǒng)的全響應(yīng)。便于運算求解。

單邊z變換將系統(tǒng)的初始狀態(tài)自然地包含于z域方程中，既可以分別求得系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)，也可以系統(tǒng)z域分析一、z變換求解差分方程對差分方程兩邊同時進(jìn)行單邊z變換，求得設(shè)在時接入系統(tǒng)，系統(tǒng)初始狀態(tài)為。全響應(yīng)

=

零輸入響應(yīng)

+

零狀態(tài)響應(yīng)

系統(tǒng)z域分析零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。解：對差分方程兩邊同時進(jìn)行單邊z變換例1：某因果系統(tǒng)的差分方程：已知，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)z域分析零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)系統(tǒng)z域分析全響應(yīng)

=零輸入響應(yīng)

+零狀態(tài)響應(yīng)

自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)差分方程特征根：系統(tǒng)激勵：系統(tǒng)z域分析系統(tǒng)函數(shù)：單位序列響應(yīng)：階躍響應(yīng)：二、系統(tǒng)函數(shù)在零狀態(tài)下對差分方程兩邊同時進(jìn)行單邊z變換，有已知LTI系統(tǒng)差分方程：系統(tǒng)z域分析例2：某LTI因果系統(tǒng)的差分方程為：求該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。解：在零狀態(tài)下對差分方程兩邊同時進(jìn)行單邊z變換，得系統(tǒng)函數(shù)為：系統(tǒng)z域分析例3：某LTI因果系統(tǒng)，已知當(dāng)輸入時，其零狀態(tài)響應(yīng)，解：求描述該系統(tǒng)的差分方程、單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng)。系統(tǒng)函數(shù)：系統(tǒng)z域分析系統(tǒng)差分方程為：①求描述該系統(tǒng)的差分方程：將化為的負(fù)冪次項，再進(jìn)行交叉相乘系統(tǒng)z域分析②系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)：對進(jìn)行部分分式展開，求出逆變換。系統(tǒng)單位序列響應(yīng)為：系統(tǒng)z域分析③系統(tǒng)的階躍響應(yīng)：對進(jìn)行部分分式展開，求出逆變換。系統(tǒng)z域分析（1）加法器（2）延遲器三、系統(tǒng)的z域框圖系統(tǒng)z域分析例4：

某系統(tǒng)的時域框圖如圖，已知輸入。

（1）求系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。（2）若，求零輸入響應(yīng)。系統(tǒng)z域分析解:

先畫出系統(tǒng)的z域框圖：系統(tǒng)函數(shù)：系統(tǒng)z域分析（1）單位序列響應(yīng)：當(dāng)時，零狀態(tài)響應(yīng)：系統(tǒng)函數(shù)：系統(tǒng)z域分析（2）零輸入響應(yīng)：由系統(tǒng)函數(shù)可知：系統(tǒng)差分方程的特征根為：由有：設(shè)零輸入響應(yīng)為：系統(tǒng)z域分析四、s域與z域的關(guān)系式中T為取樣周期從S平面到Z平面的映射：系統(tǒng)z域分析1Rrs平面的左半平面z平面的單位圓內(nèi)s平面的右半平面z平面的單位圓外s平面的j軸z平面的單位圓上s平面的原點z平面z=1的點系統(tǒng)z域分析五、離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)若連續(xù)系統(tǒng)函數(shù)

的收斂域包含虛軸，則系統(tǒng)頻率響應(yīng)存在：由于，當(dāng)時，，若離散系統(tǒng)函數(shù)的收斂域包含單位圓，則系統(tǒng)頻率響應(yīng)存在：令，稱為數(shù)字角頻率。系統(tǒng)z域分析

幅頻響應(yīng)相頻響應(yīng)離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)：離散系統(tǒng)函數(shù)：偶函數(shù)奇函數(shù)系統(tǒng)z域分析當(dāng)時設(shè)LTI離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為，系統(tǒng)函數(shù)為

的收斂域包含單位圓