知識點：LTI連續(xù)系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解信號與系統(tǒng)LTI連續(xù)系統(tǒng)的激勵與響應之間的關系可用n

階常系數(shù)線性微分方程描述：微分方程的全解由齊次解

和特解

組成。微分方程的全解就是該系統(tǒng)的輸出響應。LTI連續(xù)系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解齊次解列特征方程求特征根設齊次解LTI連續(xù)系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解

齊次解的函數(shù)形式僅僅與系統(tǒng)本身特性有關，而與激勵的函數(shù)形式無關，稱為系統(tǒng)的固有響應或自由響應。固有響應（自由響應）表1不同特征根所對應的齊次解LTI連續(xù)系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解特征根齊次解二實根二實根單實根

根據(jù)微分方程右端激勵的形式，設含待定系數(shù)代入微分方程求出特解。的特解函數(shù)式根據(jù)初始條件確定齊次解系數(shù)，得到全解。

全解=齊次解+特解LTI連續(xù)系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解特解全解

特解的函數(shù)形式由激勵確定，稱為強迫響應。強迫響應LTI連續(xù)系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解表2不同特征根所對應的特解LTI連續(xù)系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解例1：某LTI連續(xù)因果系統(tǒng)的微分方程為已知當輸入時，系統(tǒng)的全響應為，求該系統(tǒng)的強迫響應為

A.B.C.D.B例2：描述某系統(tǒng)的微分方程為,求(1)當時的全解。(2)當時的全解。特征方程：特征根：(1)解：①齊次解：齊次解：LTI連續(xù)系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解當

時，其特解可設為：將特解代入微分方程得：解得特解：LTI連續(xù)系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解

②特解：待定常數(shù)C1，C2由初始條件確定。解得：全解：

自由響應（齊次解）強迫響應（特解）LTI連續(xù)系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解

③全解：當激勵時，其指數(shù)與特征根之一相重，設特解為：代入微分方程可得：

所以

，但不能求得。LTI連續(xù)系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解齊次解同(1)(2)解：例2：描述某系統(tǒng)的微分方程為,求(1)當時的全解。(2)當時的全解。

因而也不能區(qū)分自由響應和強迫響應。求得微分方程的全解為：，不能區(qū)分

C1和P0

LTI連續(xù)系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解全解為：

LTI連續(xù)系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典解經(jīng)典法求解LTI系統(tǒng)微分方程的不足：若系統(tǒng)激勵發(fā)生變化，需要重新求解微分方程的特解和全解。若系統(tǒng)初始狀態(tài)發(fā)生變化，需要重新求解微分方程的全解。若系統(tǒng)激勵比較復雜，則難以求解微分方程的特解和全解。知識點：LTI連續(xù)系統(tǒng)的初始值信號與系統(tǒng)主講人：吉利萍西安郵電大學在

時刻，激勵

尚未

初始值初始值激勵

在

時接入系統(tǒng)，的歷史信息。LTI連續(xù)系統(tǒng)的初始值反映的是系統(tǒng)的歷史狀態(tài)，接入系統(tǒng)，該時刻的值與激勵無關。包含了激勵

的作用，

不便于描述系統(tǒng)激勵

是在

時接入系統(tǒng)，則用經(jīng)典法求解微分方程時，

要確定待定系數(shù)

，應利用

時刻的初始值

。例1:描述某系統(tǒng)的微分方程為已知

求

和。解:中不含有即

在

處連續(xù)沖激函數(shù)系數(shù)平衡法中不含有即

在

處連續(xù)則中不含有則中不含有

一般容易獲知，初始值如何從

求得

？初始值LTI連續(xù)系統(tǒng)的初始值例2:描述某系統(tǒng)的微分方程為已知

求

和

。解:中含有則中含有中不含有

一般容易獲知，初始值如何從

求得

？初始值沖激函數(shù)系數(shù)平衡法即

在

處連續(xù)則中不含有LTI連續(xù)系統(tǒng)的初始值對微分方程兩端同時在

無窮小區(qū)間上進行積分:

在

處連續(xù)已知LTI連續(xù)系統(tǒng)的初始值

例3：某系統(tǒng)微分方程為解：已知

求

和

。沖激函數(shù)系數(shù)平衡法為不含的某函數(shù)LTI連續(xù)系統(tǒng)的初始值為不含的某函數(shù)把上式代入得：LTI連續(xù)系統(tǒng)的初始值①②③對式②從0-到0+積分得對式③從0-到0+積分得

初始值

：LTI連續(xù)系統(tǒng)的初始值

利用沖激函數(shù)系數(shù)平衡法進行分析：

當微分方程等式右端含有沖激函數(shù)（及其各階導數(shù)）時，響應y(t)及其各階導數(shù)中，有些在t=0處將發(fā)生躍變。①當微分方程等式右端不含沖激函數(shù)（及其各階導數(shù)）時，響應y(t)及其各階導數(shù)就不會躍變，0-值就等于0+初始值。②通過將微分方程兩端在區(qū)間[0-,0+]上積分，并比較方程兩端的系數(shù)，從而由0-初始值求出0+初始值。總結(jié)：如何從已知的

求得

？初始值初始值LTI連續(xù)系統(tǒng)的初始值信號與系統(tǒng)主講人：吉利萍西安郵電大學知識點：LTI系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應

對于LTI連續(xù)系統(tǒng)

全響應

=

零輸入響應

+

零狀態(tài)響應

齊次方程特征根齊次解非齊次方程，全解=齊次解+特解LTI系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應零輸入響應零狀態(tài)響應

經(jīng)典法求解思路：【注】零輸入響應和零狀態(tài)響應初始值的確定：對

時接入激勵

的系統(tǒng)，時刻激勵尚未接入對于零輸入響應，激勵為0LTI系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應例1：某LTI系統(tǒng)微分方程為已知，，，求系統(tǒng)的零輸入響應、零狀態(tài)響應和全響應。激勵為0，故零輸入響應

滿足齊次方程:特征方程:特征根:

零輸入響應

①LTI系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應解:設零輸入響應為:

零輸入響應

的

初始值為:代入初始值求得:

故系統(tǒng)的零輸入響應為：LTI系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應特征根:②零狀態(tài)響應滿足方程:且

,連續(xù)先求

的

初始值:

LTI系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應滿足方程:令

,方程可寫為:特征根:齊次解:設為常數(shù),

代入微分方程,求得特解:全解:

代入初始值,

求得

故系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為:

LTI系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應③全響應全響應

=零輸入響應

+零狀態(tài)響應

自由響應強迫響應【總結(jié)】①全響應可以分解為零輸入響應和零狀態(tài)響應，

也可分解為自由響應（齊次解）和強迫響應（特解）。LTI系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應【總結(jié)】②自由響應包含零輸入響應的全部和零狀態(tài)響應的一部分。LTI系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應③全響應全響應

=零輸入響應

+零狀態(tài)響應

自由響應強迫響應全響應

=零輸入響應

+零狀態(tài)響應

自由響應強迫響應【總結(jié)】③隨著時間

t

的增長衰減為

0的項稱為瞬態(tài)響應，

穩(wěn)定有界的強迫響應稱為穩(wěn)態(tài)響應。瞬態(tài)響應穩(wěn)態(tài)響應LTI系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應③全響應謝謝！LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應知識點：LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應和階躍響應（一）信號與系統(tǒng)主講人：吉利萍西安郵電大學沖激響應的定義：LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應和階躍響應（一）單位沖激信號激勵下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應，稱為系統(tǒng)的單位沖激響應，簡稱沖激響應，一般用表示。沖激響應反映了系統(tǒng)的特性。

對于連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程：沖激響應的求解方法：令，則，方程右端為及其各階導數(shù)的線性組合，①利用沖激函數(shù)的系數(shù)平衡法求得初始值；②再令，此時方程右端等于0，方程為齊次方程；則在時，具有和方程齊次解相同的形式。LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應和階躍響應（一）解：

例1：描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為

求其沖激響應。令，則，先求

和；已知

處連續(xù)LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應和階躍響應（一）令，此時方程為齊次方程：

初始值

：系統(tǒng)的沖激響應為一齊次解，微分方程的特征根為和。設系統(tǒng)的沖激響應為：代入初始條件求得：由于中不含有，故該系統(tǒng)的沖激響應為：LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應和階躍響應（一）階躍響應的定義：單位階躍信號激勵下系統(tǒng)的零狀態(tài)響應，稱為系統(tǒng)的單位階躍響應，簡稱階躍響應，一般用表示。LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應和階躍響應（一）階躍響應與沖激響應的關系：微分特性積分特性LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應和階躍響應（一）知識點：LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應和階躍響應（二）信號與系統(tǒng)主講人：吉利萍西安郵電大學

對于連續(xù)LTI系統(tǒng)微分方程：沖激響應的求解方法：令，則，方程右端為及其各階導數(shù)的線性組合，①利用沖激函數(shù)的系數(shù)平衡法求得初始值；②再令，此時方程右端等于0，方程為齊次方程；則在時，具有和方程齊次解相同的形式。LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應和階躍響應（二）

例2：某系統(tǒng)微分方程為求其沖激響應。解：令，則，已知先求

和。利用沖激函數(shù)的系數(shù)平衡法可以確定：LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應和階躍響應（二）為不含的某函數(shù)把上式代入得：LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應和階躍響應（二）①②③對式②從0-到0+積分得對式③從0-到0+積分得

初始值

：LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應和階躍響應（二）令，此時方程為齊次方程：微分方程的特征根為和。設系統(tǒng)沖激響應為：

初始值

代入，求得：考慮到故該系統(tǒng)的沖激響應為：LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應和階躍響應（二）例3:填空題

（1）積分器的單位沖激響應為（2）微分器的單位沖激響應為（3）積分器的單位階躍響應為（4）微分器的單位階躍響應為（5）對連續(xù)信號延遲的延遲器的單位沖激響應為LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應和階躍響應（二）知識點：LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應和階躍響應（三）信號與系統(tǒng)主講人：吉利萍西安郵電大學解：利用沖激響應的定義,例4：某LTI系統(tǒng)，其輸入

與輸出

的關系為：，求該系統(tǒng)的沖激響應。令，則，LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應和階躍響應（三），求該系統(tǒng)的沖激響應。例5：某LTI系統(tǒng)，其輸入

與輸出

的關系為：解：利用沖激響應的定義,令，則，LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應和階躍響應（三）例6：已知一連續(xù)LTI系統(tǒng)的單位沖激響應為求該系統(tǒng)的單位階躍響應。解：該系統(tǒng)的單位階躍響應為：利用階躍響應與沖激響應的關系：LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應和階躍響應（三）例7:已知某LTI連續(xù)系統(tǒng)的單位階躍響應為，

求下圖所示的信號

作用于該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。解：利用階躍響應的定義知：利用LTI系統(tǒng)的線性、時不變性：LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應和階躍響應（三）求解系統(tǒng)的全響應方法：（1）時域經(jīng)典法：完全解＝齊次解＋特解（2）雙零法：系統(tǒng)全響應＝零輸入響應＋零狀態(tài)響應（1）求零輸入響應：利用經(jīng)典法求解齊次方程。（2）求零狀態(tài)響應：利用經(jīng)典法求微分方程的齊次解和特解。若已知系統(tǒng)的沖激響應，可用卷積積分求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。麻煩復雜LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應和階躍響應（三）謝謝！LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應和階躍響應知識點：信號的時域分解信號與系統(tǒng)主講人：吉利萍西安郵電大學思考問題：LTI系統(tǒng)（零狀態(tài)）

任意信號通過LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應

應該如何求得？LTI系統(tǒng)（零狀態(tài)）？信號的時域分解首先確定任意信號

與沖激信號

之間的關系。求取較容易信號的時域分解LTI系統(tǒng)（零狀態(tài)）

LTI系統(tǒng)（零狀態(tài)）線性組合線性組合

任意信號

均可以表示為一系列強度不同、接入時刻不同的

沖激信號

的和，即信號的時域分解知識點：卷積積分信號與系統(tǒng)主講人：吉利萍西安郵電大學h(t)的定義：疊加性：時不變性：齊次性：卷積積分

LTI系統(tǒng)(零狀態(tài))結(jié)論：卷積積分

LTI系統(tǒng)(零狀態(tài))

卷積積分任意信號通過LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應就是：激勵與該系統(tǒng)的沖激響應的卷積積分。

為與的卷積積分，簡稱卷積；注意：積分是在虛設的變量τ下進行的，τ為積分變量，

t為參變量。積分結(jié)果仍為

t

的函數(shù)。已知定義在區(qū)間

上的兩個函數(shù)

和

，則定義積分卷積積分例1：

計算卷積積分解：卷積積分

利用階躍信號確定積分限

對參變量

t注意討論！卷積積分例2：

計算卷積積分解：

利用階躍信號確定積分限

對參變量

t注意討論！卷積積分例3：

計算卷積積分解：

利用階躍信號確定積分限知識點：卷積積分的圖解法信號與系統(tǒng)主講人：吉利萍西安郵電大學卷積積分：卷積積分的圖解法卷積過程可分解為四步：（1）換元：（2）反轉(zhuǎn)平移：（3）乘積：（4）乘積的積分：卷積積分中積分限的確定是非常關鍵的，t為參變量。換為換為反轉(zhuǎn)右移從到對積分卷積積分的圖解法例1：和如圖所示，求。解：先換元，再選擇簡單的函數(shù)進行反轉(zhuǎn)換元反轉(zhuǎn)卷積積分的圖解法例1：和如圖所示，求。解：對右移，再進行相乘積分①卷積積分的圖解法例1：和如圖所示，求。解：對右移，再進行相乘積分②卷積積分的圖解法例1：和如圖所示，求。解：對右移，再進行相乘積分③卷積積分的圖解法例1：和如圖所示，求。解：對右移，再進行相乘積分④卷積積分的圖解法例1：和如圖所示，求。解：對右移，再進行相乘積分⑤卷積積分的圖解法例1：和如圖所示，求。⑤①②③④圖解法一般比較繁瑣，但若只求某一時刻卷積值時還是比較方便的。解：卷積積分的圖解法利用圖解法求某一時刻的卷積值時，確定積分的上下限是關鍵。例2：、如圖所示，已知，求換元反轉(zhuǎn)右移2解：卷積積分的圖解法利用圖解法求某一時刻的卷積值時，確定積分的上下限是關鍵。例2：、如圖所示，已知，求

X積分面積為0謝謝！卷積積分知識點：卷積積分的性質(zhì)信號與系統(tǒng)主講人：吉利萍西安郵電大學

卷積積分是一種數(shù)學運算，它有許多重要的性質(zhì)（或運算規(guī)則），

靈活地運用其性質(zhì)能簡化卷積運算。

一、卷積積分的代數(shù)性質(zhì)卷積積分滿足乘法的三大定律：（1）交換律卷積積分的性質(zhì)下面討論均設卷積積分是收斂的（或存在的）。子系統(tǒng)并聯(lián)時，總系統(tǒng)的沖激響應等于各子系統(tǒng)的沖激響應之和。卷積積分的性質(zhì)（2）分配律子系統(tǒng)級聯(lián)時，總系統(tǒng)的沖激響應等于各子系統(tǒng)的沖激響應的卷積。卷積積分的性質(zhì)（3）結(jié)合律

例1：圖中子系統(tǒng)

是一LTI系統(tǒng)。

當激勵時，該子系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為

。

若給定激勵為

，求下圖所示系統(tǒng)的零狀態(tài)響應

。卷積積分的性質(zhì)利用階躍響應和沖激響應的關系，有①先求出子系統(tǒng)的沖激響應：②依據(jù)子系統(tǒng)的串并聯(lián)關系，求出總系統(tǒng)的沖激響應為：③利用卷積積分求出總系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為：卷積積分的性質(zhì)解：已知證明：證明：（1）普通函數(shù)和沖激函數(shù)的卷積沖激函數(shù)是偶函數(shù)卷積積分的性質(zhì)

二、奇異函數(shù)的卷積特性11證明：卷積積分的性質(zhì)（2）普通函數(shù)和階躍函數(shù)的卷積證明：證明：沖激偶函數(shù)是奇函數(shù)卷積積分的性質(zhì)（3）普通函數(shù)和沖激偶函數(shù)的卷積卷積積分的性質(zhì)例2：計算下列各題。（1）（2）卷積積分的性質(zhì)例2：計算下列各題。（3）（4）卷積積分的性質(zhì)例2：計算下列各題。（5）（6）（1）卷積的微分特性

證明：卷積積分的性質(zhì)

三、卷積的微積分特性證明：卷積積分的性質(zhì)（2）卷積的積分特性

在

和

的前提下，卷積積分的性質(zhì)（3）卷積的微積分特性

解：代入卷積定義式：因為不滿足前提條件：例3：

，求

。注意：若利用

，

顯然是錯誤的。卷積積分的性質(zhì)解：例4：

如圖，

，求

。卷積積分的性質(zhì)四、卷積的時移特性若則卷積積分的性