5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析信號與系統(tǒng)主講人：吉利萍西安郵電大學(xué)教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)二、系統(tǒng)函數(shù)

三、系統(tǒng)的s域框圖四、電路系統(tǒng)的s域模型一、拉氏變換求解微分方程5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析一、拉氏變換求解微分方程描述n階LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分方程：

系統(tǒng)初始狀態(tài)：y(0-),y(1)(0-),…，y(n-1)(0-)思路：單邊拉氏變換解代數(shù)方程拉氏逆變換時域微分方程s域代數(shù)方程s域響應(yīng)Y(s)時域響應(yīng)y(t)解微分方程5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析二階系統(tǒng)響應(yīng)的s域求解

已知

f(t)，y(0-)，y’(0-)，求y(t)。

求解s域代數(shù)方程，得到和

拉氏逆變換，求出響應(yīng)的時域形式求解步驟：對微分方程做單邊拉氏變換，得到s域的代數(shù)方程5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析例1：描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為

y"(t)+5y'(t)+6y(t)=3f'(t)+f(t)已知初始狀態(tài)y(0-)=1，y’(0-)=2，激勵f(t)=e-t

(t)，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。解：對微分方程兩邊同時進(jìn)行單邊拉氏變換5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析Yzi(s)Yzs(s)5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析例2：描述一線性時不變連續(xù)因果系統(tǒng)的微分方程為

初始狀態(tài)

,，輸入信號為

，試求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)

。解：對微分方程兩邊同時進(jìn)行單邊拉氏變換5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析先求零狀態(tài)響應(yīng)：5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析再求零輸入響應(yīng)：求解s域的零輸入響應(yīng)，逆變換求出時域形式歸納總結(jié)：已知微分方程、激勵信號、0+初始條件，求響應(yīng)的步驟求解s域的零狀態(tài)響應(yīng)，逆變換求出時域形式，和利用

和求出0-初始值5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析描述n階LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為:

在零狀態(tài)下對微分方程兩邊同時做單邊拉普拉斯變換：S域系統(tǒng)函數(shù)：二、系統(tǒng)函數(shù)5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析描述連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型微分方程系統(tǒng)框圖......

單位沖激響應(yīng)單位階躍響應(yīng)頻率響應(yīng)系統(tǒng)函數(shù)注意：系統(tǒng)函數(shù)是系統(tǒng)的各種數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換的橋梁紐帶。電路圖5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析（1）系統(tǒng)函數(shù)與單位沖激響應(yīng)之間的轉(zhuǎn)換與

是一對單邊拉氏變換5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析（2）系統(tǒng)函數(shù)與單位階躍響應(yīng)之間的轉(zhuǎn)換5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析例3：

某LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，求該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和階躍響應(yīng)。解：系統(tǒng)函數(shù)：階躍響應(yīng)：法一：法二：5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析（3）系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng)

之間的轉(zhuǎn)換拉氏變換傅里葉變換若的收斂域包含虛軸，則系統(tǒng)頻率響應(yīng)

存在,且5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析（4）系統(tǒng)函數(shù)與微分方程之間的轉(zhuǎn)換

方法：在零狀態(tài)下對微分方程兩邊同時做拉氏變換，已知微分方程，求系統(tǒng)函數(shù)已知系統(tǒng)函數(shù)

，求微分方程

方法：

將分式交叉相乘得到

對上式兩邊同時進(jìn)行拉氏逆變換得到微分方程。

5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析解：例4：

已知某線性時不變連續(xù)因果系統(tǒng)的微分方程為

試求該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和單位沖激響應(yīng)。在零狀態(tài)下對微分方程兩邊同時作拉氏變換：系統(tǒng)函數(shù)：單位沖激響應(yīng)：5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析解：例5：

已知當(dāng)輸入時，某LTI因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，求該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)和描述該系統(tǒng)的微分方程。

首先求系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)：5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析拉氏逆變換得：系統(tǒng)微分方程：單位沖激響應(yīng)：5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析基本單元的S域模型時域模型s域模型數(shù)乘器加法器三、系統(tǒng)的s域框圖5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析時域模型s域模型

積分器(零狀態(tài))基本單元的S域模型5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析思路：例6:某LTI系統(tǒng)時域框圖如圖所示，求（1）系統(tǒng)函數(shù)和系統(tǒng)微分方程；（2）若系統(tǒng)輸入

,求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。

畫s域框圖系統(tǒng)函數(shù)零狀態(tài)響應(yīng)關(guān)鍵求微分方程（5）系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)框圖之間的轉(zhuǎn)換5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析設(shè)左端加法器輸出為X(s)

分別依據(jù)左右兩個加法器列寫方程：

畫s域框圖系統(tǒng)函數(shù)：5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析交叉相乘：

微分方程：零狀態(tài)響應(yīng)：5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析基本元件的S域模型電阻（6）系統(tǒng)函數(shù)與電路圖之間的轉(zhuǎn)換四、電路系統(tǒng)的s域模型5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析電感5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析電容5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析是電流的象函數(shù)，稱象電流。對電路中的任一節(jié)點(diǎn)，流入或流出該節(jié)點(diǎn)的象電流的代數(shù)和恒為零?；鶢柣舴螂娏鞫桑↘CL）是電壓的象函數(shù)，稱象電壓。對電路中的任一回路，回路中各支路象電壓的代數(shù)和恒為零?；鶢柣舴螂妷憾桑↘VL）5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析解:畫出電路零狀態(tài)的復(fù)頻域模型

如圖所示電路，輸入電壓源

求電路的系統(tǒng)函數(shù)和零狀態(tài)響應(yīng)。例7:系統(tǒng)函數(shù)：零狀態(tài)響應(yīng)：5.4LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析例8:解：如圖所示電路，已知uS(t)=

(t)V，iS(t)=δ(