22.2.1直接開平方法和因式分解法第22章

一元二次方程【2025-2026學年華東師大版】數(shù)學

九年級上冊

授課教師：********班級：********時間：********幻燈片1：封面標題：解一元二次方程的兩種方法——直接開平方法和因式分解法副標題：掌握簡便解法，高效求解方程幻燈片2：復習回顧一元二次方程的一般形式：\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）。方程的根：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值。引入：對于不同形式的一元二次方程，有不同的求解方法，今天我們學習兩種簡便方法——直接開平方法和因式分解法?；脽羝?：直接開平方法——原理與適用形式原理：若\(x^2=n\)（\(n\geq0\)），根據(jù)平方根的定義，\(x\)是\(n\)的平方根，即\(x=\pm\sqrt{n}\)。適用形式：形如\(x^2=n\)（\(n\geq0\)）的方程。形如\((mx+n)^2=p\)（\(m\neq0\)，\(p\geq0\)）的方程，可將\(mx+n\)看作一個整體。注意：當\(n<0\)或\(p<0\)時，方程無實數(shù)根（因為負數(shù)沒有平方根）。幻燈片4：直接開平方法——例題1（基礎(chǔ)形式）題目：解方程\(x^2=25\)。解答過程：根據(jù)直接開平方法，\(x\)是25的平方根。所以\(x=\pm\sqrt{25}=\pm5\)。方程的解為\(x_1=5\)，\(x_2=-5\)?；脽羝?：直接開平方法——例題2（含括號形式）題目：解方程\((x-3)^2=16\)。解答過程：將\(x-3\)看作一個整體，它是16的平方根。因此\(x-3=\pm\sqrt{16}=\pm4\)。當\(x-3=4\)時，\(x=4+3=7\)；當\(x-3=-4\)時，\(x=-4+3=-1\)。方程的解為\(x_1=7\)，\(x_2=-1\)?；脽羝?：直接開平方法——例題3（需整理形式）題目：解方程\(2(x+1)^2-8=0\)。解答過程：先整理方程：移項得\(2(x+1)^2=8\)，兩邊同時除以2得\((x+1)^2=4\)。則\(x+1=\pm\sqrt{4}=\pm2\)。當\(x+1=2\)時，\(x=2-1=1\)；當\(x+1=-2\)時，\(x=-2-1=-3\)。方程的解為\(x_1=1\)，\(x_2=-3\)?；脽羝?：因式分解法——原理原理：若兩個因式的積等于0，則至少有一個因式等于0，即如果\(ab=0\)，那么\(a=0\)或\(b=0\)（\(a\)、\(b\)為代數(shù)式）。核心思路：將一元二次方程化為\((x-m)(x-n)=0\)的形式，然后轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程\(x-m=0\)或\(x-n=0\)求解。幻燈片8：因式分解法——適用形式與步驟適用形式：方程右邊為0，左邊能分解成兩個一次因式的積（如\(x^2+bx+c=0\)可分解為\((x+p)(x+q)=0\)，其中\(zhòng)(p+q=b\)，\(pq=c\)）。步驟：移項：使方程右邊為0，左邊為二次三項式。因式分解：將左邊分解為兩個一次因式的積。轉(zhuǎn)化：令每個因式等于0，得到兩個一元一次方程。求解：解這兩個一元一次方程，得到原方程的根?；脽羝?：因式分解法——例題1（平方差公式）題目：解方程\(x^2-9=0\)。解答過程：左邊利用平方差公式分解：\((x+3)(x-3)=0\)。令\(x+3=0\)或\(x-3=0\)。解得\(x_1=-3\)，\(x_2=3\)?；脽羝?0：因式分解法——例題2（提公因式法）題目：解方程\(3x^2-6x=0\)。解答過程：移項后左邊提公因式：\(3x(x-2)=0\)。令\(3x=0\)或\(x-2=0\)。解得\(x_1=0\)，\(x_2=2\)。幻燈片11：因式分解法——例題3（十字相乘法）題目：解方程\(x^2-5x+6=0\)。解答過程：左邊分解：尋找兩個數(shù)，它們的和為-5，積為6，這兩個數(shù)是-2和-3，因此\((x-2)(x-3)=0\)。令\(x-2=0\)或\(x-3=0\)。解得\(x_1=2\)，\(x_2=3\)?；脽羝?2：兩種方法的對比與選擇方法適用方程形式優(yōu)勢注意事項直接開平方法\(x^2=n\)（\(n\geq0\)）、\((mx+n)^2=p\)（\(p\geq0\)）步驟簡單，直接求解必須化為“平方等于非負數(shù)”的形式，負數(shù)無實根因式分解法右邊為0，左邊可分解為兩個一次因式的積避免復雜計算，直觀轉(zhuǎn)化為一次方程分解因式要徹底，確保每個因式都是一次式幻燈片13：易錯點分析直接開平方法：遺漏負根：如解方程\(x^2=4\)，只寫\(x=2\)，忘記\(x=-2\)。對負數(shù)開平方：如解方程\(x^2=-1\)，錯誤地認為有實根。因式分解法：未將方程右邊化為0：如解方程\(x^2=3x\)，直接分解為\(x(x)=3x\)，而不是移項為\(x^2-3x=0\)再分解。分解不徹底：如將\(x^2-4x+4=0\)分解為\((x-2)(x-2)=0\)是正確的，但若分解為\(x(x-4)+4=0\)則未完成分解?；脽羝?4：課堂練習1（直接開平方法）解方程：（1）\(x^2=16\)（2）\((x+2)^2=5\)（3）\(2(x-1)^2-8=0\)答案：（1）\(x_1=4\)，\(x_2=-4\)；（2）\(x_1=-2+\sqrt{5}\)，\(x_2=-2-\sqrt{5}\)；（3）\(x_1=3\)，\(x_2=-1\)?；脽羝?5：課堂練習2（因式分解法）解方程：（1）\(x^2-5x=0\)（2）\(x^2-7x+12=0\)（3）\(4x^2-9=0\)答案：（1）\(x_1=0\)，\(x_2=5\)；（2）\(x_1=3\)，\(x_2=4\)；（3）\(x_1=\frac{3}{2}\)，\(x_2=-\frac{3}{2}\)?；脽羝?6：課堂小結(jié)直接開平方法：適用于“平方形式等于非負數(shù)”的方程，解為\(\pm\sqrt{é??è′???°}\)。因式分解法：通過分解因式將二次方程轉(zhuǎn)化為一次方程，核心是“若\(ab=0\)，則\(a=0\)或\(b=0\)”。選擇技巧：根據(jù)方程形式靈活選擇，優(yōu)先使用步驟簡單的方法?；脽羝?7：課后作業(yè)基礎(chǔ)題：用適當?shù)姆椒ń夥匠蹋海?）\(x^2=25\)（2）\((x-5)^2=9\)（3）\(x^2-6x=0\)（4）\(x^2-2x-8=0\)提高題：若方程\((x-a)^2=b\)（\(b\geq0\)）的一個根是\(x=5\)，另一個根是\(x=-1\)，求\(a\)和\(b\)的值。用因式分解法解方程：\((x-1)(x+3)=12\)（提示：先化為一般形式）。5課堂檢測4新知講解6變式訓練7中考考法8小結(jié)梳理學習目錄1復習引入2新知講解3典例講解1.如果x2=a

(a

≥0)，則x就叫做a

的________.2.如果x2=a

(a≥0)

，則x=______.3.如果x2=64(a≥0)

，則x=______.4.把下列各式分解因式：(1)

x2–3x_______________(2)_______________(3)2x2–x–3_______________x(x–3)(2x–3)(x

+1)平方根復習導入進行新課解下列方程：（1）x2=4；

（2）x2–1=0.試一試你是怎樣解得？對于題（1），有這樣的解法：方程

x2=4，意味著x

是4的平方根，所以即x=±2.概括這里得到了方程的兩個根，通常也表示成x1=2，x2=–2.利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫直接開平方法.對于題（2）x2–1=0,有這樣的解法：將方程左邊用平方差公式分解因式，得

(x–1)(x+1)=0必有x–1=0或x+1=0分別解這兩個一元一次方程，得

x1=1，x2=–1.利用因式分解的方法解方程，這種方法叫做因式分解法.使用兩種方法解方程：x2–900=0.做一做（1）移項，得x2=900，直接開平方，得x

=±30，∴x1=30，x2=–30.（2）左邊因式分解，得x+30=0或x

–30

=0，所以得

x1=30，x2=–30.(x+30)(x

–30)=0，例1解解下列方程：（1）x2–2=0；

（2）16x2–25=0（1）移項，得x2=2.直接開平方，得即（2）移項，得16x2=25.方程兩邊都除以16，得直接開平方，得即解解下列方程：（1）3x2+2x=0；

（2）x2=3x.（1）方程左邊分解因式，得x(3x+2)=0.所以x=0或3x+2=0.得例2（2）移項，得x2

–3x=0.方程左邊分解因式，得x(x–3)=0.所以x=0或x–3=0.得x1=0，x2=3.（2）x2=3x解下列方程：（1）(x+1)2

–4=0；（2）12(2–x)2

–9=0.兩個方程都可以通過簡單的變形，化為(

)2

=a

(a

≥0)的形式，用直接開平方法求解.例3分析（1）原方程可以變形為(x

+1)2=4.直接開平方，得x+1=±2.所以x1=1，x2=–3.解你是這樣解的嗎？還有沒有其他解法？（2）原方程可以變形為_______________________.直接開平方，得_______________________.所以x1=________，x2=________.小張和小林一起解方程

x(3x

+2)–6(3x

+2)=0.小張將方程左邊分解因式，得

(3x

+2)(x–6)=0，所以3x

+2=0或x–6=0.得你知道嗎？小林的解法是這樣的：移項，得x(3x

+2)=6(3x

+2)，方程兩邊都除以(3x

+2)，得

x

=6.小林說：“我的方法多簡便！”可另一個根哪里去了？小林的解法對嗎？你能解開這個謎嗎？3x

+2可能為0.隨堂演練1.用直接開平方法解下列方程（1）3(x–1)2–6=0 （2）x2–4x+4=5（3）(x+5)2=25 （4）x2+2x+1=4解：（1）(x–1)2=2（2）(x–2)2=5（3）x1=0，x2=–10.（4）(x+1)2

=4x1=1，x2=–3.2.用因式分解法解下列方程：（1）

x2+x=0 （2）（3）3x2–6x=–3 （4）(x–4)2=(5–2x)2

解：（1）x(x+1)=0；（2）（3）(x

–1)2=0；x1=0，x2=–1.x1=x2=1.（4）(x–4)2=(5–2x)2

(x–4)2–(5–2x)2=0[(x–4)-(5–2x)]

[(x–4)+(5–2x)]

=0(3x–9)(1–x)=03(x–3)(1–x)

=0得

x1=3，x2=1.x1＝3，x2＝－3返回1.根據(jù)x2＝9的意義可知，x是9的平方根，又因為32＝9，(－3)2＝9，所以一元二次方程x2＝9的根為_____________．一元二次方程x2＝(－5)2的解為______________．x1＝5，x2＝－5B返回2．一元二次方程x2＝16的解為(

)A．x1＝x2＝4 B．x1＝4，x2＝－4C．x1＝x2＝－4 D．x1＝x2＝16k≥0返回3．若關(guān)于x的一元二次方程x2－k＝0有實數(shù)根，則k的取值范圍是________．4．用直接開平方法解下列方程：(1)9x2－49＝0;(2)1－4x2＝1；解：移項、合并同類項，得－4x2＝0，系數(shù)化為1，得x2＝0，開平方，得x1＝x2＝0.(3)3x2＋1＝25;(4)2x2＋5＝0.返回45.在方程(x－3)2＝16中，將x－3視為一個整體，則x－3是16的平方根，所以x－3＝________或x－3＝______，故方程(x－3)2＝16的解為x1＝7，x2＝______．－4－1返回C返回6．下列不能用直接開平方法求解的是(

)A．x2－4＝0 B．(x－1)2－9＝0C．x2＋3x＝0 D．(x－1)2＝(－6)2返回7．[2025晉中期中]一元二次方程(x＋3)2＝0的根是(

)A．x1＝x2＝3 B．x1＝x2＝－3C．x1＝3，x2＝－3 D．無實數(shù)根B返回x＝－138．