專題12.21三角形全等幾何模型-“手拉手”模型（專項(xiàng)練習(xí)）（鞏固篇）一、單選題1．如圖，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA＞OC，∠AOB=∠COD=40°，連接AC，BD交于點(diǎn)M，連接OM，下列結(jié)論：①△AOC≌△BOD；②AC=BD；③∠AMB=40°；④MO平分∠BMC．其中正確的個數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．12．如圖，在中，，點(diǎn)D、F是射線BC上兩點(diǎn)，且，若，；則下列結(jié)論中正確的有（）①；②；③；④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．如圖，，，三點(diǎn)在同一直線上，，都是等邊三角形，連接，，：下列結(jié)論中正確的是（）①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等邊三角形；③平分；④△BPO≌△EDO．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④二、填空題4．（1）如圖（1），在四邊形中，,，E，F(xiàn)分別是上的動點(diǎn)，且，求證：．（2）如圖（2），在（1）的條件下，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別運(yùn)動到的延長線上時，之間的數(shù)量關(guān)系是______．5．如圖，，，，和相交于，和相交于，則的度數(shù)是__°.6．如圖，C在線段AB上，在AB的同側(cè)作等邊三角形△ACM和△BCN，連接AN，BM，若∠MBN＝38°，則∠ANB＝_____．7．如圖，正三角形和，A，C，E在同一直線上，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ．①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．成立的結(jié)論有______________．并寫出3對全等三角形___________________________．三、解答題8．探究等邊三角形“手拉手”問題．（1）如圖1，已如△ABC，△ADE均為等邊三角形，點(diǎn)D在線段BC上，且不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合，連接CE，試判斷CE與BA的位置關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，已知△ABC、△ADE均為等邊三角形，連接CE、BD，若∠DEC＝60°，試說明點(diǎn)B，點(diǎn)D，點(diǎn)E在同一直線上；（3）如圖3，已知點(diǎn)E在ABC外，并且與點(diǎn)B位于線段AC的異側(cè)，連接BE、CE．若∠BEC＝60°，猜測線段BE、AE、CE三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．9．問題背景：我們學(xué)習(xí)等邊三角形時得到直角三角形的一個性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．即：如圖（1），在中，，，則．探究結(jié)論：小明同學(xué)對以上結(jié)論作了進(jìn)一步研究．（1）如圖（1），作邊上的中線，得到結(jié)論：①為等邊三角形；②與之間的數(shù)量關(guān)系為_________．（2）如圖（2），是的中線，點(diǎn)D是邊上任意一點(diǎn)，連接，作等邊，且點(diǎn)P在的內(nèi)部，連接．試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想并加以證明．（3）當(dāng)點(diǎn)D為邊延長線上任意一點(diǎn)時，在（2）中條件的基礎(chǔ)上，線段與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出答案即可．10．如圖所示，等腰直角三角形、，，，，和交于點(diǎn)，問線段和之間有什么關(guān)系，并證明.11．如圖所示，中，，，把一塊含角的直角三角板的直角頂點(diǎn)放在的中點(diǎn)上（直角三角板的短直角邊為，長直角邊為），將三角板繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn).（1）在如圖所見中，交于，交于，證明；（2）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖所見，延長交于，延長交于，證明.如圖，已知是等邊三角形，點(diǎn)D在BC邊上，是以AD為邊的等邊三角形，過點(diǎn)F作BC的平行線交線段AC于點(diǎn)E，連接BF，求證：13．如圖所示，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，和都是等邊三角形.（1）連結(jié)，，求證：；（2）如圖所示，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到.①當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為______度時，邊落在上；②在①的條件下，延長交于點(diǎn)，連結(jié)，.當(dāng)線段、滿足什么數(shù)量關(guān)系時，與全等？并給予證明.14．已知：△ABC，△BDE為等邊三角形，C、B、D三點(diǎn)共線。求證：（1）AD=EC；（2）BP=BQ；（3）△BPQ為等邊三角形。15．四邊形ABCD是正方形，AC是對角線，E是平面內(nèi)一點(diǎn)，且，過點(diǎn)C作，且．連接AE、AF，M是AF的中點(diǎn)，作射線DM交AE于點(diǎn)N.（1）如圖1，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上．求證：①；②；（2）如圖2，若點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)，點(diǎn)F在直線BC的上方，求與的和的度數(shù)．16．如圖，兩個正方形ABCD和DEFG，連接AG與CE，二者相交于H問：（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否與CE相等？（3）AG與CE之間的夾角為多少度？（4）HD是否平分∠AHE？（如果你知道勾股定理的話，請問線段AC、GE、AE、CG有什么數(shù)量關(guān)系？）17．如圖，在等邊三角形中，是邊上的動點(diǎn)，以為一邊向上作等邊三角形，連接．（1）求證：≌；（2）求證：；（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到的中點(diǎn)時，與有什么位置關(guān)系？并說明理由．18．如果兩個等邊三角形△ABD和△BCE，連接AE與CD．證明：（1）AE與DC的夾角為60°；AE與DC的交點(diǎn)設(shè)為H，BH平分∠AHC．19．等邊△ABD和等邊△BCE如圖所示，連接AE與CD．證明：（1）AE＝DC；（2）AE與DC的夾角為60°；（3）AE延長線與DC的交點(diǎn)設(shè)為H，求證：BH平分∠AHC．20．如圖，C為線段AE上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE（正三角形也叫等邊三角形，它的三條邊都相等，三個內(nèi)角都等于60°），AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ．試說明：（1）AD=BE；（2）填空∠AOE=°；（3）CP=CQ；21．如圖，已知三點(diǎn)共線，分別以為邊作等邊和等邊，連接分別與交于與的交點(diǎn)為．（1）求證：；（2）求度數(shù)；（3）連接，求證：22．如圖所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．判斷線段EC與BF數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并給予證明．23．已知DA⊥AB，CA⊥AE，AB=AE，AC=AD求證：DE=BC24．如圖1，張老師在黑板上畫出了一個，其中，讓同學(xué)們進(jìn)行探究．（1）探究一：如圖2，小明以為邊在內(nèi)部作等邊，連接，請直接寫出的度數(shù)_____________；（2）探究二：如圖3，小彬在（1）的條件下，又以為邊作等邊，連接.判斷與的數(shù)量關(guān)系；并說明理由；（3）探究三：如圖3，小聰在（2）的條件下，連接，若，求的長．25．已知：如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，△ABF、△ACE、△BCD均為等邊三角形．求證：AD＝EF．26．（1）如圖1，已知△ABC，以AB，AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE，CD，請你完成圖形（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡），并猜想BE與CD的關(guān)系；（2）如圖2，已知△ABC，以AB，AC為邊向外作正方形ABFD和正方形ACGE，連接BE，CD，BE與CD有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由；如圖，點(diǎn)D、B、C在一直線上，和都是等邊三角形．（1）求證：；（2）探索線段BA、BD、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．28．如圖，在中，以AB，AC為邊向外作等邊和等邊，連結(jié)BE，CF交于點(diǎn)O．求證：（1）；（2）AO平分∠EOF．如圖1，點(diǎn)是線段上除點(diǎn)、外的任意一點(diǎn)，分別以、為邊在線段的同旁做等邊三角形和等邊三角形，連接和BC相交于點(diǎn)Q，（1）求證：．（2）求的度數(shù)．（3）如圖2所示，和仍為等邊三角形，但和不在同一條直線上，是否成立，的度數(shù)與圖1是否相等，請直接寫出結(jié)論．30．已知：如圖，點(diǎn)B在線段AD上，ABC和BDE都是等邊三角形，且在AD同側(cè)，連接AE交BC于點(diǎn)G，連接CD交BE于點(diǎn)H，連接GH．（1）求證：AE=CD；（2）求證：AG=CH；（3）求證：GH∥AD．如圖，△ACB和△ECD中，∠ACB=∠ECD=a，且AC=BC，EC=DC,AE、BD交于P點(diǎn)，連CP（1）求證:△ACE≌△BCD（2）求∠APC的度數(shù)（用含a的式子表示）32．已知：在和中，，．（1）如圖①，若①求證：．②求證：的度數(shù)．圖①（2）如圖②，若，的大小為______（直接寫出結(jié)果，不證明）．圖②33．在直線的同一側(cè)作兩個等邊三角形和，連接與，試解決下列問題：（1）求證：；（2）求的度數(shù)；（3）連接，試判斷形狀．參考答案1．A【分析】由題意易得∠AOC=∠BOD，然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)及角平分線的判定定理可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵∠AOB=∠COD=40°，∠AOD是公共角，∴∠COD+∠AOD=∠BOA+∠AOD，即∠AOC=∠BOD，∵OA=OB，OC=OD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，∠ODB=∠OCA，故①②正確；過點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，OF⊥BD于點(diǎn)F，BD與OA相交于點(diǎn)H，如圖所示：∵∠AHM=∠OHB，∠AMB=180°-∠AHM-∠OAC，∠BOA=180°-∠OHB-∠OBD，∴∠AMB=∠BOA=40°，∴∠OEC=∠OFD=90°，∵OC=OD，∠OCA=∠ODB，∴△OEC≌△OFD（AAS），∴OE=OF，∴OM平分∠BMC，故③④正確；所以正確的個數(shù)有4個；故選A．【點(diǎn)撥】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定及角平分線的判定定理，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定及角平分線的判定定理是解題的關(guān)鍵．2．D【分析】由AD⊥AF，∠BAD=∠CAF，得出∠BAC=90°，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠B=∠ACB=45°，由SAS證得△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，∠B=∠ACE=45°，S△ABC=S四邊形ADCE，則∠ECB=90°，即EC⊥BF，易證∠ADF=60°，∠F=30°，由含30°直角三角形的性質(zhì)得出EF=2CE=2BD，DF=2AD，則BD=EF，由BC-BD=DF-CF，得出BC-EF=2AD-CF，即可得出結(jié)果．【詳解】∵AD⊥AF，∠BAD=∠CAF，

∴∠BAC=90°，

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB=45°，

在△ABD和△ACE中，，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD=CE，∠B=∠ACE=45°，S△ABC=S四邊形ADCE，

∴∠ECB=90°，

∴EC⊥BF，

∵∠B=45°，∠BAD=15°，

∴∠ADF=60°，

∴∠F=30°，

∴EF=2CE=2BD，DF=2AD，

∴BD=EF，

∵BC-BD=DF-CF，

∴BC-EF=2AD-CF，∴①、②、③、④正確．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、含30°角直角三角形的性質(zhì)、外角的定義等知識，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)、證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．3．B【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)，三角形的全等，逐一判斷即可．【詳解】∵△ABC，△CDE都是等邊三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠PCQ=∠ECD+∠PCQ，∠PCD=60°，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE，∴①的說法是正確的；∵△ACD≌△BCE，∴∠PDC=∠QEC，∵∠PCD=∠QCE=60°，CD=CE，∴△PCD≌△QCE，∴PC=QC，∴△CPQ是等邊三角形；∴②的說法是正確的；∵△PCD≌△QCE，∴PD=QE，，過點(diǎn)C作CG⊥PD，垂足為G，CH⊥QE，垂足為H，∴，∴CG=CH，∴平分，∴③的說法是正確的；無法證明△BPO≌△EDO．∴④的說法是錯誤的；故答案為①②③，故選B．【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形的全等與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，靈活進(jìn)行三角形全等的判定，活用角的平分線性質(zhì)定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．4．（1）詳見解析；（2）【分析】（1）延長到點(diǎn)G，使，連接，先證明，得到，然后證明，得到，根據(jù)，可得；（2）在上截取，連接，先證明△ABG≌△ADF（SAS），得到AG=AF，∠BAG=∠DAF，再證明△EAG≌△EAF（SAS），得到EG=EF，根據(jù)BG=DF，即可得EF=BE-BG=BE-DF．【詳解】（1）如圖，延長到點(diǎn)G，使，連接．，，又，，∴，，，．，∴，．，；（2）．如圖，在上截取，連接，，，在△ABG和△ADF中，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG=AF，∠BAG=∠DAF，∠BAD=2∠EAF，∴∠BAG+∠GAE+∠EAD=∠EAD+∠DAF+∠EAD+∠DAF，∴∠GAE=∠EAF，在△EAG和△EAF中，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴EG=EF，∵BG=DF，∴EF=BE-BG=BE-DF．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握判定定理是解題關(guān)鍵．5．120【分析】先得出∠DAC=∠EAB，進(jìn)而利用ASA得出△ADC≌△AEB，進(jìn)而得出∠E=∠ACD，再利用三角形內(nèi)角和定理得出∠EAF=∠COF=60°，即可得出答案．【詳解】如圖所示：∵∠DAB=∠EAC=60°，

∴∠DAB+∠BAC=∠BAC+∠EAC，

∴∠DAC=∠EAB，

在△ADC和△AEB中，,∴△ADC≌△ABE（SAS），

∴∠E=∠ACD，

又∵∠AFE=∠OFC，

∴∠EAF=∠COF=60°，

∴∠DOE=120°．

故答案是：120．【點(diǎn)撥】考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知識，根據(jù)已知得出△ADC≌△AEB是解題關(guān)鍵．6．82°【分析】根據(jù)等邊三角形的邊相等，角相等，易證△ACN和△MCB全等，則∠ANC和∠MBA相等，∠MBA＝60°﹣∠MBN＝60°﹣38°＝22°，然后可求出∠ANB．【詳解】解：∵△ACM和△BCN是等邊三角形，∴AC＝MC，CB＝CN，∠ACM+∠MCN＝∠BCN+∠MCN，即∠ACN＝∠MCB．在△ACN和△MCB中，∴△ACN≌△MCB（SAS）．∴∠ANC＝∠MBA．∵∠MBA＝60°﹣∠MBN＝60°﹣38°＝22°，∴∠ANC＝22°．∴∠ANB＝22°+60°＝82°．故答案為：82°．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，本題是典型的“手拉手”模型，應(yīng)熟練掌握其中全等三角形的證明.7．①②③⑤△ACD≌△BCE，△BCQ≌△ACP，△CDP≌△CEQ【分析】①可證明△ACD≌△BCE,從而得出AD=BE；②可通過證明△BCQ≌△ACP，從而可證明△PCQ為等邊三角形，再根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行可證明PQ∥AE．③由②中△BCQ≌△ACP，可證AP=BQ；④通過證明△CDP≌△CEQ可得DP=EQ，又由圖可知DE＞QE，從而④錯誤；⑤通過三角形外角定理和前面△ACD≌△BCE可得該結(jié)論．由前面的證明過程可得出三個全等三角形．【詳解】解：①△ABC和△DCE均是等邊三角形，點(diǎn)A，C，E在同一條直線上，

∴AC=BC，EC=DC，∠BCE=∠ACD=120°

∴△ACD≌△BCE

∴AD=BE，故本選項(xiàng)正確；②∵△ACD≌△BCE，

∴∠CBQ=∠CAP，

又∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC，

∴△BCQ≌△ACP，

∴CQ=CP，又∠PCQ=60°，

∴△PCQ為等邊三角形，

∴∠QPC=60°=∠ACB，

∴PQ∥AE，故本選項(xiàng)正確；③由②△BCQ≌△ACP可得AP=BQ，故本選項(xiàng)正確；④∵△ACD≌△BCE，

∴∠ADC=∠BEC，∵CD=CE，∠DCP=∠ECQ=60°，

∴△CDP≌△CEQ（ASA）．∴DP=EQ，∵DE＞QE∴DE＞DP，故本選項(xiàng)錯誤；⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，故本選項(xiàng)正確；∴正確的有：①②③⑤．由上面證明過程可知△ACD≌△BCE，△BCQ≌△ACP，△CDP≌△CEQ．

故答案為：①②③⑤；△ACD≌△BCE，△BCQ≌△ACP，△CDP≌△CEQ．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)．熟練掌握全等三角形的判定定理，并能依據(jù)等邊三角形三邊相等，三角相等都是60°的特征判斷三角形全等是解題關(guān)鍵．8．（1）CE∥AB，理由見解析；（2）見解析；（3）BE＝AE+EC．理由見解析．【分析】（1）結(jié)論：CE∥AB．證明△BAD≌△CAE（SAS）可得結(jié)論．（2）利用全等三角形的性質(zhì)證明∠ADB＝∠AEC＝120°，證明∠ADB+∠ADE＝180°即可解決問題．（3）結(jié)論：BE＝AE+EC．在線段BE上取一點(diǎn)H，使得BH＝CE，設(shè)AC交BE于點(diǎn)O．利用全等三角形的性質(zhì)證明△AEH是等邊三角形即可．【詳解】（1）解：結(jié)論：CE∥AB．理由：如圖1中，∵△ABC，△ADE都是等邊三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠B＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠B＝∠ACE＝60°，∴∠BAC＝∠ACE＝60°，∴AB∥CE．（2）證明：如圖2中，由（1）可知，△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC，∵△ADE是等邊三角形，∴∠AED＝∠ADE＝60°，∵∠BEC＝60°，∴∠AEC＝∠AED+∠BEC＝120°，∴∠ADB＝∠AEC＝120°，∴∠ADB+∠ADE＝120°+60°＝180°，∴B，D，E共線．（3）解：結(jié)論：BE＝AE+EC．理由：在線段BE上取一點(diǎn)H，使得BH＝CE，設(shè)AC交BE于點(diǎn)O．∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠BAC＝60°，∵∠BEC＝60°，∴∠BAO＝∠OEC＝60°，∵∠AOB＝∠EOC，∴∠ABH＝∠ACE，∵BA＝CA，BH＝CE，∴△ABH≌△ACE（SAS），∴∠BAH＝∠CAE，AH＝AE，∴∠HAE＝∠BAC＝60°，∴△AEH是等邊三角形，∴AE＝EH，∴BE＝BH+EH＝EC+AE，即BE＝AE+EC．【點(diǎn)撥】本題主要考查三角形全等的性質(zhì)與判定及等邊三角形，熟練掌握判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意平時常用的輔助線作法．9．（1）；（2），證明詳見解析；（3）【分析】（1）只要證明△ACE是等邊三角形即可解決問題；（2）如圖2中，結(jié)論：ED=EB．想辦法證明EP垂直平分線段AB即可解決問題；（3）結(jié)論不變，證明方法類似．【詳解】（1），，，為邊上的中線，，是等邊三角形，．（2）．證明：如圖，連接，都是等邊三角形，，，，，．，．，；（3）當(dāng)點(diǎn)D為邊延長線上任意一點(diǎn)時，同（2）中的方法可證．【點(diǎn)撥】本題考查三角形綜合題、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，正確添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形是解決問題的關(guān)鍵．10．且，理由見解析【解析】【分析】證明△DAC≌△EAB得DC=EB，再證明∠CDE+∠DEF=90°即可得到結(jié)論.【詳解】且，證明：∵∠DAE=∠CAB=90°，DA=EA，CA=BA，∴∠DAC=∠EAB，∴△DAC≌△EAB，∴DC=EB，∵∠FDE+∠FDA+∠AED=90°，∴∠FDE+∠FED=90°，即∴線段DC和EB之間的關(guān)系為：且【點(diǎn)撥】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．11．(1)見解析；（2）見解析.【解析】【分析】（1）連接BD，證明△DMB≌△DNC．根據(jù)已知，全等條件已具備兩個，再證出∠MDB=∠NDC，用ASA證明全等，四邊形DMBN的面積不發(fā)生變化，因?yàn)樗拿娣e始終等于△ABC面積的一半；（2）同樣利用（1）中的證明方法可以證出△DMB≌△DNC；（3）方法同（1）．【詳解】證明：（1）連接BD,∵AB=BC，∠ABC=90°，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)∴BD⊥AC，∠A=∠C=45°∴BD=AD=CD∴∠ABD=∠A=45°∴∠MBD=∠C=45°∵∠MDB+∠BDN=90°∠NDC+∠BDN=90°∴∠MDB=∠NDC在△MDB和△NDC中∴△MDB≌△NDC（ASA）∴DM=DN（5分）（2）DM=DN仍然成立．理由如下：連接BD，由（1）知BD⊥AC，BD=CD∴∠ABD=∠ACB=45°∵∠ABD+∠MBD=180°∠ACB+∠NCD=180°∴∠MBD=∠NCD∵BD⊥AC∴∠MDB+∠MDC=90°又∠NDC+∠MDC=90°∴∠MDB=∠NDC在△MDB和△NDC中∴△MDB≌△NDC（ASA）

∴DM=DN.【點(diǎn)撥】本題主要考查學(xué)生的推理能力，題目比較典型，利用ASA求三角形全等（手拉手模型），還運(yùn)用了全等三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，及等腰三角形三線合一定理等知識．12．（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)角的和差可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理即可得證；（2）先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)平行線的判定可得，然后根據(jù)平行四邊形的判定即可得證．【詳解】（1）∵和都是等邊三角形，∴，，即，在和中，，∴；【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)知識點(diǎn)，熟練掌握各判定定理與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．13．（1）詳見解析；（2）①；②當(dāng)時，與全等.【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，，，然后求出，再利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證；

求出，即可得到旋轉(zhuǎn)角度數(shù)；

當(dāng)時，與全等根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，然后得到四邊形是菱形，根據(jù)菱形的對角線平分一組對角可得，菱形的對邊平行可得，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出，，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出，從而得到，然后利用“角邊角”證明與全等．【詳解】證明：和都是等邊三角形．

，，，

，

即，

在和中，

，

≌，

；當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為60°時，邊落在上.

理由如下：，

，

邊落在AE上，

旋轉(zhuǎn)角．

故答案為60．

當(dāng)時，與全等．

理由如下：由旋轉(zhuǎn)可知，與AD重合，

，

四邊形是菱形，

，，

是等邊三角形，

，，

，

，

，

又，

，

在與中，，

≌．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與全等三角形的判定時提到過．14．（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，從而證得△ABD≌△CBE，即可得到AD=EC；（2）根據(jù)△ABD≌△CBE，∠ABE=60°，可通過ASA證明△PBE≌△QBD，所以BP=BQ；（3）由BP=BQ，∠ABE=60°，可得△BPQ為等邊三角形.【詳解】證明：（1）∵△ABC與△BDE為等邊三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，AB＝∴△ABD≌△CBE(SAS)，∴AD=EC；（2）∵△ABD≌△CBE，∠ABC＝∠DBE＝60°，C、B、D三點(diǎn)共線，∴∠ADB=∠CEB，∠ABE=60°，在△PBE和△QBD中，∠QDB=∠PEBBD=BE∴△PBE≌△QBD（ASA），∴BP=BQ；（3）連接PQ，∵BP=BQ，∠ABE=60°，∴△BPQ為等邊三角形.【點(diǎn)撥】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．15．（1）①見解析；②見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知及正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)的計算，可知①∠BAE＝∠DAF是否成立；可知②DN⊥AE是否成立；（2）根據(jù)已知及正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)的計算，求出?∠EAC與∠ADN的和的度數(shù).【詳解】（1）證明：①在正方形ABCD中，∴，.∵，∴.∴.∴.②∵M(jìn)是AF的中點(diǎn)，∴，由①可知.∵.∵∴∴（2）解：延長AD至H，使得，連結(jié)FH，CH.∵，∴.在正方形ABCD屮，AC是對角線，∴.∴.∴.∴又∵，∴.∴∵M(jìn)是AF的中點(diǎn)，D是AH的中點(diǎn)，∴.∴∴【點(diǎn)撥】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)的計算.16．（1）是，詳見解析；（2）是，詳見解析；（3）90°；（4）是，詳見解析【分析】（1）由四邊形與是正方形，可得，，，進(jìn)而得出，然后由邊角邊即可判定；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)則可證得；（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和角的關(guān)系即可得出夾角是；（4）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形的面積解答即可．【詳解】解：（1）結(jié)論：成立證明：∵和是正方形∴，，且∴在與中∴；（2）結(jié)論：證明：∵∴；（3）與交點(diǎn)為，如圖：∵∴∵∴∴∴和的夾角為；（4）結(jié)論：平分證明：過點(diǎn)作，，如圖：∵∴∴∵∴∵，∴平分．由勾股定理可得：AC2+GE2=AE2+CG2．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)、角的和差、三角形的面積、角平分線的判定、三角形的內(nèi)角和等知識點(diǎn)，體現(xiàn)了邏輯推理的核心素養(yǎng)，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵．17．（1）見解析；（2）見解析；（3），見解析．【分析】（1）根據(jù)和是等邊三角形，得到邊角關(guān)系，即，，，根據(jù)等式性質(zhì)得到，最后利用證明全等即可；（2）根據(jù)≌，可知對應(yīng)角，又因?yàn)?，等量代換可知，進(jìn)而得到；（3），由是等邊三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，根據(jù)三線合一可知，再根據(jù)≌，進(jìn)而得到，最后可求得的度數(shù)．【詳解】（1）和是等邊三角形；，，，，即，在與中，≌；（2）≌，；，，；（3），理由如下：是等邊三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，≌，，，．【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，等式的性質(zhì)以及平行線的判定等知識點(diǎn)，準(zhǔn)確的運(yùn)用這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（1）詳見解析；（2）詳見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出，，，求出．根據(jù)證，則，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求出；（2）過點(diǎn)分別作，，垂足為點(diǎn)、，再（1）結(jié)論的基礎(chǔ)上根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及三角形的面積公式求得，然后根據(jù)角平分線的判定即可得證結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵和是等邊三角形∴，，∴在和中，∴∴，∵∴在中，；（2）過點(diǎn)分別作，，垂足為點(diǎn)、，如圖：∵由（1）知：∴，∴∴∵，∴點(diǎn)在的平分線上，∴平分．【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形性質(zhì)、三角形的面積、全等三角形的性質(zhì)和判定、三角形的內(nèi)角和定理、等式性質(zhì)、角平分線的判定等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用，證明是解決問題的關(guān)鍵．19．（1）詳見解析；（2）60°；（3）詳見解析【分析】（1）根據(jù)△ABD和△BCE都是等邊三角形，即可得到△ABE≌△DBC（SAS），進(jìn)而得出AE＝DC；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，即可得到△ADH中，∠AHD＝60°，進(jìn)而得到AE與DC的夾角為60°；（3）過B作BF⊥DC于F，BG⊥AH于G，根據(jù)全等三角形的面積相等，即可得到BG＝BF，再根據(jù)BF⊥DC于F，BG⊥AH于G，可得BH平分∠AHC．【詳解】證明：（1）∵△ABD和△BCE都是等邊三角形，∴AB＝DB，EB＝CB，∠ABD＝∠EBC∴∠ABE＝∠DBC∴在△ABE和△DBC中∴△ABE≌△DBC（SAS）∴AE＝DC；（2）∵△ABE≌△DBC∴∠BAE＝∠BDC又∵∠BAE+∠HAD+∠ADB＝120°∴∠BDC+∠HAD+∠ADB＝120°∴△ADH中，∠AHD＝180°﹣120°＝60°即AE與DC的夾角為60°；（3）過B作BF⊥DC于F，BG⊥AH于G，如圖：∵△ABE≌△DBC∴S△ABE＝S△DBC，即AE×BGDC×BF∵AE＝DC∴BG＝BF∵BF⊥DC于F，BG⊥AH于G∴BH平分∠AHC．【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、三角形的內(nèi)角和定理、等式性質(zhì)、角平分線的判定等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用，證明是解決問題的關(guān)鍵．20．（1）見解析；（2）120；（3）見解析【分析】（1）由于△ABC和△CDE是等邊三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，從而證出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；（2）由（1）推出∠CAD=∠CBE，利用三角形內(nèi)角和定理可求得∠BOP=∠ACP=60°，從而求得∠AOE的度數(shù)；（3）由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），從而證明CP=CQ．【詳解】（1）∵△ABC和△CDE為等邊三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD與△BCE中，，

∴△ACD≌△BCE(SAS)，

∴AD=BE；（2）∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵∠APC=∠BPO，∴∠BOP=∠ACP=60°，∴∠AOE=18060°=120°，故答案為：120；（3）∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCQ=60°，在△CQB和△CPA中，，

∴△CQB≌△CPA（ASA），∴CP=CQ．【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．21．（1）證明見解析（2）（3）證明見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)去證明，即可得證；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，再根據(jù)（1）中可得，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求出度數(shù)；（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)去證明，可得，從而求得即可得證．【詳解】（1）∵和是等邊三角形∴∴∴在△BCD和△ACE中∴∴；（2）∵是等邊三角形∴∵∴∴；（3）∵和是等邊三角形∴∴∴在△BCM和△ACN中∴∴∴∴∴．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的綜合問題，掌握等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及判定定理、三角形外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)以及判定定理是解題的關(guān)鍵．22．EC=BF，EC⊥BF，理由詳見解析【分析】先由條件可以得出∠EAC=∠BAE，再證明△EAC≌△BAF就可以得出EC=BF，再利用角度之間的轉(zhuǎn)化可得∠BMD=90°，即可證明EC⊥BF．【詳解】解：EC=BF，EC⊥BF

證明如下：∵AE⊥AB，AF⊥AC，

∴∠BAE=∠CAF=90°，

∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，即∠EAC=∠BAF，

在△ABF和△AEC中，，

∴△ABF≌△AEC（SAS），

∴EC=BF，∠AEC=∠ABF，

∵AE⊥AB，

∴∠BAE=90°，

∴∠AEC+∠ADE=90°，

∵∠ADE=∠BDM（對頂角相等），

∴∠ABF+∠BDM=90°，

在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，

∴EC⊥BF．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，垂直的判定的運(yùn)用．解答時注意證明三角形全等的手拉手模型．23．見解析【分析】由垂直的定義得到一對直角相等，再利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形EAD與三角形BAC全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得證．【詳解】證明：∵DA⊥AB，CA⊥AE，

∴∠EAC=∠BAD=90°，

∴∠EAC+∠CAD=∠BAD+∠CAD，

∴∠EAD=∠BAC，

在△EAD和△BAC中

，

∴△EAD≌△BAC，

∴DE=BC．【點(diǎn)撥】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（1）150；（2）CE=AD．理由見解析；（3）．【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件可知△ABD≌△ACD，進(jìn)而得出∠ADB的度數(shù)；（2）通過證明△ABD≌△EBC即可解答；（3）通過前兩問得出∠DCE=90°，通過角度運(yùn)算得出∠BDE=90°，分別由勾股定理運(yùn)算即可得．【詳解】（1）∵△BCD是等邊三角形，∴BD=BC，∠BDC=60°∴在△ABD與△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠ADB=∠ADC=故答案為：150°（2）結(jié)論：CE=AD．理由：∵△BDC、△ABE都是等邊三角形，∴∠ABE=∠DBC=60°，AB=BE，BD=DC，∴∠ABE﹣∠DBE=∠DBC﹣∠DBE，∴∠ABD=∠EBC，在△ABD和△EBC中，∴△ABD≌△EBC(SAS)∴CE=AD（3）∵△ABD≌△EBC，∴∠BDA=∠ECB=150°∵∠BCD=60°，∴∠DCE=90°．∵∠DEC=60°，∴∠CDE=30°∵DE=2，∴CE=1，由勾股定理得：DC=BC=，∵∠BDE=60°+30°=90°，DE=2，BD=由勾股定理得：BE=∵△ABE是等邊三角形，∴AE=BE=．【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形、等邊三角形、全等三角形、以及勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用特殊三角形的性質(zhì)進(jìn)行推理求證．25．見解析．【分析】如圖（見解析），連接CF，先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、角的和差得出，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，同理根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，最后根據(jù)等量代換即可得證．【詳解】如圖，連接CF、、均為等邊三角形又，即又．【點(diǎn)撥】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識點(diǎn)，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．26．（1）圖見解析，BE=CD，證明見解析；（2）BE=CD，證明見解析．【分析】（1）分別以A、B為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)D，連接AD，BD，同理連接AE，CE，由等邊三角形的三邊相等可得AD=AB，AC=AE，三個內(nèi)角都是60°可得∠BAD=∠CAE=60°，再加上公共角∠BAC即可得∠CAD=∠EAB，由此可證△CAD≌△EAB，繼而可得結(jié)論；（2）由正方形的四條邊相等可得AD=AB，AC=AE，四個內(nèi)角都是90°可得∠BAD=∠CAE=90°，再加上公共角∠BAC即可得∠CAD=∠EAB，由此可證△CAD≌△EAB，繼而可得結(jié)論；【詳解】解：（1）完成圖形，如圖所示：BE=CD，證明如下：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，

∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，在△CAD和△EAB中，∴△CAD≌△EAB（SAS），

∴BE=CD．

（2）BE=CD，理由如下，

∵四邊形ABFD和ACGE均為正方形，

∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，

∴∠CAD=∠EAB，在△CAD和△EAB中，∴△CAD≌△EAB（SAS），

∴BE=CD；【點(diǎn)撥】本題考查正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定．熟練掌握全等三角形的判定定理，并能依據(jù)等邊三角形和正方形的邊和角之間的特殊性判斷三角形全等是解題關(guān)鍵．27．（1）見解析；（2）BA+BD=BE，理由見解析【分析】（1）由“SAS”可證△ABE≌△ACD；

（2）由全等三角形的性質(zhì)可得BE=DC，由線段的和差關(guān)系可求解．【詳解】（1）∵△ABC、△ADE是等邊三角形，

∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=60°，

∴∠BAC+∠BAD=∠EAD+∠BAD，

即∠CAD=∠BAE，

∵在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD；（2）BA+BD=BE，理由如下：∵△ABE≌△ACD，

∴BE=DC，

∴BA+BD=BC+BD=DC=BE．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，證明△ABE≌△ACD是解本題的關(guān)鍵．28．（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)角的和差可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理即可得證；（2）如圖（見解析），先根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形的面積公式可得，由此即可得證．【詳解】（1）和都是等邊三角形，，，即，在和中，，；（2）如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，作于點(diǎn)G，連接AO，由（1）已證：，，，，點(diǎn)A在的角平分線上，即AO平分．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、角平分線的判定定理等知識點(diǎn)，熟練掌握三角形全等的判定定理與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．29．（1）見解析；（2）60°；（3）成立，相等【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到PA=PC，∠APC=60°，PB=PD，∠BPD=60°，于是得到∠APD=∠CPB，證得△APD≌△CPB，即可證明AD=BC；（2）由△APD≌△CPB，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到PA=PC，∠APC=60°，PB=PD，∠BPD=60°，于是得到∠APD=∠CPB，證得△APD≌△CPB，即可證明AD=BC，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求得∠AQC=60°．【詳解】（1）∵△APC是等邊三角形，

∴PA=PC，∠APC=60°，

∵△BDP是等邊三角形，

∴PB=PD，∠BPD=60°，

∴∠APC=∠BPD，

∴∠APD=∠CPB，

在△APD與△CPB中，，

∴△APD≌△CPB(SAS)，∴AD=BC；

（2）由（1）得：△APD≌△CPB，∴∠PAD=∠PCB，

∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，

∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，

∴∠AQC=180°-120°=