學(xué)習(xí)目標(biāo)1.學(xué)習(xí)用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題及某些物理學(xué)中的問題.2.體會向量是一種處理幾何及物理問題的有力工具.3.培養(yǎng)運(yùn)算能力、分析和解決實際問題的能力．知識點(diǎn)一幾何性質(zhì)與向量的關(guān)系設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夾角為θ.思考1證明線段平行、點(diǎn)共線及相似問題，可用向量的哪些知識？思考2證明垂直問題，可用向量的哪些知識？梳理平面幾何圖形的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長度、夾角等都可以由______表示出來．知識點(diǎn)二向量方法解決平面幾何問題的步驟1．建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為____________．2．通過____________，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題．3．把運(yùn)算結(jié)果“________”成幾何關(guān)系．知識點(diǎn)三物理中的量和向量的關(guān)系1．物理學(xué)中的許多量，如力、速度、加速度、位移都是________．2．物理學(xué)中的力、速度、加速度、位移的合成與分解就是向量的________________．類型一用平面向量求解直線方程例1已知△ABC的三個頂點(diǎn)A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊BC，CA，AB的中點(diǎn)．(1)求直線DE，EF，F(xiàn)D的方程；(2)求AB邊上的高線CH所在的直線方程．反思與感悟利用向量法解決解析幾何問題，首先將線段看成向量，再把坐標(biāo)利用向量法則進(jìn)行運(yùn)算．跟蹤訓(xùn)練1在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分線所在的直線方程．類型二用平面向量求解平面幾何問題例2已知在正方形ABCD中，E、F分別是CD、AD的中點(diǎn)，BE、CF交于點(diǎn)P.求證：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.反思與感悟用向量證明平面幾何問題的兩種基本思路：(1)向量的線性運(yùn)算法的四個步驟：①選取基底．②用基底表示相關(guān)向量．③利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積找出相應(yīng)關(guān)系．④把幾何問題向量化．(2)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法的四個步驟：①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系．②把相關(guān)向量坐標(biāo)化．③用向量的坐標(biāo)運(yùn)算找出相應(yīng)關(guān)系．④把幾何問題向量化．跟蹤訓(xùn)練2如圖，在正方形ABCD中，P為對角線AC上任一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，連結(jié)DP，EF，求證：DP⊥EF.類型三向量在物理學(xué)中的應(yīng)用eq\x(命題角度1向量的線性運(yùn)算在物理中的應(yīng)用)例3(1)在重300N的物體上系兩根繩子，這兩根繩子在鉛垂線的兩側(cè)，與鉛垂線的夾角分別為30°，60°(如圖)，求重物平衡時，兩根繩子拉力的大?。?2)帆船比賽是借助風(fēng)帆推動船只在規(guī)定距離內(nèi)競速的一項水上運(yùn)動，如果一帆船所受的風(fēng)力方向為北偏東30°，速度為20km/h，此時水的流向是正東，流速為20km/h.若不考慮其他因素，求帆船的速度與方向．反思與感悟利用向量法解決物理問題有兩種思路，第一種是幾何法，選取適當(dāng)?shù)幕?，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量運(yùn)算法則，運(yùn)算律或性質(zhì)計算．第二種是坐標(biāo)法，通過建立平面直角坐標(biāo)系，實現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算．跟蹤訓(xùn)練3河水自西向東流動的速度為10km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在靜水中的速度為10eq\r(3)km/h，求小船的實際航行速度．eq\x(命題角度2向量的數(shù)量積在物理中的應(yīng)用)例4已知兩恒力F1＝(3,4)，F(xiàn)2＝(6，－5)作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使之由點(diǎn)A(20,15)移動到點(diǎn)B(7,0)．(1)求力F1，F(xiàn)2分別對質(zhì)點(diǎn)所做的功；(2)求力F1，F(xiàn)2的合力F對質(zhì)點(diǎn)所做的功．反思與感悟物理上的功實質(zhì)上就是力與位移兩矢量的數(shù)量積．跟蹤訓(xùn)練4一個物體受到同一平面內(nèi)的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3的作用，沿北偏東45°的方向移動了8m，其中|F1|＝2N，方向為北偏東30°，|F2|＝4N，方向為北偏東60°，|F3|＝6N，方向為北偏西30°，求合力F所做的功．1．已知一個物體在大小為6N的力F的作用下產(chǎn)生的位移s的大小為100m，且F與s的夾角為60°，則力F所做的功W＝________J.2．過點(diǎn)A(2,3)，且垂直于向量a＝(2,1)的直線方程為________________．3．用兩條成120°角的等長的繩子懸掛一個燈具，如圖所示，已知燈具重10N，則每根繩子的拉力大小為______N.4．如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，eq\o(CP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝2，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))的值是________．5．如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)．過點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，則m＋n的值為________．利用向量方法可以解決平面幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問題．利用向量解決平面幾何問題時，有兩種思路：一種思路是選擇一組基底，利用基向量表示涉及的向量；另一種思路是建立坐標(biāo)系，求出題目中涉及的向量的坐標(biāo)．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點(diǎn)一思考1可用向量共線的相關(guān)知識：a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0(b≠0)．思考2可用向量垂直的相關(guān)知識：a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.梳理向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積知識點(diǎn)二1．向量問題2.向量運(yùn)算3.翻譯知識點(diǎn)三(1)向量(2)加法運(yùn)算與減法運(yùn)算題型探究例1解(1)由已知得點(diǎn)D(－1,1)，E(－3，－1)，F(xiàn)(2，－2)，設(shè)M(x，y)是直線DE上任意一點(diǎn)，則eq\o(DM,\s\up6(→))∥eq\o(DE,\s\up6(→)).eq\o(DM,\s\up6(→))＝(x＋1，y－1)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(－2，－2)．∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0，即x－y＋2＝0為直線DE的方程．同理可求，直線EF，F(xiàn)D的方程分別為x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.(2)設(shè)點(diǎn)N(x，y)是CH所在直線上任意一點(diǎn)，則eq\o(CN,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→)).∴eq\o(CN,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0.又eq\o(CN,\s\up6(→))＝(x＋6，y－2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4,4)．∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，即x＋y＋4＝0為所求直線CH的方程．跟蹤訓(xùn)練1解eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－8,6)，∠A的平分線的一個方向向量為a＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(4,5)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)，\f(7,5))).設(shè)P(x，y)是角平分線上的任意一點(diǎn)，∵∠A的平分線過點(diǎn)A，∴eq\o(AP,\s\up6(→))∥a，∴所求直線方程為－eq\f(7,5)(x－4)－eq\f(1,5)(y－1)＝0.整理得7x＋y－29＝0.例2證明建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝2，則A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(xiàn)(0,1)．(1)∵eq\o(BE,\s\up6(→))＝(－1,2)，eq\o(CF,\s\up6(→))＝(－2，－1)．∴eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，∴eq\o(BE,\s\up6(→))⊥eq\o(CF,\s\up6(→))，即BE⊥CF.(2)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x，y)，則eq\o(FP,\s\up6(→))＝(x，y－1)，eq\o(FC,\s\up6(→))＝(2,1)，∵eq\o(FP,\s\up6(→))∥eq\o(FC,\s\up6(→))，∴x＝2(y－1)，即x＝2y－2，同理，由eq\o(BP,\s\up6(→))∥eq\o(BE,\s\up6(→))，得y＝－2x＋4，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2y－2，,y＝－2x＋4，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(6,5)，,y＝\f(8,5)，))∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(eq\f(6,5)，eq\f(8,5))．∴|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝eq\r(\f(6,5)2＋\f(8,5)2)＝2＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|，即AP＝AB.跟蹤訓(xùn)練2證明設(shè)正方形ABCD的邊長為1，AE＝a(0<a<1)，則EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝eq\r(2)a，∴eq\o(DP,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→)))·(eq\o(EP,\s\up6(→))＋eq\o(PF,\s\up6(→)))＝eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(EP,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(EP,\s\up6(→))＋eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(PF,\s\up6(→))＝1×a×cos180°＋1×(1－a)×cos90°＋eq\r(2)a×a×cos45°＋eq\r(2)a×(1－a)×cos45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.∴eq\o(DP,\s\up6(→))⊥eq\o(EF,\s\up6(→))，即DP⊥EF.例3(1)解如圖，兩根繩子的拉力之和eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))，且|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OG,\s\up6(→))|＝300N，∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠AOC＝30°，則∠OAC＝90°，從而|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|·cos30°＝150eq\r(3)(N)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|·sin30°＝150(N)，所以|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝150(N)．答與鉛垂線成30°角的繩子的拉力是150eq\r(3)N，與鉛垂線成60°角的繩子的拉力是150N.(2)解建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，風(fēng)的方向為北偏東30°，速度為|v1|＝20(km/h)，水流的方向為正東，速度為|v2|＝20(km/h)，設(shè)帆船行駛的速度為v，則v＝v1＋v2.由題意，可得向量v1＝(20cos60°，20sin60°)＝(10,10eq\r(3))，向量v2＝(20,0)，則帆船的行駛速度為v＝v1＋v2＝(10,10eq\r(3))＋(20,0)＝(30,10eq\r(3))，所以|v|＝eq\r(302＋10\r(3)2)＝20eq\r(3)(km/h)．因為tanα＝eq\f(10\r(3),30)＝eq\f(\r(3),3)(α為v和v2的夾角，且為銳角)，所以α＝30°，所以帆船向北偏東60°的方向行駛，速度為20eq\r(3)km/h.跟蹤訓(xùn)練3解設(shè)a，b分別表示水流的速度和小船在靜水中的速度，過平面內(nèi)一點(diǎn)O作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))為鄰邊作矩形OACB，連結(jié)eq\o(OC,\s\up6(→))，如圖，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b，并且eq\o(OC,\s\up6(→))即為小船的實際航行速度．∴|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(a2＋b2)＝20(km/h)，tan∠AOC＝eq\f(10\r(3),10)＝eq\r(3)，∴∠AOC＝60°，∴小船的實際航行速度為20km/h，按北偏東30°的方向航行．例4解(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，W1＝F1·eq