數(shù)列極限考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）

1.數(shù)列極限的定義是：

A.數(shù)列的前n項(xiàng)和

B.數(shù)列的第n項(xiàng)

C.數(shù)列的無(wú)窮遠(yuǎn)處的趨勢(shì)

D.數(shù)列的有界性

2.如果數(shù)列$\{a_n\}$收斂于$L$，則對(duì)于任意的$\epsilon>0$，存在正整數(shù)$N$，使得當(dāng)$n>N$時(shí)，$|a_n-L|<\epsilon$，這稱(chēng)為：

A.極限的定義

B.極限的性質(zhì)

C.極限的運(yùn)算

D.極限的判別

3.數(shù)列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$的極限分別為$L$和$M$，則數(shù)列$\{a_n+b_n\}$的極限為：

A.$L+M$

B.$L-M$

C.$LM$

D.$\frac{L}{M}$

4.數(shù)列$\{a_n\}$的極限為$L$，若$c$為常數(shù)，則數(shù)列$\{ca_n\}$的極限為：

A.$L$

B.$cL$

C.$\frac{L}{c}$

D.$Lc$

5.數(shù)列$\{a_n\}$的極限為$L$，若$a_n\geq0$，則$L$的取值范圍是：

A.$L\leq0$

B.$L\geq0$

C.$L<0$

D.$L>0$

6.數(shù)列$\{a_n\}$的極限為$L$，若$a_n\leqb_n$對(duì)所有的$n$成立，則數(shù)列$\{b_n\}$的極限$M$滿(mǎn)足：

A.$M\leqL$

B.$M\geqL$

C.$M<L$

D.$M>L$

7.數(shù)列$\{a_n\}$的極限為$L$，若$a_n\geq0$且$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1$，則$L$的取值范圍是：

A.$L=0$

B.$L=1$

C.$L>0$

D.$L\geq0$

8.數(shù)列$\{a_n\}$的極限為$L$，若$a_n\leqb_n$對(duì)所有的$n$成立，則數(shù)列$\{b_n\}$的極限$M$滿(mǎn)足：

A.$M\leqL$

B.$M\geqL$

C.$M<L$

D.$M>L$

9.數(shù)列$\{a_n\}$的極限為$L$，若$a_n\geq0$，則$L$的取值范圍是：

A.$L\leq0$

B.$L\geq0$

C.$L<0$

D.$L>0$

10.數(shù)列$\{a_n\}$的極限為$L$，若$a_n\leqb_n$對(duì)所有的$n$成立，則數(shù)列$\{b_n\}$的極限$M$滿(mǎn)足：

A.$M\leqL$

B.$M\geqL$

C.$M<L$

D.$M>L$

答案：

1.C

2.A

3.A

4.B

5.B

6.A

7.D

8.A

9.B

10.A

二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）

1.數(shù)列極限的性質(zhì)包括：

A.唯一性

B.有界性

C.保號(hào)性

D.夾逼性

2.若數(shù)列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$都收斂，則以下哪些運(yùn)算是正確的：

A.$\{a_n+b_n\}$收斂

B.$\{a_n-b_n\}$收斂

C.$\{a_n\cdotb_n\}$收斂

D.$\{\frac{a_n}{b_n}\}$收斂

3.數(shù)列$\{a_n\}$的極限為$L$，則以下哪些結(jié)論是正確的：

A.$\lim_{n\to\infty}(a_n)^2=L^2$

B.$\lim_{n\to\infty}\sqrt{a_n}=\sqrt{L}$

C.$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=\frac{1}{L}$

D.$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{L}{M}$

4.若數(shù)列$\{a_n\}$的極限為$L$，則以下哪些結(jié)論是正確的：

A.$\lim_{n\to\infty}(a_n+1)=L+1$

B.$\lim_{n\to\infty}(a_n-1)=L-1$

C.$\lim_{n\to\infty}(a_n)^2=L^2$

D.$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=\frac{1}{L}$

5.數(shù)列極限的判定方法包括：

A.夾逼定理

B.單調(diào)有界定理

C.比值判別法

D.根值判別法

6.若數(shù)列$\{a_n\}$的極限為$L$，則以下哪些結(jié)論是正確的：

A.$\lim_{n\to\infty}(a_n+1)=L+1$

B.$\lim_{n\to\infty}(a_n-1)=L-1$

C.$\lim_{n\to\infty}(a_n)^2=L^2$

D.$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=\frac{1}{L}$

7.數(shù)列極限的運(yùn)算性質(zhì)包括：

A.$\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n+\lim_{n\to\infty}b_n$

B.$\lim_{n\to\infty}(a_n\cdotb_n)=\lim_{n\to\infty}a_n\cdot\lim_{n\to\infty}b_n$

C.$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim_{n\to\infty}a_n}{\lim_{n\to\infty}b_n}$

D.$\lim_{n\to\infty}(a_n)^n=(\lim_{n\to\infty}a_n)^n$

8.數(shù)列極限的判定方法包括：

A.夾逼定理

B.單調(diào)有界定理

C.比值判別法

D.根值判別法

9.若數(shù)列$\{a_n\}$的極限為$L$，則以下哪些結(jié)論是正確的：

A.$\lim_{n\to\infty}(a_n+1)=L+1$

B.$\lim_{n\to\infty}(a_n-1)=L-1$

C.$\lim_{n\to\infty}(a_n)^2=L^2$

D.$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=\frac{1}{L}$

10.數(shù)列極限的運(yùn)算性質(zhì)包括：

A.$\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\lim_{n\to\infty}a_n+\lim_{n\to\infty}b_n$

B.$\lim_{n\to\infty}(a_n\cdotb_n)=\lim_{n\to\infty}a_n\cdot\lim_{n\to\infty}b_n$

C.$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\lim_{n\to\infty}a_n}{\lim_{n\to\infty}b_n}$

D.$\lim_{n\to\infty}(a_n)^n=(\lim_{n\to\infty}a_n)^n$

答案：

1.ABCD

2.ABC

3.ACD

4.ABC

5.ABCD

6.ABC

7.ABC

8.ABCD

9.ABC

10.ABC

三、判斷題（每題2分，共10題）

1.數(shù)列極限存在，則數(shù)列必定有界。（對(duì)/錯(cuò)）

2.數(shù)列極限存在，則數(shù)列必定單調(diào)。（對(duì)/錯(cuò)）

3.若數(shù)列$\{a_n\}$的極限為$L$，則數(shù)列$\{a_n^2\}$的極限為$L^2$。（對(duì)/錯(cuò)）

4.若數(shù)列$\{a_n\}$的極限為$L$，則數(shù)列$\{\frac{1}{a_n}\}$的極限為$\frac{1}{L}$。（對(duì)/錯(cuò)）

5.若數(shù)列$\{a_n\}$的極限為$L$，則數(shù)列$\{a_n+1\}$的極限為$L+1$。（對(duì)/錯(cuò)）

6.若數(shù)列$\{a_n\}$的極限為$L$，則數(shù)列$\{a_n-1\}$的極限為$L-1$。（對(duì)/錯(cuò)）

7.若數(shù)列$\{a_n\}$的極限為$L$，則數(shù)列$\{a_n\cdotb_n\}$的極限為$L\cdotM$。（對(duì)/錯(cuò)）

8.若數(shù)列$\{a_n\}$的極限為$L$，則數(shù)列$\{\frac{a_n}{b_n}\}$的極限為$\frac{L}{M}$。（對(duì)/錯(cuò)）

9.若數(shù)列$\{a_n\}$的極限為$L$，則數(shù)列$\{a_n^2\}$的極限為$L^2$。（對(duì)/錯(cuò)）

10.若數(shù)列$\{a_n\}$的極限為$L$，則數(shù)列$\{\frac{1}{a_n}\}$的極限為$\frac{1}{L}$。（對(duì)/錯(cuò)）

答案：

1.對(duì)

2.錯(cuò)

3.對(duì)

4.錯(cuò)

5.對(duì)

6.對(duì)

7.對(duì)

8.對(duì)

9.對(duì)

10.錯(cuò)

四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）

1.請(qǐng)簡(jiǎn)述數(shù)列極限的定義。

2.請(qǐng)解釋什么是夾逼定理，并給出一個(gè)例子。

3.請(qǐng)解釋什么是單調(diào)有界定理，并給出一個(gè)例子。

4.請(qǐng)解釋什么是比值判別法，并給出一個(gè)例子。

答案：

1.數(shù)列極限的定義是：如果存在一個(gè)實(shí)數(shù)$L$，對(duì)于任意的$\epsilon>0$，都存在一個(gè)正整數(shù)$N$，使得當(dāng)$n>N$時(shí)，數(shù)列$\{a_n\}$的第$n$項(xiàng)滿(mǎn)足$|a_n-L|<\epsilon$，則稱(chēng)數(shù)列$\{a_n\}$收斂于$L$，$L$即為數(shù)列的極限。

2.夾逼定理是指如果有三個(gè)數(shù)列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$，$\{c_n\}$，滿(mǎn)足對(duì)所有的$n$都有$a_n\leqb_n\leqc_n$，且$\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=L$，則$\lim_{n\to\infty}b_n=L$。例如，考慮數(shù)列$a_n=-\frac{1}{n}$，$b_n=\frac{1}{n}$，$c_n=\frac{1}{n}$，它們滿(mǎn)足$a_n\leqb_n\leqc_n$，且$\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}c_n=0$，因此$\lim_{n\to\infty}b_n=0$。

3.單調(diào)有界定理是指如果一個(gè)數(shù)列是單調(diào)的（要么單調(diào)遞增，要么單調(diào)遞減）并且有界，則該數(shù)列必定收斂。例如，考慮數(shù)列$a_n=\frac{1}{n}$，它是單調(diào)遞減且有下界0，因此該數(shù)列收斂于0。

4.比值判別法是指對(duì)于數(shù)列$\{a_n\}$，如果$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L$，則當(dāng)$L<1$時(shí)，數(shù)列$\{a_n\}$收斂；當(dāng)$L>1$時(shí)，數(shù)列$\{a_n\}$發(fā)散。例如，考慮數(shù)列$a_n=\frac{1}{n^2}$，$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\li