第3課時三角形的中位線課時目標(biāo)1.經(jīng)歷三角形中位線性質(zhì)的探究過程,在活動中發(fā)展學(xué)生的合情推理能力.2.經(jīng)歷探索、證明三角形中位線性質(zhì)的過程,理解并掌握三角形中位線定理,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.3.通過操作探究等數(shù)學(xué)活動,理解三角形與四邊形的聯(lián)系,提高學(xué)生分析問題與解決問題的能力.達成目標(biāo)1的標(biāo)志:學(xué)生通過畫三角形的三條中位線,能說出四個三角形全等,并能猜想出三角形中位線與第三邊的關(guān)系.達成目標(biāo)2的標(biāo)志:能想到驗證猜想的方法并會證明三角形中位線的性質(zhì)定理,能運用性質(zhì)解決問題.達成目標(biāo)3的標(biāo)志:在探究活動過程中,能發(fā)現(xiàn)任何一個三角形通過剪拼都可以變成平行四邊形,從而找到證明三角形中位線定理的方法.學(xué)習(xí)重點三角形中位線定理及其應(yīng)用.學(xué)習(xí)難點三角形中位線定理的證明.課時活動設(shè)計回顧研究三角形時研究了哪些重要線段?什么叫三角形的中線?如果連接兩邊中點會怎么樣呢?有沒有研究的價值呢?設(shè)計意圖:引導(dǎo)學(xué)生回顧三角形的三條重要線段,讓學(xué)生明白中位線屬于三角形的一條重要線段,讓學(xué)生能夠?qū)⒁褜W(xué)知識結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化.通過連接兩邊中點,讓學(xué)生初步感受中位線的特殊性,體會有特殊位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的線段是有研究價值的.數(shù)學(xué)活動1中連接兩邊中點得到的線段叫做三角形的中位線,你能給三角形的中位線下個定義嗎?一個三角形有幾條中位線?三角形的中位線與中線有什么區(qū)別?任畫一個△ABC,并畫出它的三條中位線,猜想三條中位線將△ABC分成的四個三角形有什么關(guān)系,說明你猜想的合理性,并猜想三角形的中位線和第三邊有什么特殊的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系.解:定義為連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.一個三角形有三條中位線.三角形的中位線與中線的區(qū)別:三角形的中位線是連接三角形兩邊中點的線段,而三角形的中線是連接三角形一個頂點與其對邊中點的線段,△ABC及其三條中位線如圖所示.猜想:三條中位線將△ABC分成的四個三角形全等.利用S=12×底×高可知,△ABC分成的三個角上的小三角形的底和高均為原△ABC的一半,即面積是原△ABC面積的14,所以中間的小三角形的面積也是原△ABC面積的14,即三條中位線將原△猜想:三角形的中位線平行于第三邊,并且等于第三邊的一半.設(shè)計意圖:通過創(chuàng)設(shè)探究情境,展開探索,發(fā)現(xiàn)問題,提出問題在提出猜想后,主動尋求驗證的方法,從而培養(yǎng)學(xué)生合情推理的能力,理解證明的必要性.如何證明上述猜想?如圖,在△ABC中,DE是△ABC的中位線.求證:DE∥BC,DE=12提問:平行四邊形的性質(zhì)探究可以轉(zhuǎn)化成三角形來研究,那么三角形中位線的性質(zhì)能否用平行四邊形知識來解決呢?引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造平行四邊形,利用平行四邊形的知識來研究.需要證明線段的倍分關(guān)系就要找到和BC相等的線段或者和DE相等的線段,通常的方法是截長補短,即把DE補長或者把BC截短.證明:如圖,延長DE到點F,使EF=DE.連接CF,AF,DC.∵DE是△ABC的中位線,∴AD=BD,AE=EC.在△ADE和△CFE中,∵AE=CE,∠AED=∠CEF,DE=FE,∴△ADE≌△CFE.∴AD=CF,∠EAD=∠ECF.∴AD∥CF,即BD∥CF.又∵BD=AD=CF,∴四邊形DBCF是平行四邊形.∴DE∥BC,且DF=BC.∴DE=12DF=1設(shè)計意圖:引導(dǎo)學(xué)生將三角形中位線問題轉(zhuǎn)化成平行四邊形問題來解決,同時給學(xué)生提供通用的做題思路,幫助學(xué)生找到解決方案,提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力,在證明的過程中培養(yǎng)學(xué)生的推理能力.總結(jié)三角形中位線性質(zhì)的探索過程,你能用兩種語言表達三角形中位線的性質(zhì)嗎?1.文字語言:三角形的中位線平行于三角形的第三邊,并且等于第三邊的一半.2.符號語言:如圖,∵DE是△ABC的中位線,∴DE∥BC,DE=12設(shè)計意圖:引導(dǎo)學(xué)生反思三角形中位線性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)及證明過程,體會發(fā)現(xiàn)、提出、證明一個幾何命題的一般方法.讓學(xué)生關(guān)注自己的思考過程和表達過程,以提高歸納概括的能力.例題練習(xí),鞏固理解先獨立完成教材第49頁練習(xí)第1題與第50頁習(xí)題18.1復(fù)習(xí)鞏固第5題,然后小組交流,學(xué)生代表講解,全班分享,共同完善修正答案.教材第49頁練習(xí)第1題.解:如圖,能畫出3個平行四邊形,分別是?ADEF,?BEFD,?ECFD.理由:∵D,E,F分別是AB,BC,CA的中點,∴線段DE,DF,EF是△ABC的中位線.∴DE∥AC,DF∥BC,EF∥AB.∴四邊形ADEF是平行四邊形,四邊形BEFD是平行四邊形,四邊形ECFD是平行四邊形.教材第50頁習(xí)題18.1復(fù)習(xí)鞏固第5題.證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,AD=BC.∵E,F,G,H分別是AO,BO,CO,DO的中點,∴EH=12AD,EH∥AD,FG=12BC,FG∴EH=FG,EH∥FG.∴四邊形EFGH是平行四邊形.設(shè)計意圖:本環(huán)節(jié)力求提高學(xué)生運用知識的能力和推理能力,加深學(xué)生對三角形中位線性質(zhì)的理解.通過合作交流與展評培養(yǎng)學(xué)生的合作意識與語言表達能力.本節(jié)課我們研究了三角形中位線的性質(zhì),請同學(xué)們帶著以下問題進行總結(jié):(1)本節(jié)課你學(xué)到了什么?(2)三角形中位線的性質(zhì)是如何發(fā)現(xiàn)、驗證并證明的?這個過程中用到了哪些數(shù)學(xué)方法?積累了哪些活動經(jīng)驗?設(shè)計意圖:學(xué)生通過自主反思,可進一步加深對三角形中位線性質(zhì)的研究方法和內(nèi)容的理解,明確研究線段間的關(guān)系既要研究位置關(guān)系又要研究數(shù)量關(guān)系.反思是數(shù)學(xué)活動的核心和動力,只有以反思為核心的數(shù)學(xué)教育,才能使學(xué)生真正深入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中,才能使學(xué)生真正抓住數(shù)學(xué)思維的內(nèi)在實質(zhì).第3課時三角形的中位線定義:連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.性質(zhì):三角形的中位線平行于三角形的第三邊,并且等于第三邊的一半.符號語言:如圖,∵DE是△ABC的中位線,∴DE∥BC,DE=12應(yīng)用:(1)證明平行的一種新方法;(2)證明線段間的2倍關(guān)系.知能演練提升能力提升1.從下面所給的∠A,∠B,∠C,∠D的度數(shù)之比中,能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是()A.2∶3∶2∶3 B.2∶2∶3∶3C.1∶2∶3∶4 D.1∶2∶2∶32.已知:點D,E分別是△ABC的邊AB,AC的中點,如圖所示.求證:DE∥BC,且DE=12BC證明:延長DE到點F,使EF=DE,連接FC,DC,AF,又AE=EC,則四邊形ADCF是平行四邊形,接著以下是排序錯誤的證明過程:①∴DF∥BC;②∴CF∥AD,即CF∥BD;③∴四邊形DBCF是平行四邊形;④∴DE∥BC,且DE=12BC則正確的證明順序應(yīng)是()A.②→③→①→④ B.②→①→③→④C.①→③→④→② D.①→③→②→④3.如圖,在?ABCD中,O是BD的中點,EF過點O,下列結(jié)論:①AB∥DC;②EO=ED;③∠A=∠C;④S四邊形ABOE=S四邊形CDOF,其中正確結(jié)論的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.44.如圖,在△ABC中,D,E分別是邊AC,AB的中點,連接BD.若BD平分∠ABC,則下列結(jié)論錯誤的是()A.BC=2BE B.∠A=∠EDAC.BC=2AD D.BD⊥AC5.已知一個四邊形的邊長分別是a,b,c,d,其中a,c為對邊,且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,則該四邊形為.

6.如圖,在平行四邊形ABCD中,點M為邊AD上一點,AM=2MD,點E,點F分別是BM,CM的中點,若EF=6,則AM的長為.

7.如圖,點D,E分別是△ABC的邊AB,AC的中點,連接BE,過點C作CF∥BE,交DE的延長線于點F,若EF=3,則DE的長為.

8.如圖,在正六邊形ABCDEF中,M,N是對角線BE上的兩點.添加下列條件中的一個:①BM=EN;②∠FAN=∠CDM;③AM=DN;④∠AMB=∠DNE.能使四邊形AMDN是平行四邊形的是(填序號).

9.如圖,在平行四邊形ABCD中,BE平分∠ABC,CF⊥BE,連接AE,G是AB的中點,連接GF,若AE=4,求GF.10.如圖,在四邊形ABCD中,點E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,DA的中點,順次連接E,F,G,H,得到的四邊形EFGH叫中點四邊形.求證:四邊形EFGH是平行四邊形.創(chuàng)新應(yīng)用★11.右圖是某市部分街道的示意圖,A,D,F在同一直線上,F是CE的中點,EC⊥BC,BA∥DE,BD∥AE.甲、乙兩人同時從住所B地步行到F地辦公,若甲走的路線是B—A—E—F;乙走的路線是B—D—C—F,假設(shè)兩人行走的速度相同,那么誰先到達辦公地點F?請說明理由.★12.在勞動課上,老師要求同學(xué)們做一個含有45°角的平行四邊形木板,現(xiàn)只有一塊如圖所示的等腰直角三角形的木板,請你在不浪費材料的前提下設(shè)計出一種合理的方案,并證明你的方案正確.知能演練·提升能力提升1.A2.A3.C∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥DC,AD∥BC,∠A=∠C,故①③正確;∴S△ABD=S△CDB=12S平行四邊形ABCD,∠ODE=∠OBF.∵O是BD的中點,∴OD=OB又∵∠DOE=∠BOF,∴△ODE≌△OBF(ASA),∴S△ODE=S△OBF,EO=FO≠ED,故②不正確;∵S△ABD=S△CDB,S△ODE=S△OBF,∴S△ABD-S△ODE=S△CDB-S△OBF,即S四邊形ABOE=S四邊形CDOF,故④正確.綜上所述,正確結(jié)論的個數(shù)為3.4.C易知DE是△ABC的中位線,∴DE∥BC,BC=2DE.又BD平分∠ABC,可得∠EBD=∠EDB,∴DE=BE=AE.∴BC=AB=2BE,∠A=∠EDA,故選項A,B都正確;又D為AC的中點,∴BD⊥AC.故選項D也正確.5.平行四邊形由a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,可得(a-c)2+(b-d)2=0,即a=c,b=d,則這個四邊形一定是平行四邊形.6.8∵點E,點F分別是BM,CM的中點,∴EF是△BCM的中位線.∵EF=6,∴BC=2EF=12.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD=BC=12.∵AM=2MD,∴AM=8.7.32∵D,E分別是△ABC的邊AB,AC的中點∴DE為△ABC的中位線,∴DE∥BC,DE=12BC∵CF∥BE,∴四邊形BCFE為平行四邊形,∴BC=EF=3,∴DE=12BC=38.①②④解析如圖,連接AD,交BE于點O.①∵在正六邊形ABCDEF中,∠BAO=∠ABO=∠OED=∠ODE=60°,AB=DE,∴△AOB和△DOE是等邊三角形,∴OA=OD,OB=OE.又BM=EN,∴OM=ON,∴四邊形AMDN是平行四邊形,故①符合題意.②∵∠FAN=∠CDM,∠CDA=∠DAF,∴∠OAN=∠ODM,∴AN∥DM.又∠AON=∠DOM,OA=OD,∴△AON≌△DOM(ASA),∴AN=DM,∴四邊形AMDN是平行四邊形,故②符合題意.③∵AM=DN,AB=DE,∠ABM=∠DEN,∴△ABM與△DEN不一定全等,不能得出四邊形AMDN是平行四邊形,故③不符合題意.④∵∠AMB=∠DNE,∠ABM=∠DEN,AB=DE,∴△ABM≌△DEN(AAS),∴AM=DN.∵∠AMB+∠AMN=180°,∠DNE+∠DNM=180°,∴∠AMN=∠DNM,∴AM∥DN,∴四邊形AMDN是平行四邊形,故④符合題意.故答案為①②④.9.解在平行四邊形ABCD中,AB∥CD,∴∠ABE=∠BEC.∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE,∴∠CBE=∠BEC,∴CB=CE.∵CF⊥BE,∴BF=EF.∵G是AB的中點,∴GF是△ABE的中位線,∴GF=12AE∵AE=4,∴GF=2.10.證明連接BD(圖略).∵E,H分別是AB,AD的中點,∴EH是△ABD的中位線.∴EH=12BD,EH∥12同理得FG=12BD,FG∥12∴EH=FG,EH∥FG.∴四邊形EFGH是平行四邊形.創(chuàng)新應(yīng)用11.解同時到達.理由:如圖,連接BE,交AD于點G.∵BA∥DE,BD∥AE,∴四邊形ABDE是平行四邊形.∴AB=DE,BD=AE,EG=GB.又F是CE的中點,∴GF是△EBC的中位線,∴GF∥BC.∵EC⊥BC,∴EC⊥GF,∴GF是EC的垂直平分線,∴DE=DC,∴AB=DC.因此,有BA+AE+EF=BD+DC+CF,所以兩人同時到達F地.12.解方案:如