《直線和圓的位置關系（第二課時）》知識回顧直線與圓的位置關系定義性質判定相離相切相交公共點的個數d與r的數量關系定義法性質法相離：d>r相切：d=r相交：d<r0個：相離；1個：相切；2個：相交d>r：相離d=r：相切d<r：相交相離：0個相切：1個相交：2個學習目標1.會判定一條直線是否是圓的切線并會過圓上一點作圓的切線.2.理解并掌握圓的切線的判定定理及性質定理.3.能運用圓的切線的判定定理和性質定理解決問題.課堂導入轉動雨傘時飛出的雨滴，用砂輪磨刀時擦出的火花，都是沿著什么方向飛出的？知識點1新知探究ABC已知圓O上一點A，怎樣根據圓的切線定義過點A作圓O的切線？(1)圓心O到直線AB的距離和圓的半徑有什么數量關系?(2)二者位置有什么關系？為什么？O知識點1新知探究經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.OA為⊙O的半徑BC

⊥

OA于ABC為⊙O的切線ABC切線的判定定理應用格式O應用該定理時，兩個條件缺一不可：一是經過半徑的外端；二是垂直于這條半徑.知識點1新知探究O.AO.ABAO(1)(2)(3)判斷下面的直線是不是圓的切線：知識點1新知探究判斷一條直線是一個圓的切線有三個方法：1.定義法：與圓有唯一公共點的直線是圓的切線；2.數量關系法：圓心到這條直線的距離等于半徑，即d=r；3.判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.AlOlrdAOlAO知識點1新知探究(1)有交點，連半徑，證垂直；(2)無交點，作垂直，證半徑.證切線時輔助線的添加方法：跟蹤訓練新知探究如圖，點D在⊙O的直徑AB的延長線上，點C在⊙O上，AC=CD，∠D=30°.求證：CD是⊙O的切線.解：如圖，連接OC.因為AC=CD，∠D=30°,所以∠A=∠D=30°.因為OA=OC，所以∠ACO=∠A=30°，所以∠COD=60°，所以∠OCD=90°，即OC⊥CD.所以CD是⊙O的切線.知識點2新知探究如圖，如果直線l是⊙O

的切線，點A為切點，那么OA與l垂直嗎？AlO∵直線l是⊙O

的切線，A是切點，∴直線l⊥OA.應用格式切線的性質定理圓的切線垂直于過切點的半徑.知識點2新知探究(1)假設AB與CD不垂直，過點O作一條直線垂直于CD,垂足為M.(2)則OM<OA，即圓心到直線CD的距離小于⊙O的半徑，因此，CD與⊙O相交.這與已知條件“直線與⊙O相切”相矛盾.CDBOA(3)所以AB與CD垂直.M證法1：反證法.性質定理的證明知識點2新知探究CDOA證法2：構造法.作出小⊙O的同心圓大⊙O，CD切小⊙O于點A，且A點為CD的中點，連接OA，根據垂徑定理，則CD⊥OA，即圓的切線垂直于經過切點的半徑．性質定理的證明知識點2新知探究切線的性質定理的推論(1)經過圓心且垂直于切線的直線必過切點；(2)經過切點且垂直于切線的直線必過圓心.跟蹤訓練新知探究（2018?常州中考）如圖，AB是⊙O的直徑，MN是⊙O的切線，切點為N，如果∠MNB=52°，那么∠NOA的度數為() AA.76° B.56° C.54° D.52°解：∵MN是⊙O的切線，∴ON⊥NM，∴∠ONM=90°，∴∠ONB=90°-∠MNB=90°-52°=38°，∵ON=OB，∴∠B=∠ONB=38°，∴∠NOA=2∠B=76°．隨堂練習1如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，連接OC交⊙O于點D，連接BD，∠C=40°，則∠ABD的度數是()BA.30° B.25° C.20° D.15°解：∵AC是⊙O的切線，∴∠OAC=90°，∵∠C=40°，∴∠AOC=50°，∵OB=OD，∴∠ABD=∠BDO，∵∠ABD+∠BDO=∠AOC，∴∠ABD=25°.隨堂練習2如圖，AB是⊙O的直徑，直線l1，

l2

是⊙O的切線，A,B是切點，l1

，

l2

有怎樣的位置關系？證明你的結論.解：l1∥l2，證明：∵直線l1，l2是⊙O的切線，∴l(xiāng)1⊥AB，l2⊥AB，∴l(xiāng)1∥l2．Al1

l2BO隨堂練習3如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC的平分線交BC于點D.以D為圓心，DB為半徑作⊙D.求證：AC與⊙D相切.解：過點D作DE⊥AC于點E，如圖所示.因為∠ABC=90°，所以AB⊥BC，又AD平分∠BAC，DE⊥AC，所以DE=DB，所以AC與⊙D相切.E課堂小結切線的判定方法定義法數量關系法判定定理1個公共點，則相切d=r，則相切經過圓的半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.切線的性質有1個公共點d=r性質定理圓的切線垂直于經過切點的半徑有切線時常用輔助線添加方法：見切線，連切點，得垂直對接中考1（日照中考）如圖，AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，連接PO并延長交⊙O于點C,連接AC,

AB=10,∠P=30°,則AC的長度是()A

D對接中考2

115

對接中考3如圖，△ABC內接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直徑，點P是CD延長線上一點，且AP=AC.求證：PA是⊙O的切線.解：如圖，連接OA.因為∠B=60°，

所以∠AOC=2∠B=120°.因為OA=OC，所以∠OAC=∠OCA=30°.又AP=AC，所以∠P=∠ACP=30°,所以∠OAP=∠AOC-∠P=90°.所以OA⊥PA，所以PA是⊙O的切線.

切線的判定123456789101112131.下列說法正確的是(

D

)A.垂直于半徑的直線是圓的切線B.經過半徑外端的直線是圓的切線C.經過切點的直線是圓的切線D.圓心到某直線的距離等于半徑，那么這條直線是圓的切線D【解析】由經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，則選

項A，B，C錯誤；由圓心到某直線的距離等于半徑，那么這條直線是圓

的切線，則選項D正確.123456789101112132.如圖，已知☉

O

的半徑為5，直線

EF

經過☉

O

上一點

P

(點

E

，

F

在點

P

的兩旁)，下列條件能判定直線

EF

與☉

O

相切的是(

D

)A.

OP

＝5B.

OE

＝

OF

C.

O

到直線

EF

的距離是4D.

OP

⊥

EF

D12345678910111213

切線的性質3.(邯鄲大名縣第一中學期末)如圖，點

A

是☉

O

上一點，

AB

切☉

O

于點

A

，連接

OB

交☉

O

于點

C

.

若∠

B

＝34°，則∠

ACO

的度數為

(

B

)A.54°B.62°C.63°D.64°第3題圖B12345678910111213

123456789101112134.(唐山期中)如圖，

PA

，

PB

分別與☉

O

相切于

A

，

B

兩點，點

C

為☉

O

上一點，連接

AC

，

BC

，若∠

P

＝80°，則∠

ACB

的度數為

(

C

)A.80°B.40°C.50°D.100°第4題圖C【解析】如圖，連接

OA

，

OB

.

∵

PA

，

PB

分別與☉

O

相切于

A

，

B

兩點，∴∠

OAP

＝∠

OBP

＝90°.∵∠

P

＝80°，∴∠

AOB

＝100°.

123456789101112135.在Rt△

ABC

中，∠

C

＝90°，

AB

＝10，

AC

＝8，以點

C

為圓心作☉

C

與

AB

相切，則☉

C

的半徑長為(

D

)A.8B.4C.9.6D.4.8D12345678910111213【解析】如圖，過點

C

作

CD

⊥

AB

于點

D

.

∵∠

C

＝90°，

AB

＝10，

AC

＝8，

∴以點

C

為圓心，

CD

長為半徑作☉

C

與

AB

相切.∴☉

C

的半徑長為4.8.123456789101112136.(衡水期中)如圖，在平面直角坐標系中，☉

M

與

x

軸相切于點

A

，與

y

軸交于點

B

，

C

.

若圓心

M

的坐標是(4，5)，則弦

BC

的長度為

(

D

)A.3B.4C.5D.6第6題圖D12345678910111213【解析】如圖，連接

MA

，

MB

，過點

M

作

MN

⊥

y

軸，垂足為

N

，

∵☉

M

與

x

軸相切于點

A

，圓心

M

的坐標是(4，5)，∴

MA

⊥

x

軸，且

MA

＝5，

MN

＝4.∴

MB

＝

MA

＝5.

∴

BC

＝2

BN

＝6.123456789101112137.如圖，已知

AB

是☉

O

的直徑，

AC

是弦，

CD

切☉

O

于點

C

，交

AB

的

延長線于點

D

.

若∠

ACD

＝120°，

BD

＝10cm，則☉

O

的半徑為(

C

)A.5cmB.8cmC.10cmD.12cm第7題圖C12345678910111213【解析】如圖，連接

OC

.

∵

CD

切☉

O

于點

C

，∴∠

OCD

＝90°.∵∠

ACD

＝120°，∴∠

ACO

＝30°.∵

OA

＝

OC

，∴∠

A

＝∠

ACO

＝30°.∴∠

COD

＝∠

A

＋∠

ACO

＝60°，∠

D

＝30°.12345678910111213∴

OD

＝2

OC

.

∵

OB

∶

OC

，

BD

＝10cm，∴

OC

＝

BD

＝10cm.即☉

O

的半徑為10cm.12345678910111213

8.【教材第98頁練習第1題改編】如圖，

AB

是☉

O

的直徑，要使得直線

AT

是☉

O

的切線，需要添加的一個條件是

?

(寫一個條件即可).第8題圖∠

ABT

＝∠

ATB

＝45°(答

案不唯一)

【解析】添加條件：∠

ABT

＝∠

ATB

＝45°.∵∠

ABT

＝∠

ATB

＝45°，∴∠

BAT

＝90°.又∵

AB

是圓

O

的直徑，∴

AT

是圓

O

的切線.123456789101112139.(石家莊第40中學期中)如圖，

PA

，

PB

分別與☉

O

相切于

A

，

B

兩點，且∠

APB

＝56°，若

C

是☉

O

上異于點

A

，

B

的一點，則∠

ACB

的大小為(

D

)A.134°B.124°C.67°或113°D.62°或118°第9題圖D12345678910111213

1234567891011121310.(廊坊期中)題目：“如圖，在等腰直角三角形

ABC

中，∠

ABC

＝90°，以點

A

為圓心，以小于

AB

的長度為半徑作☉

A

，

P

是☉

A

上一

點，連接

BP

.

將線段

BP

繞點

B

順時針旋轉90°得到線段

BP

'，連接

PP

'.

當∠

APB

為何度數時，

PP

'與☉

A

相切，切點為

P

？”對于其答案，甲

答：∠

APB

＝135°，乙答：∠

APB

＝60°，丙答：∠

APB

＝45°，則下

列判斷正確的是(

B

)BA.只有甲答的對B.甲、丙答案合在一起才完整C.乙、丙答案合在一起才完整D.三人答案合在一起才完整12345678910111213【解析】由旋轉的性質，得

BP

＝

BP

'，則∠

BPP

'＝∠

BP

'

P

.

①當點

P

在

AB

的左側時，如圖1所示.∵∠PBP'＝90°，∴∠BPP'＝45°.當PP'是☉

A

的切線時，

AP

⊥PP'，∴∠APP'＝90°.∴∠

APB

＝∠APP'＋∠BPP'＝90°＋45°＝135°.12345678910111213②當點

P

在

AB

的右側時，如圖2.同理可得∠BPP'＝45°，當PP'是☉

A

的切線時，

AP

⊥PP'，∴∠APP'＝90°.∴∠

APB

＝∠APP'－∠BPP'＝90°－45°＝45°.1234567891011121311.(廊坊期中)如圖，☉

O

的半徑為1，

C

是☉

O

直徑

AB

延長線上一

點，點

D

在☉

O

上，∠

A

＝∠

CDB

.

(1)求證：直線

CD

是☉

O

的切線.(1)證明：如圖，連接

OD

.

∵

OA

＝

OD

，∴∠

A

＝∠

ODA

.

又∵∠

A

＝∠

CDB

，∴∠

CDB

＝∠

ODA

.

∵

AB

是☉

O

的直徑，∴∠

ADB

＝90°.∴∠

ODA

＋∠

ODB

＝90°.∴∠

CDB

＋∠

ODB

＝90°.∴∠

ODC

＝90°，即

OD

⊥

CD

.

∵點

D

在☉

O

上，∴直線

CD

是☉

O

的切線.12345678910111213(2)已知∠

CDB

＝∠

C

，點

P

在

AB

上方的☉

O

上運動(不與點

A

，

B

重

合)，連接

AP

，

DP

.

①求∠

APD

的度數；②過點

D

作

DP

的垂線，交

PA

的延長線于點

Q

，求

DQ

的最大長度.

12345678910111213

1234567891011121312.如圖，

AB

是☉

O

的弦，

OP

⊥

OA

交

AB

于點

P

，過點

B

的切線交

OP

的