第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市望城區(qū)第一中學(xué)高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在等腰直角三角形ABC中，若∠C=90°，AC=2，則A.?2 B.2 C.?22 2.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A.平均數(shù)反映數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，方差反映數(shù)據(jù)分散程度的大小

B.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定大于這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)

C.平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)

D.眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)3.一個(gè)球的表面積是16π，則它的體積是(

)A.64π B.64π3 C.324.sin110°?cos40°?cosA.12 B.32 C.?5.已知A(4,0)，B(0,4)，從點(diǎn)P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后，再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn)，則光線所經(jīng)過(guò)的路程是(

)A.33 B.6 C.26.函數(shù)f(x)=3sin(ωx+?)ω>0,?πA.?154 B.154 7.?ABC中，點(diǎn)D在AB上，CD平分∠ACB.若CB=a，CA=b，A.13a+23b B.28.設(shè)F1、F2分別為雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)左焦點(diǎn)A.5 B.2 C.3 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.某科技攻關(guān)青年團(tuán)隊(duì)共有10人，其年齡(單位：歲)分布如下表所示，則這10個(gè)人年齡的(

)年齡454036322928人數(shù)121321A.中位數(shù)是34 B.眾數(shù)是32

C.第25百分位數(shù)是29 D.平均數(shù)為34.310.若向量a=(?1,1,?2)與b=(1,x,2)的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)x的值可能為(

)．A.4 B.5 C.6 D.711.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，下列說(shuō)法正確的是(

)A.若Sn=(n+1)2，則an是等差數(shù)列

B.若Sn=2n?1，則an是等比數(shù)列

C.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x29?y27=1的左、右焦點(diǎn)，13.若數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=(?1)n(2n?1)，則該數(shù)列的前14.若函數(shù)f(x)=ax2+x?lnx存在增區(qū)間，則實(shí)數(shù)a四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)求滿足下列條件的實(shí)數(shù)x、y的值：(1)(3x?y)+(x+2)i(2)xy?(x+y)i=?24+516.(本小題15分在平面直角坐標(biāo)系中，已知F(2,0),P(?2,t)，若線段FP的中垂線l與拋物線C：y2(1)求拋物線C的方程；

(2)若過(guò)點(diǎn)Q(2,1)的直線l′交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M，N分別作拋物線的切線l1,l2相交于點(diǎn)A．l1,l(i)證明：當(dāng)l′變化時(shí)，ΔABC的外接圓過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；

(ii)求ΔABC的外接圓面積的最小值．17.(本小題15分某商品在近30天內(nèi)每件的銷售價(jià)格P元和時(shí)間t(t∈N)的關(guān)系如圖所示．(1)請(qǐng)確定銷售價(jià)格P(元)和時(shí)間t(天)的函數(shù)解析式；(2)該商品的日銷售量Q(件)與時(shí)間t(天)的關(guān)系是：Q=?t+40(0≤t≤30,t∈N)，求該商品的日銷售金額y(元)與時(shí)間t(天)的函數(shù)解析式；(3)求該商品的日銷售金額y(元)的最大值，并指出日銷售金額最大的一天是30天中的哪一天？18.(本小題17分已知圓C:(x?4)(1)求證：直線l過(guò)定點(diǎn)；(2)求直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)m的值；(3)已知點(diǎn)M(4,5)，在直線MC上(C為圓心)，存在定點(diǎn)N(異于點(diǎn)M)，滿足：對(duì)于圓C上任一點(diǎn)P，都有|PM||PN|為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點(diǎn)N

19.(本小題17分)某廠接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù)，加工出來(lái)的產(chǎn)品(單位：件)按標(biāo)準(zhǔn)分為A，B，C，D四個(gè)等級(jí).加工業(yè)務(wù)約定：對(duì)于A級(jí)品、B級(jí)品、C級(jí)品，廠家每件分別收取加工費(fèi)90元，50元，20元；對(duì)于D級(jí)品，廠家每件要賠償原料損失費(fèi)50元.該廠有甲、乙兩個(gè)分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費(fèi)為25元/件，乙分廠加工成本費(fèi)為20元/件.廠家為決定由哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個(gè)分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)品的等級(jí)，整理如下：甲分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表等級(jí)ABCD頻數(shù)40202020乙分廠產(chǎn)品等級(jí)的頻數(shù)分布表等級(jí)ABCD頻數(shù)28173421(1)分別估計(jì)甲、乙兩分廠加工出來(lái)的一件產(chǎn)品為A級(jí)品的概率；(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來(lái)的100件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)，以平均利潤(rùn)為依據(jù)，廠家應(yīng)選哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)?

參考答案1.B

2.B

3.D

4.A

5.C

6.A

7.B

8.A

9.BCD

10.CD

11.BC

12.3或15/15或3

13.100

14.?115.(1)解：由已知可得3x?y=xx+2=?y(2)解：由已知可得xy=?24x+y=?5

16.(1)F(2,0)，P(?2,t)，可得FP的中點(diǎn)為(0,t當(dāng)t=0時(shí)，F(xiàn)P的中點(diǎn)為原點(diǎn)，當(dāng)t≠0時(shí)，直線FP的斜率為?t4，線段FP的中垂線l的斜率為可得中垂線l的方程為y=4tx+可得16t由直線和拋物線相切可得△=(4?2p)2?16=0則拋物線的方程為y2(2)(i)證明：可設(shè)過(guò)點(diǎn)Q(2,1)的直線l′的方程為x?2=m(y?1)，即x=my+2?m，代入拋物線的方程y2=8x，可得設(shè)M(y128,y1由y2=8x，兩邊對(duì)x求導(dǎo)可得2y?可得M處的切線方程為y?y1=4同理可得N處的切線方程為y2y=4x+由①②可得y=y1+y2又l1，l2分別與y軸交于點(diǎn)B(0,y設(shè)過(guò)A，B，C的外接圓的方程為x2+y即有y結(jié)合y1+y2=8m，y1y可得△ABC的外接圓方程為x2可得m(4?x?4y)+(x由x+4y=4x2+y則當(dāng)l′變化時(shí)，△ABC的外接圓過(guò)定點(diǎn)(4,0)和(?28(ii)△ABC的外接圓的半徑r=可得當(dāng)m=617時(shí)，r的最小值為則△ABC的外接圓面積的最小值為144

17.(1)當(dāng)0≤t<25，t∈N，設(shè)P=at+b，將(0,19)，(25,44)代入得19=b44=25a+b，解之得a=1b=19,∴P=t+19(0≤t<25,t∈N)，當(dāng)25≤t≤30，t∈N綜上所述：銷售價(jià)格P(元)和時(shí)間t(天)的函數(shù)解析式為P=t+19,0≤t(2)由題意得，y=P?Q，由(1)即：y=?(3)由y=當(dāng)0≤t<25，t∈N，由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)知t=10，或t=11時(shí)，y取最大值870元當(dāng)25≤t≤30，t∈N，由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)知t=25時(shí)，y取最大值1125元綜上所述，在第25天，日銷售金額有最大值1125元

18.(Ⅰ)依題意得，m(2x?3y)+(2?y)=0令2x?3y=0且2?y=0，得x=3,y=2∴直線l過(guò)定點(diǎn)A(3,2)(Ⅱ)當(dāng)AC⊥l時(shí)，所截得弦長(zhǎng)最短，由題知C(4,1)∴kAC=2?13?4=?1，得(Ⅲ)法一：由題知，直線MC的方程為x=4，假設(shè)存在定點(diǎn)N(4,t)滿足題意，則設(shè)P(x,y)，|PM||PN|=λ，得PM∴整理得，[∵上式對(duì)任意y∈[?1,3]恒成立，∴解得t2?7t+10=0，說(shuō)以t=2,t=5(舍去，與M重合)綜上可知，在直線MC上存在定點(diǎn)N(4,2)，使得|PM||PN|為常數(shù)

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