求導(dǎo)大題題目及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=x^2\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(2x\)B.\(x^2\)C.\(2\)D.\(1\)2.函數(shù)\(y=\sinx\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(\cosx\)B.\(-\cosx\)C.\(\sinx\)D.\(-\sinx\)3.函數(shù)\(y=e^x\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(e^x\)B.\(xe^{x-1}\)C.\(0\)D.\(1\)4.函數(shù)\(y=\lnx\)（\(x>0\)）的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(\frac{1}{x}\)B.\(x\)C.\(-\frac{1}{x}\)D.\(x^2\)5.若\(y=3x^3\)，則\(y^\prime\)=（）A.\(9x^2\)B.\(3x^2\)C.\(x^3\)D.\(9x\)6.函數(shù)\(y=\cos(2x)\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(-2\sin(2x)\)B.\(2\sin(2x)\)C.\(\sin(2x)\)D.\(-\sin(2x)\)7.函數(shù)\(y=\frac{1}{x^2}\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(-\frac{2}{x^3}\)B.\(\frac{2}{x^3}\)C.\(-\frac{1}{x^3}\)D.\(\frac{1}{x^3}\)8.函數(shù)\(y=x\sinx\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(\sinx+x\cosx\)B.\(\sinx-x\cosx\)C.\(x\cosx\)D.\(\sinx\)9.函數(shù)\(y=\tanx\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(\sec^2x\)B.\(-\sec^2x\)C.\(\csc^2x\)D.\(-\csc^2x\)10.函數(shù)\(y=5\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(0\)B.\(5\)C.\(1\)D.\(5x\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些函數(shù)求導(dǎo)公式正確（）A.\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)B.\((\cosx)^\prime=-\sinx\)C.\((a^x)^\prime=a^x\lna\)D.\((\log_ax)^\prime=\frac{1}{x\lna}\)2.函數(shù)\(y=f(x)g(x)\)的求導(dǎo)法則（）A.\(y^\prime=f^\prime(x)g(x)+f(x)g^\prime(x)\)B.\(y^\prime=f^\prime(x)g^\prime(x)\)C.\(y^\prime=f(x)g^\prime(x)\)D.\(y^\prime=f^\prime(x)g(x)\)3.下列函數(shù)中導(dǎo)數(shù)為\(\frac{1}{x}\)的有（）A.\(\lnx\)B.\(\ln(ax)\)（\(a\neq0\)）C.\(\ln(x+1)\)D.\(\lnx^2\)（\(x\neq0\)）4.求導(dǎo)結(jié)果為\(2x\)的函數(shù)可能是（）A.\(x^2+C\)（\(C\)為常數(shù)）B.\(x^2+1\)C.\(x^2-1\)D.\(2x^2\)5.函數(shù)\(y=\frac{f(x)}{g(x)}\)（\(g(x)\neq0\)）的求導(dǎo)公式正確的是（）A.\(y^\prime=\frac{f^\prime(x)g(x)-f(x)g^\prime(x)}{g^2(x)}\)B.\(y^\prime=\frac{f^\prime(x)g(x)+f(x)g^\prime(x)}{g^2(x)}\)C.\(y^\prime=\frac{f^\prime(x)g^\prime(x)}{g^2(x)}\)D.\(y^\prime=\frac{f(x)g^\prime(x)}{g^2(x)}\)6.下列函數(shù)求導(dǎo)正確的是（）A.若\(y=x^3+3x\)，則\(y^\prime=3x^2+3\)B.若\(y=\sin2x\)，則\(y^\prime=2\cos2x\)C.若\(y=e^{3x}\)，則\(y^\prime=3e^{3x}\)D.若\(y=\ln(x^2+1)\)，則\(y^\prime=\frac{2x}{x^2+1}\)7.導(dǎo)數(shù)為\(0\)的函數(shù)有（）A.\(y=2\)B.\(y=-5\)C.\(y=\pi\)D.\(y=0\)8.函數(shù)\(y=x\cosx\)求導(dǎo)用到的求導(dǎo)公式有（）A.\((uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime\)B.\((x)^\prime=1\)C.\((\cosx)^\prime=-\sinx\)D.\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)9.若函數(shù)\(y=f(x)\)可導(dǎo)，下列說法正確的是（）A.函數(shù)在某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)大于\(0\)，函數(shù)在該點(diǎn)附近單調(diào)遞增B.函數(shù)在某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)小于\(0\)，函數(shù)在該點(diǎn)附近單調(diào)遞減C.函數(shù)在某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為\(0\)，函數(shù)在該點(diǎn)一定有極值D.函數(shù)導(dǎo)數(shù)恒為\(0\)，函數(shù)為常函數(shù)10.下列函數(shù)中，求導(dǎo)后是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\cosx\)D.\(y=x^3\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為\(0\)。（）2.函數(shù)\(y=x^n\)（\(n\)為實(shí)數(shù)）的導(dǎo)數(shù)一定是\(nx^{n-1}\)。（）3.若\(y=f(x)+g(x)\)，則\(y^\prime=f^\prime(x)+g^\prime(x)\)。（）4.函數(shù)\(y=\sin^2x\)的導(dǎo)數(shù)是\(2\sinx\)。（）5.函數(shù)\(y=\lnx^2\)與\(y=2\lnx\)的導(dǎo)數(shù)相同。（）6.函數(shù)\(y=e^{ax}\)（\(a\)為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)是\(ae^{ax}\)。（）7.兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)等于兩個(gè)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的乘積。（）8.函數(shù)\(y=\tanx\)的導(dǎo)數(shù)是\(\frac{1}{\cos^2x}\)。（）9.若\(y=f(x)\)在\(x=x_0\)處導(dǎo)數(shù)不存在，則函數(shù)在該點(diǎn)不連續(xù)。（）10.函數(shù)\(y=\sqrt{x}\)的導(dǎo)數(shù)是\(\frac{1}{2\sqrt{x}}\)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-2x^2+5x-1\)的導(dǎo)數(shù)。答案：根據(jù)求導(dǎo)公式\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為\(0\)。\(y^\prime=3x^2-4x+5\)。2.求\(y=\sin(3x+\frac{\pi}{4})\)的導(dǎo)數(shù)。答案：令\(u=3x+\frac{\pi}{4}\)，則\(y=\sinu\)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，\(y^\prime=(\sinu)^\prime\cdotu^\prime=\cosu\cdot3=3\cos(3x+\frac{\pi}{4})\)。3.求函數(shù)\(y=\frac{x}{x+1}\)的導(dǎo)數(shù)。答案：根據(jù)除法求導(dǎo)公式\((\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\primev-uv^\prime}{v^2}\)，這里\(u=x\)，\(u^\prime=1\)，\(v=x+1\)，\(v^\prime=1\)，則\(y^\prime=\frac{1\cdot(x+1)-x\cdot1}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}\)。4.已知\(y=e^{2x}\cosx\)，求\(y^\prime\)。答案：根據(jù)乘積求導(dǎo)法則\((uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime\)，\(u=e^{2x}\)，\(u^\prime=2e^{2x}\)，\(v=\cosx\)，\(v^\prime=-\sinx\)，所以\(y^\prime=2e^{2x}\cosx-e^{2x}\sinx=e^{2x}(2\cosx-\sinx)\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=x^3\)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。答案：對(duì)\(y=x^3\)求導(dǎo)得\(y^\prime=3x^2\)。當(dāng)\(x\neq0\)時(shí)，\(y^\prime>0\)，函數(shù)單調(diào)遞增；\(x=0\)時(shí)，\(y^\prime=0\)。導(dǎo)數(shù)大于\(0\)的區(qū)間函數(shù)單調(diào)遞增，說明導(dǎo)數(shù)正負(fù)決定函數(shù)單調(diào)性。2.為什么\(y=\lnx\)（\(x>0\)）的導(dǎo)數(shù)是\(\frac{1}{x}\)，請(qǐng)從導(dǎo)數(shù)定義角度簡(jiǎn)要討論。答案：根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義\(f^\prime(x)=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{f(x+\Deltax)-f(x)}{\Deltax}\)，對(duì)于\(y=\lnx\)，\(\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\ln(x+\Deltax)-\lnx}{\Deltax}=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\ln(1+\frac{\Deltax}{x})}{\Deltax}\)，利用等價(jià)無窮小\(\ln(1+t)\)與\(t\)（\(t\to0\)），令\(t=\frac{\Deltax}{x}\)，可得導(dǎo)數(shù)為\(\frac{1}{x}\)。3.討論復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的重要性及應(yīng)用場(chǎng)景。答案：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則是求導(dǎo)運(yùn)算的重要工具。它能解決復(fù)雜函數(shù)求導(dǎo)問題。在物理、工程等領(lǐng)域，如求變速運(yùn)動(dòng)物體位移關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)（位移是速度函數(shù)的復(fù)合），經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域求成本關(guān)于產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)（成本是多個(gè)變量的復(fù)合函數(shù)）等場(chǎng)景經(jīng)常用到。4.舉例說明函數(shù)在某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為\(0\)，但該點(diǎn)不是極值點(diǎn)的情況。答案：例如\(y=x^3\)，\(y^\prime=3x^2\)，當(dāng)\(x=0\)時(shí)，\(y^\prime=0\)。但在\(x=0\)兩側(cè)函數(shù)均單調(diào)遞增，不存在局部最大或最小值，所以\(x=0\)不是極值點(diǎn)，