第05講等邊三角形的性質(zhì)和判定知識點1：等邊三角形的概念和性質(zhì)知識點2：等邊三角形的判定知識點3：含30°的直角三角形等邊三角形概念三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.也稱為正三角形.注意：等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.（2）等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等邊三角形.2.等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形是一類特殊的等腰三角形，有三條對稱軸，每個角的平分線(底邊上的高線或中線)所在的直線就是它的對稱軸.（2）三個角都是60°【題型1：利用等邊三角形的性質(zhì)求邊長】【典例1】如圖，△ABC與△CDE都是等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE．若BE=2，AE=8，則CE的長是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【變式1】如圖，在等邊三角形ABC中，AD⊥BC，垂足為D，點E在線段AD上，連接EB、EC，若∠EBC=45°,BC=6，則ED等于（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式2】如圖，等邊△ABC的邊長為2，點D、E分別在邊AB、BC上（不與△ABC的頂點重合），將△BDE沿DE翻折，點B落在點F處，則三個陰影三角形的周長和為（

）A．8 B．6 C．4 D．2【變式3】如圖，△ABC為等邊三角形，點D是BC邊上異于B，C的任意一點，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F．若BC邊上的高線AM=10，則DE+DF=（

）A．5 B．10 C．8 D．6【題型2：利用等邊三角形的性質(zhì)求角度】【典例2】如圖，△ABC是等邊三角形，E為BC上一點，在AB上取一點D，使AD=AE，且∠AED=65°，則∠EAC的度數(shù)是（

）A．10° B．20° C．15° D．5°【變式1】如圖，等邊△ABC的頂點A、B分別在直線a，b上，且a∥b，若∠2=80°，則∠1的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．45°【變式2】如圖，在等邊△ABC中，AD為BC邊上的中線，點E在AC邊上，連接DE，若AD=AE，則∠CDE的度數(shù)為（

）A．20° B．25° C．10° D．15°【變式3】如圖，在等邊三角形ABC中，BD=CE，AD于BE相交于點P，則∠APE的度數(shù)是（

）A．80° B．45° C．60° D．70°（1）三個角相等的三角形是等邊三角形.（2）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.【題型3：等邊三角形的判定】【典例3】下列條件中，能判定△ABC為等邊三角形的是（

）A．∠A=60° B．∠B+∠C=120°C．∠B=∠C D．∠B=60°,AB=AC【變式1】下列條件不能判斷△ABC是等邊三角形的是（

）A．∠A=∠B=∠C B．AB=BC,∠A=∠CC．AB=BC,∠B=60° D．AB=BC,AC=BC【變式2】若△ABC的三邊長a，b，c滿足a?b2+∣b?c∣=0，則△ABC的形狀是（

A．銳角三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．無法確定【變式3】如圖所示，在△ABC中，D是BC的中點，AD⊥BC．若添加一個條件可以證明△ABC是等邊三角形，則這個條件可以是（

）A．∠B=60° B．∠BAD=30° C．AB=BC【題型4：等邊三角形的判定與性質(zhì)】【典例4】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足為G，且AD=AB，AC=4，∠EDF=60°，∠EDF的兩邊分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，AF=1．(1)求證：△ABD是等邊三角形．(2)求AE的長．【變式1】如圖，點C是線段AB上除點A、B外的任意一點，分別以AC、BC為邊在線段AB的同旁作等邊△ACD和等邊△BCE，連接AE交DC于M，連接BD交CE于N，交AE于點P，連接MN．(1)求證：AE=BD；(2)求∠APD的度數(shù)；【變式2】如圖，在△ABC中，∠B=40°，∠C=20°，AD平分∠BAC，交BC于點D，過點D作DE∥AB，交AC于點E．(1)求∠ADC的度數(shù)．(2)若△ADC與△EDC的周長分別為11和9，求DE的長．【變式3】如圖，△ABC是等邊三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分別為D、E，AE、BD相交于點O，連接DE．(1)求證：△CDE是等邊三角形；(2)若AO=12，求OE的長．含30°角的直角三角形的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.【題型5：含30°角的直角三角形的性質(zhì)】【典例5】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6，則AB的長為（

A．30 B．15 C．12 D．10【變式1】如圖1是某地鐵站入口的雙翼閘門，當它的雙翼展開時，如圖2，雙翼邊緣的端點A與B之間的距離為10cm，雙翼的邊緣AC=BD=52cm，且與閘機側(cè)立面夾角∠PCA=∠QDB=30A．62 B．54 C．64 D．74【變式2】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，CD⊥AB于點D，且BD=2，則AD=【變式3】某校在一塊如圖所示的三角形空地ABC上種植草皮美化環(huán)境，已知∠A=150°，這種草皮每平方米售價a元，則購買這種草皮需要元．一、單選題1．已知等腰三角形的一邊長為5，且其有一個內(nèi)角的度數(shù)為60°，則該等腰三角形的周長是（

）A．10 B．15 C．18 D．202．如圖，一輛貨車為了方便裝運貨物，使用了三角形鋼架，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1.6m，則AB的長為（

）mA．1.6 B．0.8 C．3.2 D．2.83．如圖，在Rt△ABC中，∠C=30°，∠B=90°．若AC=2，則AB的長為（

A．12 B．1 C．2 4．如圖是某景區(qū)一段索道示意圖，點A、B之間的距離為30米，∠BAC=30°，則纜車從點A到點B的過程中豎直上升的高度（BC的長）為（

）A．60米 B．45米 C．30米 D．15米5．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB,D為垂足，DE交BC于點E，若BE=10，則AC的長為（A．5 B．53 C．10 D．6．如圖，在等邊三角形△ABC中，E為AB上一點，過點E的直線交AC于點F，交BC延長線于點D，作EG⊥AC垂足為G，如AE=CD,AB=6，則GF的長為（

）A．2 B．3 C．4 D．6二、填空題7．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線DE交BC于點D，垂足為點E，連接AD，若AD平分∠CAB，CD=2，則BD8．在△ABC中，AB=AC=4cm，∠B=60°，則BC=9．如圖，在等邊三角形ABC中，AD⊥BC，垂足為點D，點E在線段AD上，∠ECD=20°，則∠ABE=°．10．已知等邊△ABC中，點D，E分別在邊AB，BC上，把△BDE沿直線DE翻折，使點B落在點B′處，DB′，EB′分別交邊AC于點F，G，若∠ADF=80°三、解答題11．如圖，D，E分別是等邊三角形ABC的邊AB，AC上的點，且AD=CE，求∠BOD的度數(shù)．12．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°(1)尺規(guī)作圖：過點C作斜邊AB邊上的高CD，垂足為D；（不寫作法，只保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，若∠A=30°,BC=6，求BD的長．13．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交(1)求證：BC=3AD．(2)若AB=6，AD