高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重點(diǎn)難點(diǎn)解析：核心考點(diǎn)突破與解題策略引言高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的核心目標(biāo)是構(gòu)建知識(shí)體系、突破重點(diǎn)難點(diǎn)、提升解題能力。從高考命題規(guī)律看，重點(diǎn)難點(diǎn)主要集中在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)與解三角形、數(shù)列、立體幾何、解析幾何、概率與統(tǒng)計(jì)六大板塊，占總分的80%以上。本文結(jié)合近年高考真題，對(duì)各板塊的重點(diǎn)內(nèi)容、難點(diǎn)突破策略及易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行系統(tǒng)解析，助力考生精準(zhǔn)復(fù)習(xí)。第一章函數(shù)與導(dǎo)數(shù)：高考?jí)狠S題的“常駐地”函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高考數(shù)學(xué)的核心板塊，占分約20-25分（含選考），主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及導(dǎo)數(shù)與不等式、零點(diǎn)的綜合應(yīng)用。1.1核心考點(diǎn)梳理基礎(chǔ)考點(diǎn)：函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、周期性；導(dǎo)數(shù)的定義（瞬時(shí)變化率）、基本導(dǎo)數(shù)公式（冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)）、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算。重點(diǎn)考點(diǎn)：（1）導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點(diǎn)處切線的斜率（\(k=f'(x_0)\)），切線方程為\(y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)\)；（2）函數(shù)的單調(diào)性：導(dǎo)數(shù)符號(hào)與單調(diào)性的關(guān)系（\(f'(x)>0\)?遞增，\(f'(x)<0\)?遞減）；（3）函數(shù)的極值與最值：極值點(diǎn)的判定（導(dǎo)數(shù)由正變負(fù)為極大值點(diǎn)，反之則為極小值點(diǎn)）；閉區(qū)間上的最值需比較端點(diǎn)值與極值。綜合考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)（方程根）、導(dǎo)數(shù)與不等式（恒成立/存在性問題）、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖像的關(guān)系。1.2難點(diǎn)突破與解題策略1.2.1導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)問題難點(diǎn)：如何通過導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性、極值，進(jìn)而判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)。策略：步驟：①求定義域；②求導(dǎo)數(shù)\(f'(x)\)，找極值點(diǎn)；③分析函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的極限值；④結(jié)合單調(diào)性、極值繪制函數(shù)草圖，判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)。技巧：若函數(shù)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)單調(diào)，則至多1個(gè)零點(diǎn)；若有極值，則需比較極值與0的關(guān)系（極大值>0且極小值<0?2個(gè)零點(diǎn)）。例題：判斷函數(shù)\(f(x)=x-\lnx-1\)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。解析：定義域?yàn)閈((0,+\infty)\)，\(f'(x)=1-1/x\)。令\(f'(x)=0\)，得\(x=1\)。當(dāng)\(0<x<1\)時(shí)，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)遞減；當(dāng)\(x>1\)時(shí)，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)遞增；極小值為\(f(1)=1-0-1=0\)，且\(x→0^+\)時(shí)，\(f(x)→+∞\)；\(x→+∞\)時(shí)，\(f(x)→+∞\)。故\(f(x)\)有且僅有1個(gè)零點(diǎn)（\(x=1\)）。1.2.2不等式恒成立中的參數(shù)范圍問題難點(diǎn)：如何將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題。策略：分離參數(shù)法：若不等式\(a≥f(x)\)恒成立，則\(a≥f(x)_{\text{max}}\)；若\(a≤f(x)\)恒成立，則\(a≤f(x)_{\text{min}}\)。注意：分離參數(shù)時(shí)需考慮分母的符號(hào)（避免不等號(hào)方向改變）；若無法分離參數(shù)，則需構(gòu)造輔助函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性、極值。例題：若\(x>0\)時(shí)，\(x^2-ax+1≥0\)恒成立，求\(a\)的取值范圍。解析：分離參數(shù)得\(a≤x+1/x\)（\(x>0\)）。令\(g(x)=x+1/x\)，則\(g'(x)=1-1/x^2\)。當(dāng)\(0<x<1\)時(shí)，\(g'(x)<0\)，\(g(x)\)遞減；當(dāng)\(x>1\)時(shí)，\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)遞增；\(g(x)_{\text{min}}=g(1)=2\)。故\(a≤2\)。1.3易錯(cuò)點(diǎn)提醒忽略函數(shù)定義域：如求\(f(x)=\ln(x-1)\)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，定義域?yàn)閈((1,+∞)\)，需注意單調(diào)區(qū)間的范圍；導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷錯(cuò)誤：如\(f(x)=x^3\)的導(dǎo)數(shù)\(f'(x)=3x^2≥0\)，但\(x=0\)處導(dǎo)數(shù)為0，不影響單調(diào)性（函數(shù)在\(R\)上遞增）；極值點(diǎn)與拐點(diǎn)混淆：極值點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)由正變負(fù)或由負(fù)變正的點(diǎn)，拐點(diǎn)是二階導(dǎo)數(shù)由正變負(fù)或由負(fù)變正的點(diǎn)（曲線凹凸性改變）。第二章三角函數(shù)與解三角形：公式與應(yīng)用的“平衡術(shù)”三角函數(shù)與解三角形占分約15-20分，主要考查三角恒等變換、正弦余弦定理的應(yīng)用，以及三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)。2.1核心考點(diǎn)梳理基礎(chǔ)考點(diǎn)：三角函數(shù)的定義（正弦、余弦、正切）、誘導(dǎo)公式（奇變偶不變，符號(hào)看象限）、同角三角函數(shù)關(guān)系（\(\sin^2α+\cos^2α=1\)，\(\tanα=\sinα/\cosα\)）。重點(diǎn)考點(diǎn)：（1）三角恒等變換：和差公式（\(\sin(α±β)=\sinα\cosβ±\cosα\sinβ\)）、倍角公式（\(\sin2α=2\sinα\cosα\)，\(\cos2α=2\cos^2α-1=1-2\sin^2α\)）、輔助角公式（\(a\sinα+b\cosα=\sqrt{a^2+b^2}\sin(α+φ)\)，其中\(zhòng)(\tanφ=b/a\)）；（2）解三角形：正弦定理（\(a/\sinA=b/\sinB=c/\sinC=2R\)）、余弦定理（\(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA\)）、面積公式（\(S=1/2bc\sinA\)）。2.2難點(diǎn)突破與解題策略2.2.1三角恒等變換的技巧難點(diǎn)：如何選擇合適的公式，將復(fù)雜的三角表達(dá)式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)形式。策略：優(yōu)先考慮“角的統(tǒng)一”：如將\(2α\)、\(α+β\)等角用已知角表示（例如\(α=(α+β)-β\)）；其次考慮“函數(shù)名的統(tǒng)一”：如將正切、余切轉(zhuǎn)化為正弦、余弦（例如\(\tanα=\sinα/\cosα\)）；最后考慮“次數(shù)的統(tǒng)一”：如用倍角公式降次（例如\(\cos^2α=(1+\cos2α)/2\)）。例題：化簡(jiǎn)\(\sin(α+β)\cosβ-\cos(α+β)\sinβ\)。解析：逆用和差公式，得\(\sin[(α+β)-β]=\sinα\)。2.2.2解三角形中的多解問題難點(diǎn)：如何判斷三角形解的個(gè)數(shù)（1解、2解、無解）。策略：用正弦定理判斷：已知\(a\)、\(b\)、\(A\)，則：（1）若\(a≥b\)，則\(B≤A\)，有1解；（2）若\(a<b\)，則：當(dāng)\(a>b\sinA\)時(shí)，有2解；當(dāng)\(a=b\sinA\)時(shí)，有1解；當(dāng)\(a<b\sinA\)時(shí)，無解。例題：已知\(a=2\)，\(b=3\)，\(A=30°\)，求\(B\)。解析：由正弦定理得\(\sinB=(b\sinA)/a=(3×1/2)/2=3/4\)。因?yàn)閈(a<b\)，且\(a=2>b\sinA=3×1/2=1.5\)，故有2解：\(B=\arcsin(3/4)\)或\(B=π-\arcsin(3/4)\)。2.3易錯(cuò)點(diǎn)提醒誘導(dǎo)公式符號(hào)錯(cuò)誤：如\(\sin(π-α)=\sinα\)（第一象限，符號(hào)為正），\(\cos(π-α)=-\cosα\)（第二象限，符號(hào)為負(fù)）；輔助角公式中\(zhòng)(φ\(chéng))的象限判斷錯(cuò)誤：如\(a\sinα+b\cosα\)，若\(a>0\)，則\(φ\(chéng))在第一或第四象限；若\(a<0\)，則\(φ\(chéng))在第二或第三象限；解三角形時(shí)忽略三角形內(nèi)角和：如求得\(B=120°\)，則\(C=180°-A-B=30°\)，需確保\(C>0\)。第三章數(shù)列：遞推與求和的“邏輯鏈”數(shù)列占分約15-20分，主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和，以及遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式求解。3.1核心考點(diǎn)梳理基礎(chǔ)考點(diǎn)：數(shù)列的定義（按一定順序排列的數(shù)）、通項(xiàng)公式（\(a_n\)與\(n\)的關(guān)系）、前\(n\)項(xiàng)和（\(S_n=a_1+a_2+…+a_n\)）。重點(diǎn)考點(diǎn)：（1）等差數(shù)列：通項(xiàng)公式（\(a_n=a_1+(n-1)d\)）、前\(n\)項(xiàng)和（\(S_n=n(a_1+a_n)/2=na_1+n(n-1)d/2\)）、性質(zhì)（\(a_m+a_n=a_p+a_q\)，當(dāng)\(m+n=p+q\)時(shí)）；（2）等比數(shù)列：通項(xiàng)公式（\(a_n=a_1q^{n-1}\)）、前\(n\)項(xiàng)和（\(S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)\)，\(q≠1\)）、性質(zhì)（\(a_ma_n=a_pa_q\)，當(dāng)\(m+n=p+q\)時(shí)）；（3）遞推數(shù)列：累加法（\(a_n-a_{n-1}=f(n)\)）、累乘法（\(a_n/a_{n-1}=f(n)\)）、構(gòu)造等比數(shù)列（如\(a_n=pa_{n-1}+q\)，令\(b_n=a_n+k\)，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列）。3.2難點(diǎn)突破與解題策略3.2.1遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式求解難點(diǎn)：如何將非等差、等比數(shù)列的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列。策略：類型1：\(a_n=a_{n-1}+f(n)\)（累加法）：\(a_n=a_1+\sum_{k=2}^nf(k)\)；類型2：\(a_n=a_{n-1}·f(n)\)（累乘法）：\(a_n=a_1·\prod_{k=2}^nf(k)\)；類型3：\(a_n=pa_{n-1}+q\)（構(gòu)造等比數(shù)列）：令\(b_n=a_n+q/(p-1)\)，則\(b_n=pb_{n-1}\)，即\(\{b_n\}\)為等比數(shù)列。例題：已知\(a_1=1\)，\(a_n=2a_{n-1}+1\)（\(n≥2\)），求\(a_n\)。解析：令\(b_n=a_n+1\)，則\(b_n=2a_{n-1}+2=2(a_{n-1}+1)=2b_{n-1}\)。\(\{b_n\}\)是以\(b_1=a_1+1=2\)為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故\(b_n=2×2^{n-1}=2^n\)；因此\(a_n=b_n-1=2^n-1\)。3.2.2數(shù)列求和的技巧難點(diǎn)：如何將非等差、等比數(shù)列的和轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的和。策略：錯(cuò)位相減法：適用于“等差數(shù)列×等比數(shù)列”型（如\(a_n=n·2^n\)）；裂項(xiàng)相消法：適用于“分式型”（如\(a_n=1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1)\)）；分組求和法：適用于“等差+等比”型（如\(a_n=2n+3^n\)）。例題：求\(S_n=1×2+2×2^2+3×2^3+…+n×2^n\)。解析：用錯(cuò)位相減法：\(S_n=1×2+2×2^2+3×2^3+…+n×2^n\)，\(2S_n=1×2^2+2×2^3+…+(n-1)×2^n+n×2^{n+1}\)，兩式相減得：\(-S_n=2+2^2+2^3+…+2^n-n×2^{n+1}=2(2^n-1)/(2-1)-n×2^{n+1}=2^{n+1}-2-n×2^{n+1}\)，故\(S_n=(n-1)×2^{n+1}+2\)。3.3易錯(cuò)點(diǎn)提醒等差數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和的項(xiàng)數(shù)錯(cuò)誤：如\(S_n=na_1+n(n-1)d/2\)，其中\(zhòng)(n(n-1)/2\)是項(xiàng)數(shù)減1的和；等比數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和的公比錯(cuò)誤：當(dāng)\(q=1\)時(shí)，\(S_n=na_1\)，需單獨(dú)討論；遞推數(shù)列的初始條件忽略：如例題中\(zhòng)(a_1=1\)，需確保\(n=1\)時(shí)通項(xiàng)公式成立。第四章立體幾何：空間想象與向量的“結(jié)合體”立體幾何占分約15-20分，主要考查空間幾何體的表面積與體積、線面位置關(guān)系（平行、垂直）的判定與性質(zhì)，以及空間角（異面直線所成角、線面角、二面角）的計(jì)算。4.1核心考點(diǎn)梳理基礎(chǔ)考點(diǎn)：棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球的表面積與體積公式（如球的表面積\(S=4πR^2\)，體積\(V=4/3πR^3\)）；重點(diǎn)考點(diǎn)：（1）線面平行：判定定理（平面外一條直線與平面內(nèi)一條直線平行，則直線與平面平行）、性質(zhì)定理（直線與平面平行，則過直線的平面與該平面的交線與直線平行）；（2）線面垂直：判定定理（一條直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直，則直線與平面垂直）、性質(zhì)定理（直線與平面垂直，則直線與平面內(nèi)所有直線垂直）；（3）空間角：異面直線所成角（范圍\((0°,90°]\)）、線面角（范圍\([0°,90°]\)）、二面角（范圍\([0°,180°]\)）。4.2難點(diǎn)突破與解題策略4.2.1空間角的計(jì)算（空間向量法）難點(diǎn)：如何建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求法向量，進(jìn)而計(jì)算空間角。策略：步驟：①建立空間直角坐標(biāo)系（通常以底面中心、頂點(diǎn)為原點(diǎn)，棱為坐標(biāo)軸）；②求各點(diǎn)坐標(biāo)；③求直線的方向向量（如\(\overrightarrow{AB}=B-A\)）、平面的法向量（如平面\(ABC\)的法向量\(\overrightarrow{n}\)滿足\(\overrightarrow{n}·\overrightarrow{AB}=0\)且\(\overrightarrow{n}·\overrightarrow{AC}=0\)）；④計(jì)算空間角：（1）異面直線所成角\(θ\)：\(\cosθ=|\overrightarrow{a}·\overrightarrow|/(|\overrightarrow{a}|·|\overrightarrow|)\)；（2）線面角\(θ\)：\(\sinθ=|\overrightarrow{a}·\overrightarrow{n}|/(|\overrightarrow{a}|·|\overrightarrow{n}|)\)（\(\overrightarrow{n}\)為平面法向量）；（3）二面角\(θ\)：\(\cosθ=±|\overrightarrow{n_1}·\overrightarrow{n_2}|/(|\overrightarrow{n_1}|·|\overrightarrow{n_2}|)\)（符號(hào)由二面角的方向決定，需結(jié)合圖形判斷）。例題：在正方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，求二面角\(A-BD-C_1\)的大小。解析：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，建立空間直角坐標(biāo)系，\(A(0,0,0)\)，\(B(1,0,0)\)，\(D(0,1,0)\)，\(C_1(1,1,1)\)。平面\(ABD\)的法向量：\(\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{AA_1}=(0,0,1)\)（因?yàn)閈(AA_1\)垂直于底面\(ABD\)）；平面\(BDC_1\)的法向量：設(shè)\(\overrightarrow{n_2}=(x,y,z)\)，則\(\overrightarrow{n_2}·\overrightarrow{BD}=0\)（\(\overrightarrow{BD}=(-1,1,0)\)），\(\overrightarrow{n_2}·\overrightarrow{BC_1}=0\)（\(\overrightarrow{BC_1}=(0,1,1)\)）。由\(-x+y=0\)，\(y+z=0\)，取\(x=1\)，則\(y=1\)，\(z=-1\)，故\(\overrightarrow{n_2}=(1,1,-1)\)；計(jì)算二面角\(θ\)：\(\cosθ=|\overrightarrow{n_1}·\overrightarrow{n_2}|/(|\overrightarrow{n_1}|·|\overrightarrow{n_2}|)=|0×1+0×1+1×(-1)|/(1×\sqrt{1+1+1})=1/\sqrt{3}\)；因此二面角\(A-BD-C_1\)的大小為\(\arccos(1/\sqrt{3})\)（或?qū)懗蒤(\arcsin(\sqrt{6}/3)\)）。4.2.2翻折問題中的空間關(guān)系難點(diǎn)：如何判斷翻折前后圖形的位置關(guān)系（如平行、垂直）的變化。策略：翻折前后，“共面”的線段位置關(guān)系不變（如翻折前平行的線段，翻折后仍平行）；翻折前后，“異面”的線段位置關(guān)系可能變化（如翻折前相交的線段，翻折后可能異面）；重點(diǎn)關(guān)注翻折后的“垂足”“中點(diǎn)”等特殊點(diǎn)的位置，以及“折疊軸”（如翻折時(shí)的邊）的作用。例題：將矩形\(ABCD\)沿對(duì)角線\(BD\)翻折，使點(diǎn)\(A\)落在平面\(BCD\)外的點(diǎn)\(A'\)處，求證：\(A'C\)與\(BD\)不垂直。解析：假設(shè)\(A'C⊥BD\)，取\(BD\)中點(diǎn)\(O\)，連接\(A'O\)、\(CO\)。翻折前，\(AO=CO=1/2BD\)（矩形對(duì)角線相等且互相平分）；翻折后，\(A'O=AO=CO\)，故\(\triangleA'OC\)為等腰三角形，\(A'O=CO\)；若\(A'C⊥BD\)，則\(BD⊥\)平面\(A'OC\)，故\(BD⊥A'O\)；但翻折后，\(A'O\)是\(A'\)到\(BD\)的垂線（因?yàn)閈(AO⊥BD\)，翻折后仍垂直），若\(BD⊥A'O\)且\(BD⊥A'C\)，則\(BD⊥\)平面\(A'OC\)，但\(A'C\)與\(A'O\)相交于\(A'\)，故\(BD⊥\)平面\(A'OC\)，但此時(shí)\(A'C\)在平面\(A'OC\)內(nèi)，故\(BD⊥A'C\)，但這與矩形翻折后的幾何關(guān)系矛盾（可通過空間向量驗(yàn)證），故假設(shè)不成立，即\(A'C\)與\(BD\)不垂直。4.3易錯(cuò)點(diǎn)提醒空間直角坐標(biāo)系建立錯(cuò)誤：如坐標(biāo)軸方向不符合右手定則（如\(x\)軸向右，\(y\)軸向前，\(z\)軸向上）；法向量方向判斷錯(cuò)誤：平面的法向量有兩個(gè)方向（同向或反向），計(jì)算二面角時(shí)需結(jié)合圖形判斷符號(hào)；線面角與二面角的范圍混淆：線面角范圍是\([0°,90°]\)，二面角范圍是\([0°,180°]\)。第五章解析幾何：計(jì)算與幾何的“交響樂”解析幾何占分約15-20分，主要考查橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系。5.1核心考點(diǎn)梳理基礎(chǔ)考點(diǎn)：直線的方程（點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、一般式）、圓的方程（標(biāo)準(zhǔn)式、一般式）；重點(diǎn)考點(diǎn)：（1）橢圓：標(biāo)準(zhǔn)方程（\(x^2/a^2+y^2/b^2=1\)，\(a>b>0\)）、幾何性質(zhì)（長(zhǎng)軸長(zhǎng)\(2a\)、短軸長(zhǎng)\(2b\)、焦距\(2c\)，\(c^2=a^2-b^2\)）、離心率（\(e=c/a\)，\(0<e<1\)）；（2）雙曲線：標(biāo)準(zhǔn)方程（\(x^2/a^2-y^2/b^2=1\)，\(a>0\)，\(b>0\)）、幾何性質(zhì)（實(shí)軸長(zhǎng)\(2a\)、虛軸長(zhǎng)\(2b\)、焦距\(2c\)，\(c^2=a^2+b^2\)）、離心率（\(e=c/a\)，\(e>1\)）、漸近線方程（\(y=±b/ax\)）；（3）拋物線：標(biāo)準(zhǔn)方程（\(y^2=2px\)，\(p>0\)，開口向右）、幾何性質(zhì)（焦點(diǎn)\((p/2,0)\)、準(zhǔn)線\(x=-p/2\)）、定義（拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離）。5.2難點(diǎn)突破與解題策略5.2.1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系難點(diǎn)：如何處理聯(lián)立方程后的韋達(dá)定理應(yīng)用，以及“設(shè)而不求”的技巧。策略：步驟：①設(shè)直線方程（如\(y=kx+m\)，注意斜率不存在的情況）；②聯(lián)立圓錐曲線方程，消去\(y\)（或\(x\)）得一元二次方程；③計(jì)算判別式\(\Delta\)（判斷位置關(guān)系：\(\Delta>0\)?相交，\(\Delta=0\)?相切，\(\Delta<0\)?相離）；④用韋達(dá)定理求\(x_1+x_2\)、\(x_1x_2\)（或\(y_1+y_2\)、\(y_1y_2\)）；⑤結(jié)合題目條件（如中點(diǎn)、弦長(zhǎng)、面積）進(jìn)行計(jì)算。技巧：弦長(zhǎng)公式（\(|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{1+1/k^2}|y_1-y_2|\)）、中點(diǎn)坐標(biāo)公式（\(x_0=(x_1+x_2)/2\)，\(y_0=(y_1+y_2)/2\)）。例題：已知橢圓\(x^2/4+y^2=1\)，過點(diǎn)\(P(1,0)\)的直線\(l\)與橢圓交于\(A\)、\(B\)兩點(diǎn)，求\(|AB|\)的最大值。解析：設(shè)直線\(l\)的方程為\(y=k(x-1)\)（斜率存在時(shí)），聯(lián)立橢圓方程得：\(x^2/4+k^2(x-1)^2=1\)，整理得\((1+4k^2)x^2-8k^2x+4k^2-4=0\)；判別式\(\Delta=(8k^2)^2-4(1+4k^2)(4k^2-4)=64k^4-4(4k^2-4+16k^4-16k^2)=64k^4-4(16k^4-12k^2-4)=64k^4-64k^4+48k^2+16=48k^2+16>0\)（恒成立）；韋達(dá)定理：\(x_1+x_2=8k^2/(1+4k^2)\)，\(x_1x_2=(4k^2-4)/(1+4k^2)\)；弦長(zhǎng)公式：\(|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{1+k^2}·\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\)；代入得：\(|AB|=\sqrt{1+k^2}·\sqrt{(64k^4)/(1+4k^2)^2-4(4k^2-4)/(1+4k^2)}\)；化簡(jiǎn)得：\(|AB|=\sqrt{1+k^2}·\sqrt{(64k^4-16(4k^2-4)(1+4k^2))/(1+4k^2)^2}\)；進(jìn)一步化簡(jiǎn)分子：\(64k^4-16(16k^4-12k^2-4)=64k^4-256k^4+192k^2+64=-192k^4+192k^2+64=64(-3k^4+3k^2+1)\)；因此\(|AB|=\sqrt{1+k^2}·\sqrt{64(-3k^4+3k^2+1)}/(1+4k^2)=8\sqrt{(1+k^2)(-3k^4+3k^2+1)}/(1+4k^2)\)；令\(t=k^2≥0\)，則\(|AB|=8\sqrt{(1+t)(-3t^2+3t+1)}/(1+4t)\)；通過求導(dǎo)或配方法可得，當(dāng)\(t=1/2\)（即\(k=±\sqrt{2}/2\)）時(shí)，\(|AB|\)取得最大值\(3\)；當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線\(l\)的方程為\(x=1\)，代入橢圓方程得\(y=±\sqrt{3}/2\)，此時(shí)\(|AB|=\sqrt{3}\)，小于3；故\(|AB|\)的最大值為3。5.2.2圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題難點(diǎn)：如何證明定點(diǎn)（如直線過定點(diǎn)）或定值（如面積、斜率為定值）。策略：定點(diǎn)問題：設(shè)直線方程為含參數(shù)的形式（如\(y=kx+m\)，其中\(zhòng)(m\)為參數(shù)），代入圓錐曲線方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合題目條件，消去參數(shù)得定點(diǎn)坐標(biāo)；定值問題：設(shè)變量（如點(diǎn)坐標(biāo)、直線斜率），表示出所求量（如面積、斜率），通過化簡(jiǎn)消去變量得定值。例題：已知拋物線\(y^2=4x\)，過焦點(diǎn)\(F(1,0)\)的直線\(l\)與拋物線交于\(A\)、\(B\)兩點(diǎn)，求證：\(OA⊥OB\)（\(O\)為原點(diǎn)）。解析：設(shè)直線\(l\)的方程為\(x=ty+1\)（\(t\)為參數(shù)，避免斜率不存在的情況），聯(lián)立拋物線方程得：\(y^2=4(ty+1)\)，整理得\(y^2-4ty-4=0\)；韋達(dá)定理：\(y_1+y_2=4t\)，\(y_1y_2=-4\)；計(jì)算\(\overrightarrow{OA}·\overrightarrow{OB}=x_1x_2+y_1y_2\)，其中\(zhòng)(x_1=y_1^2/4\)，\(x_2=y_2^2/4\)；因此\(\overrightarrow{OA}·\overrightarrow{OB}=(y_1^2y_2^2)/16+y_1y_2=(y_1y_2)^2/16+y_1y_2=(-4)^2/16+(-4)=16/16-4=1-4=-3\)？不對(duì)，等一下，應(yīng)該是\(x_1=ty_1+1\)，\(x_2=ty_2+1\)（因?yàn)橹本€方程是\(x=ty+1\)），所以\(x_1x_2=(ty_1+1)(ty_2+1)=t^2y_1y_2+t(y_1+y_2)+1\)；代入\(y_1y_2=-4\)，\(y_1+y_2=4t\)，得\(x_1x_2=t^2×(-4)+t×4t+1=-4t^2+4t^2+1=1\)；因此\(\overrightarrow{OA}·\overrightarrow{OB}=x_1x_2+y_1y_2=1+(-4)=-3\)？不對(duì)，等一下，我是不是哪里錯(cuò)了？哦，不對(duì)，拋物線\(y^2=4x\)的焦點(diǎn)是\((1,0)\)，過焦點(diǎn)的直線方程應(yīng)該是\(y=k(x-1)\)，或者\(yùn)(x=ty+1\)，沒錯(cuò)。那\(\overrightarrow{OA}·\overrightarrow{OB}=x_1x_2+y_1y_2\)，其中\(zhòng)(x_1=y_1^2/4\)，\(x_2=y_2^2/4\)，所以\(x_1x_2=(y_1y_2)^2/16\)，而\(y_1y_2=-4\)（由聯(lián)立方程得），所以\(x_1x_2=(-4)^2/16=1\)，因此\(\overrightarrow{OA}·\overrightarrow{OB}=1+(-4)=-3\)，不是0，說明我剛才的例題選錯(cuò)了，應(yīng)該選另一個(gè)例子，比如“過拋物線\(y^2=2px\)的焦點(diǎn)\(F\)的直線與拋物線交于\(A\)、\(B\)兩點(diǎn)，求證：\(1/|AF|+1/|BF|=2/p\)”（定值問題）。修正例題：過拋物線\(y^2=2px\)（\(p>0\)）的焦點(diǎn)\(F(p/2,0)\)的直線\(l\)與拋物線交于\(A\)、\(B\)兩點(diǎn)，求證：\(1/|AF|+1/|BF|=2/p\)。解析：設(shè)直線\(l\)的方程為\(x=ty+p/2\)，聯(lián)立拋物線方程得：\(y^2=2p(ty+p/2)=2pty+p^2\)，整理得\(y^2-2pty-p^2=0\)；韋達(dá)定理：\(y_1+y_2=2pt\)，\(y_1y_2=-p^2\)；由拋物線定義，\(|AF|=x_1+p/2\)，\(|BF|=x_2+p/2\)（因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，準(zhǔn)線方程為\(x=-p/2\)）；因此\(1/|AF|+1/|BF|=1/(x_1+p/2)+1/(x_2+p/2)\)；通分得：\((x_2+p/2+x_1+p/2)/[(x_1+p/2)(x_2+p/2)]=(x_1+x_2+p)/[x_1x_2+p/2(x_1+x_2)+p^2/4]\)；由直線方程\(x=ty+p/2\)，得\(x_1+x_2=t(y_1+y_2)+p=t×2pt+p=2pt^2+p\)；\(x_1x_2=(ty_1+p/2)(ty_2+p/2)=t^2y_1y_2+pt/2(y_1+y_2)+p^2/4=t^2×(-p^2)