八年級(jí)平行四邊形幾何講義集前言平行四邊形是初中幾何的核心圖形之一，既是三角形知識(shí)的延伸，也是后續(xù)學(xué)習(xí)矩形、菱形、正方形的基礎(chǔ)。本講義圍繞定義-性質(zhì)-判定-應(yīng)用的邏輯主線，結(jié)合八年級(jí)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，注重直觀理解與邏輯證明的結(jié)合，突出實(shí)用解題技巧。通過(guò)本講義的學(xué)習(xí)，你將掌握平行四邊形的核心知識(shí)，并能靈活應(yīng)用于各類幾何問(wèn)題。第一章平行四邊形的定義與基本性質(zhì)1.1平行四邊形的定義定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。符號(hào)表示：用“□”表示平行四邊形，如四邊形ABCD是平行四邊形，記作“□ABCD”（注意頂點(diǎn)順序需按順時(shí)針或逆時(shí)針排列，不能混亂）。幾何語(yǔ)言：若AB∥CD且AD∥BC，則□ABCD。1.2平行四邊形的基本性質(zhì)平行四邊形的性質(zhì)可概括為“對(duì)邊相等、對(duì)角相等、對(duì)角線互相平分”，以下是嚴(yán)格證明：1.2.1對(duì)邊相等定理：平行四邊形的兩組對(duì)邊分別相等。已知：□ABCD，求證：AB=CD，AD=BC。證明：連接對(duì)角線AC（構(gòu)造全等三角形）?！逜B∥CD（平行四邊形定義），∴∠BAC=∠DCA（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。同理，AD∥BC，∴∠BCA=∠DAC。在△ABC和△CDA中：∠BAC=∠DCA（已證），AC=CA（公共邊），∠BCA=∠DAC（已證），∴△ABC≌△CDA（ASA，角邊角全等）。∴AB=CD，AD=BC（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）。1.2.2對(duì)角相等定理：平行四邊形的兩組對(duì)角分別相等。已知：□ABCD，求證：∠A=∠C，∠B=∠D。證明：∵AB∥CD，AD∥BC（平行四邊形定義），∴∠A+∠B=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∠B+∠C=180°（同理）?！唷螦=∠C（同角的補(bǔ)角相等）。同理可證∠B=∠D。1.2.3對(duì)角線互相平分定理：平行四邊形的對(duì)角線互相平分。已知：□ABCD，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，求證：OA=OC，OB=OD。證明：∵AB∥CD（平行四邊形定義），∴∠ABO=∠CDO（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。同理，∠BAO=∠DCO。在△ABO和△CDO中：∠ABO=∠CDO（已證），AB=CD（平行四邊形對(duì)邊相等），∠BAO=∠DCO（已證），∴△ABO≌△CDO（ASA）。∴OA=OC，OB=OD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）。1.3性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用例1：在□ABCD中，已知AB=5cm，BC=3cm，求其周長(zhǎng)。解：平行四邊形對(duì)邊相等，故周長(zhǎng)=2×(AB+BC)=2×(5+3)=16cm。例2：在□ABCD中，∠A=60°，求其他三個(gè)角的度數(shù)。解：∠A=∠C=60°（對(duì)角相等），∠B=∠D=180°-60°=120°（鄰角互補(bǔ)）。總結(jié)：平行四邊形的性質(zhì)是“已知平行四邊形，得邊、角、對(duì)角線的關(guān)系”，是后續(xù)解題的“工具庫(kù)”。第二章平行四邊形的判定定理2.1判定的核心邏輯判定平行四邊形的本質(zhì)是：通過(guò)邊、角、對(duì)角線的條件，反推“兩組對(duì)邊分別平行”。以下是五種常用判定方法，需重點(diǎn)掌握。2.2五種判定定理及證明2.2.1判定1（定義）：兩組對(duì)邊分別平行內(nèi)容：若四邊形ABCD中，AB∥CD且AD∥BC，則□ABCD。說(shuō)明：定義是最基本的判定方法，直接應(yīng)用平行的條件。2.2.2判定2：兩組對(duì)邊分別相等定理：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。已知：四邊形ABCD中，AB=CD，AD=BC，求證：□ABCD。證明：連接AC，在△ABC和△CDA中：AB=CD（已知），AD=BC（已知），AC=CA（公共邊），∴△ABC≌△CDA（SSS）。∴∠BAC=∠DCA（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等），∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）。同理，∠BCA=∠DAC，∴AD∥BC?！嗨倪呅蜛BCD是平行四邊形（定義）。2.2.3判定3：一組對(duì)邊平行且相等定理：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形（“平行且相等”用符號(hào)“∥=”表示）。已知：四邊形ABCD中，AB∥CD且AB=CD，求證：□ABCD。證明：連接AC，∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。在△ABC和△CDA中：AB=CD（已知），∠BAC=∠DCA（已證），AC=CA（公共邊），∴△ABC≌△CDA（SAS）?！郆C=AD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等），∴四邊形ABCD是平行四邊形（判定2：兩組對(duì)邊分別相等）。2.2.4判定4：兩組對(duì)角分別相等定理：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。已知：四邊形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，求證：□ABCD。證明：四邊形內(nèi)角和為360°，故∠A+∠B+∠C+∠D=360°。∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴2∠A+2∠B=360°，即∠A+∠B=180°?！郃D∥BC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）。同理，∠A+∠D=180°，∴AB∥CD?！嗨倪呅蜛BCD是平行四邊形（定義）。2.2.5判定5：對(duì)角線互相平分定理：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。已知：四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，OA=OC，OB=OD，求證：□ABCD。證明：在△AOB和△COD中：OA=OC（已知），∠AOB=∠COD（對(duì)頂角相等），OB=OD（已知），∴△AOB≌△COD（SAS）。∴AB=CD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等），∠OAB=∠OCD（對(duì)應(yīng)角相等）?！郃B∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）?！嗨倪呅蜛BCD是平行四邊形（判定3：一組對(duì)邊平行且相等）。2.3判定方法的選擇策略已知條件優(yōu)先選擇的判定方法一組對(duì)邊平行證這組對(duì)邊相等（判定3）兩組對(duì)邊相等直接用判定2對(duì)角線關(guān)系證對(duì)角線互相平分（判定5）角的關(guān)系證兩組對(duì)角相等（判定4）易錯(cuò)提醒：“一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等”的四邊形不一定是平行四邊形（如等腰梯形），需避免誤用。第三章平行四邊形的中位線定理3.1中位線的定義定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線（注意：中位線≠中線，中線是頂點(diǎn)到對(duì)邊中點(diǎn)的線段）。示例：在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，則DE是△ABC的中位線。3.2中位線定理定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。已知：△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，求證：DE∥BC，DE=1/2BC。證明（構(gòu)造平行四邊形法）：延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF=DE，連接CF?！逧是AC中點(diǎn)，∴AE=CE。在△AED和△CEF中：AE=CE（已證），∠AED=∠CEF（對(duì)頂角相等），DE=EF（構(gòu)造），∴△AED≌△CEF（SAS）?！郃D=CF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等），∠ADE=∠CFE（對(duì)應(yīng)角相等）?！郃D∥CF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）。又∵D是AB中點(diǎn)，∴AD=BD?！郆D=CF（等量代換），BD∥CF（平行傳遞）?！嗨倪呅蜝CFD是平行四邊形（判定3：一組對(duì)邊平行且相等）。∴DF∥BC（平行四邊形對(duì)邊平行），DF=BC（平行四邊形對(duì)邊相等）。∵DE=1/2DF（構(gòu)造時(shí)EF=DE），∴DE∥BC，DE=1/2BC（結(jié)論）。3.3中位線定理的應(yīng)用例3：在△ABC中，D、E、F分別是AB、BC、AC的中點(diǎn)，若BC=8cm，求DE的長(zhǎng)度。解：DE是△ABC的中位線（D、E是AB、BC中點(diǎn)），故DE=1/2BC=4cm。例4：在□ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，求證：EF∥AD且EF=AD。證明：連接BD，∵E、F是AB、CD中點(diǎn)，∴BE=1/2AB，DF=1/2CD。又∵AB=CD（平行四邊形對(duì)邊相等），∴BE=DF?！逜B∥CD（平行四邊形對(duì)邊平行），∴BE∥DF?！嗨倪呅蜝EDF是平行四邊形（判定3），∴EF∥BD且EF=BD。又∵AD∥BD（平行四邊形對(duì)邊平行），AD=BD（平行四邊形對(duì)邊相等），∴EF∥AD且EF=AD（平行傳遞）?？偨Y(jié)：中位線定理是平行四邊形與三角形的“橋梁”，常用于證明平行關(guān)系或線段倍分關(guān)系。第四章平行四邊形綜合應(yīng)用與解題技巧4.1常見(jiàn)題型分類4.1.1證明題：證四邊形是平行四邊形例5：已知□ABCD中，E、F是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且AE=CF，求證：四邊形BEDF是平行四邊形。解題思路：方法1（對(duì)角線法）：連接BD交AC于點(diǎn)O，∵□ABCD，∴OA=OC，OB=OD（對(duì)角線互相平分）?！逜E=CF，∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF?！嗨倪呅蜝EDF是平行四邊形（判定5：對(duì)角線互相平分）。方法2（邊法）：證明BE=DF且BE∥DF，∵□ABCD，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF。在△ABE和△CDF中，AB=CD，∠BAE=∠DCF，AE=CF，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE=DF，∠AEB=∠CFD。∴∠BEO=∠DFO（等角的補(bǔ)角相等），∴BE∥DF。∴四邊形BEDF是平行四邊形（判定3）。4.1.2計(jì)算題：求邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)或面積例6：在□ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，∠A=60°，求□ABCD的面積。解題思路：過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AD于點(diǎn)H，在Rt△ABH中，∠A=60°，AB=6cm，∴BH=AB×sin60°=6×(√3/2)=3√3cm（三角函數(shù)）?！嗝娣e=底×高=AD×BH=8×3√3=24√3cm2（平行四邊形面積=底×高）。4.1.3動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題：判斷平行四邊形存在性例7：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(0,0)，B(2,0)，C(3,2)，點(diǎn)D是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)D點(diǎn)坐標(biāo)為多少時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形？解題思路：平行四邊形對(duì)邊平行且相等，故AD=BC且AD∥BC。BC的長(zhǎng)度=√[(3-2)2+(2-0)2]=√5，方向?yàn)橄蛴?，向上2。若D在x軸上，設(shè)D(x,0)，則AD=(x,0)，BC=(1,2)，∴AD=BC?x=1，0=2（矛盾，舍去）。換一種思路：平行四邊形對(duì)角線互相平分，故AC中點(diǎn)=BD中點(diǎn)。AC中點(diǎn)坐標(biāo)為((0+3)/2,(0+2)/2)=(1.5,1)，BD中點(diǎn)坐標(biāo)為((2+x)/2,(0+0)/2)=(1.5,0)，∴(2+x)/2=1.5?x=1，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)。4.2解題技巧總結(jié)1.優(yōu)先考慮對(duì)角線：若題目涉及對(duì)角線，優(yōu)先用“對(duì)角線互相平分”的判定或性質(zhì)，簡(jiǎn)化證明。2.構(gòu)造輔助線：連接對(duì)角線是解決平行四邊形問(wèn)題的常用輔助線，可將四邊形轉(zhuǎn)化為三角形（如例5、例7）。3.結(jié)合坐標(biāo)系：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中，用坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置，利用平行四邊形對(duì)邊相等或?qū)蔷€中點(diǎn)重合的性質(zhì)列方程（如例7）。4.靈活轉(zhuǎn)換條件：將“一組對(duì)邊平行且相等”轉(zhuǎn)換為“兩組對(duì)邊分別平行”或“兩組對(duì)邊分別相等”，根據(jù)題目條件選擇最簡(jiǎn)便的方法（如例5的兩種方法）。4.3易錯(cuò)點(diǎn)提醒混淆性質(zhì)與判定：性質(zhì)是“已知平行四邊形，得結(jié)論”，判定是“已知條件，證平行四邊形”，需明確邏輯方向。誤用判定條件：“一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等”不能判定平行四邊形（如等腰梯形），需牢記正確的判定條件。忽略圖形順序：平行四邊形的頂點(diǎn)順序不能亂，否則會(huì)導(dǎo)致對(duì)邊關(guān)系錯(cuò)誤（如□ABCD中，AB的對(duì)邊是CD，AD的對(duì)邊是BC）。第五章課后鞏固練習(xí)5.1基礎(chǔ)題1.在□ABCD中，∠A=50°，則∠C=______，∠B=______。2.已知□ABCD的周長(zhǎng)為20cm，AB=4cm，則BC=______cm。3.三角形的中位線長(zhǎng)為5cm，則第三邊長(zhǎng)為_(kāi)_____cm。5.2提高題4.已知□ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，求證：四邊形AECF是平行四邊形。5.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2)，B(3,4)，C(5,2)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)，使四邊形ABCD是平行四邊形。5.3拓展題6.已知□ABCD中，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，若AB=3cm，BC=5cm，求DE的長(zhǎng)度。答案提示：1.50°，130°；2.6；