高等數(shù)學(xué)極限與連續(xù)性重點題解析一、引言極限與連續(xù)性是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)基石：極限定義了微積分的核心概念（導(dǎo)數(shù)、積分、級數(shù)），連續(xù)性則是函數(shù)光滑性的基本刻畫。二者的考查貫穿考研、期末等各類考試，重點集中在極限計算的技巧性、連續(xù)性的判定邏輯及二者的綜合應(yīng)用。本文將通過典型題型+深度解析+易錯點警示，系統(tǒng)梳理這兩部分的核心考點，助力讀者構(gòu)建清晰的解題框架。二、極限部分重點題解析極限計算的核心是選擇合適的方法簡化運算，常用工具包括：等價無窮小替換、洛必達法則、泰勒展開、夾逼定理、單調(diào)有界準(zhǔn)則等。以下針對高頻題型展開分析。（一）等價無窮小替換：精準(zhǔn)應(yīng)用是關(guān)鍵核心結(jié)論：當(dāng)$x\to0$時，常見等價無窮小（如$\sinx\simx$、$\tanx\simx$、$e^x-1\simx$、$\ln(1+x)\simx$、$1-\cosx\sim\frac{1}{2}x^2$）僅能在乘除因子中替換，加減項需謹(jǐn)慎（需保證兩項的差為更高階無窮?。?。例1計算$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx-\tanx}{x^3}$。易錯解法：直接替換$\sinx\simx$、$\tanx\simx$，得$\lim\limits_{x\to0}\frac{x-x}{x^3}=0$（錯誤，因$\sinx-\tanx$的高階項未被保留）。正確解析：將$\sinx$、$\tanx$展開為泰勒級數(shù)（或用洛必達法則）：$$\sinx=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3),\quad\tanx=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3),$$代入得：$$\sinx-\tanx=-\frac{x^3}{2}+o(x^3),$$故極限為$\lim\limits_{x\to0}\frac{-\frac{x^3}{2}}{x^3}=-\frac{1}{2}$。警示：加減項替換的充要條件是“兩項的等價無窮小之差為更高階無窮小”（如$\sinx-x\sim-\frac{x^3}{6}$，但$\sinx-\tanx$的等價無窮小是$-\frac{x^3}{2}$），若無法判斷，建議用泰勒展開或洛必達法則。（二）洛必達法則：嚴(yán)格遵循適用條件適用條件：1.極限為$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$型（未定式）；2.分子、分母在該點的鄰域內(nèi)可導(dǎo)（端點除外）；3.導(dǎo)數(shù)之比的極限存在（或為$\infty$）。例2計算$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x+\sinx}{x}$。易錯解法：直接應(yīng)用洛必達法則，分子導(dǎo)數(shù)為$1+\cosx$，分母導(dǎo)數(shù)為$1$，得$\lim\limits_{x\to+\infty}(1+\cosx)$（不存在，錯誤）。正確解析：原式可拆分為$\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+\frac{\sinx}{x}\right)$，其中$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\sinx}{x}=0$（有界量乘無窮?。?，故極限為$1$。例3計算$\lim\limits_{x\to0^+}x^x$（$0^0$型未定式）。解析：取自然對數(shù)轉(zhuǎn)化為$\frac{\infty}{\infty}$型：$$x^x=e^{x\lnx},\quad\lim\limits_{x\to0^+}x\lnx=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\lnx}{\frac{1}{x}}\stackrel{\text{洛必達}}{=}\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim\limits_{x\to0^+}(-x)=0,$$故極限為$e^0=1$。警示：洛必達法則不是“萬能工具”，需先判斷未定式類型；若導(dǎo)數(shù)之比的極限不存在，需換用其他方法（如例2的分拆法）。（三）泰勒展開：高階極限的“終極武器”當(dāng)極限涉及高階無窮?。ㄈ绶帜笧?x^n$，$n\geq3$）時，泰勒展開（帶佩亞諾余項）能精準(zhǔn)保留高階項，避免洛必達法則的重復(fù)應(yīng)用。例4計算$\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1-x-\frac{x^2}{2}}{x^3}$。解析：$e^x$的泰勒展開為$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)$，代入分子得：$$e^x-1-x-\frac{x^2}{2}=\frac{x^3}{6}+o(x^3),$$故極限為$\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{x^3}{6}}{x^3}=\frac{1}{6}$。優(yōu)勢：若用洛必達法則，需連續(xù)求導(dǎo)3次（分子導(dǎo)數(shù)依次為$e^x-1$、$e^x$、$e^x$），而泰勒展開一步到位，且能處理更復(fù)雜的表達式（如$\cosx$、$\ln(1+x)$的組合）。三、連續(xù)性部分重點題解析連續(xù)性的核心定義是：$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)$（三點要求：極限存在、函數(shù)有定義、極限等于函數(shù)值）。重點考查間斷點分類與閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)性質(zhì)。（一）間斷點分類：基于左右極限的判斷間斷點分為第一類（左右極限均存在）和第二類（至少一個極限不存在）：第一類：可去間斷點（左右極限相等但不等于$f(x_0)$或$f(x_0)$無定義）、跳躍間斷點（左右極限不等）；第二類：無窮間斷點（極限為$\infty$）、振蕩間斷點（極限不存在且不為$\infty$，如$\sin\frac{1}{x}$在$x=0$處）。例5判斷$f(x)=\frac{\sinx}{x}$在$x=0$處的間斷點類型。解析：$f(0)$無定義，但$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$（左右極限相等），故為可去間斷點（補充定義$f(0)=1$可使函數(shù)連續(xù)）。例6判斷$f(x)=[x]$（取整函數(shù)）在$x=1$處的間斷點類型。解析：$\lim\limits_{x\to1^-}[x]=0$（左極限），$\lim\limits_{x\to1^+}[x]=1$（右極限），左右極限不等，故為跳躍間斷點。例7判斷$f(x)=\frac{1}{x}$在$x=0$處的間斷點類型。解析：$\lim\limits_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty$，$\lim\limits_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty$，極限為$\infty$，故為無窮間斷點。步驟總結(jié)：1.檢查$f(x_0)$是否有定義；2.計算$\lim\limits_{x\tox_0^-}f(x)$和$\lim\limits_{x\tox_0^+}f(x)$；3.根據(jù)左右極限的存在性及與$f(x_0)$的關(guān)系分類。（二）閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)性質(zhì)：構(gòu)造輔助函數(shù)是關(guān)鍵閉區(qū)間$[a,b]$上的連續(xù)函數(shù)具有最值定理（必有最大值和最小值）、介值定理（必取到介于最大值和最小值之間的所有值）、零點定理（若$f(a)\cdotf(b)<0$，則存在$\xi\in(a,b)$使$f(\xi)=0$）。例8設(shè)$f(x)$在$[0,1]$上連續(xù)，且$f(0)=1$，$f(1)=0$，證明：存在$\xi\in(0,1)$，使得$f(\xi)=\xi$。解析：構(gòu)造輔助函數(shù)$g(x)=f(x)-x$，則$g(x)$在$[0,1]$上連續(xù)（連續(xù)函數(shù)的差仍連續(xù)）。計算端點值：$g(0)=f(0)-0=1>0$，$g(1)=f(1)-1=-1<0$。由零點定理，存在$\xi\in(0,1)$，使得$g(\xi)=0$，即$f(\xi)=\xi$。例9設(shè)$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)，且$a<c<d<b$，證明：存在$\xi\in[c,d]$，使得$f(\xi)=\frac{f(c)+f(d)}{2}$。解析：令$M=\max\{f(c),f(d)\}$，$m=\min\{f(c),f(d)\}$，則$\frac{f(c)+f(d)}{2}\in[m,M]$。由介值定理（$f(x)$在$[c,d]$上連續(xù)，$[c,d]\subset[a,b]$），存在$\xi\in[c,d]$，使得$f(\xi)=\frac{f(c)+f(d)}{2}$。警示：應(yīng)用閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)性質(zhì)時，必須嚴(yán)格滿足“閉區(qū)間”和“連續(xù)”兩個條件（如$f(x)=\frac{1}{x}$在$(0,1)$上不連續(xù)，無法應(yīng)用最值定理）。四、極限與連續(xù)性綜合題解析極限與連續(xù)性的綜合題通?？疾檫B續(xù)性定義與極限計算的結(jié)合，或閉區(qū)間性質(zhì)與極限的關(guān)聯(lián)。例10已知$f(x)$在$x=0$處連續(xù)，且$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)+3}{x}=2$，求$f(0)$和$f'(0)$。解析：1.求$f(0)$：由$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)+3}{x}=2$，分子必須為$0$（否則極限為$\infty$），即$\lim\limits_{x\to0}(f(x)+3)=0$。因$f(x)$在$x=0$處連續(xù)，故$f(0)=\lim\limits_{x\to0}f(x)=-3$。2.求$f'(0)$：由導(dǎo)數(shù)定義，$$f'(0)=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)+3}{x}=2$$（直接利用已知條件）。例11設(shè)$f(x)=\begin{cases}\frac{\sinax}{x},&x<0,\\b,&x=0,\\x+2,&x>0,\end{cases}$若$f(x)$在$x=0$處連續(xù)，求$a$、$b$的值。解析：左極限：$\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to0^-}\frac{\sinax}{x}=a$（等價無窮小替換：$\sinax\simax$）；右極限：$\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to0^+}(x+2)=2$；函數(shù)值：$f(0)=b$。由連續(xù)性定義，左極限=右極限=函數(shù)值，故$a=2$，$b=2$。五、總結(jié)與備考建議（一）核心結(jié)論回顧1.極限計算：等價無窮小優(yōu)先（乘除項），洛必達法則輔助（未定式），泰勒展開解決高階問題；2.連續(xù)性：間斷點分類基于左右極限，閉區(qū)間性質(zhì)需構(gòu)造輔助函數(shù)；3.綜合題：利用連續(xù)性定義（極限=函數(shù)值）關(guān)聯(lián)極限與函數(shù)值，導(dǎo)數(shù)定義（極限）是常見考點。（二）易錯點規(guī)避等價無窮小替換：加減項勿隨意替換，需驗證高階項；洛必達法則：先判斷未定式類型，導(dǎo)數(shù)之比極限不存在時換方法；間斷點分類：嚴(yán)格區(qū)分左右極限的存在性；閉區(qū)間性質(zhì)：必須滿足“閉區(qū)間”和“連續(xù)”條件。（三）備考建議