3.2.2.1奇偶性2019人教A版第一冊第三章情境引入2024年7月27日，在印度新德里召開的聯(lián)合國教科文組織第46屆世界遺產(chǎn)大會通過決議，將“北京中軸線——中國理想都城秩序的杰作”列入《世界遺產(chǎn)名錄》【“北京中軸線——中國理想都城秩序的杰作”】中國建筑中的“對稱美”探究新知問題1：畫出并觀察函數(shù)f(x)=x2和g(x)=2-|x|的圖象(圖3.2-6)，你能發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？可以發(fā)現(xiàn)，這兩個函數(shù)都關(guān)于y軸對稱.探究新知問題2：類比函數(shù)的單調(diào)性，你能用符號語言精確地描述“函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱”這一特征嗎？不妨取自變量的一些特殊值，觀察相應函數(shù)值的情況，如表3.2-1．可以發(fā)現(xiàn)，當自變量取一對相反數(shù)時，相應的兩個函數(shù)值相等．x…-3-2-10123…

……

…

…f(x)=x2g(x)=2-|x|994141000112-1-1探究新知x…-3-2-10123…f(x)=x2

…9410149…

證明：

這時稱函數(shù)f(x)=x2為偶函數(shù).請你仿照這個過程，說明函數(shù)g(x)=2-|x|也是偶函數(shù).概念生成1.偶函數(shù)

概念生成(1)圖象特征：關(guān)于y軸對稱1.偶函數(shù)(1)圖象特征：關(guān)于y軸對稱(2)單調(diào)性：在對稱區(qū)間內(nèi)單調(diào)性相反(3)常見的偶函數(shù)：①y=xn(n為偶數(shù))②y=|x|③y=C(常數(shù)函數(shù))探究新知

可以發(fā)現(xiàn)，這兩個函數(shù)都關(guān)于原點成中心對稱圖形.探究新知問題4：類比偶函數(shù)的探究過程，你能用符號語言精確地描述“函數(shù)圖象關(guān)于原點中心對稱”這一特征嗎？x…-3-2-10123…f(x)=x

……g(x)=

…

…不妨取自變量的一些特殊值，觀察相應函數(shù)值的情況，如表3.2-2．可以發(fā)現(xiàn)，當自變量取一對相反數(shù)時，相應的兩個函數(shù)值相反．-332-210-1

1-1/探究新知x…-3-2-10123…f(x)=x

…-3-2-10123…

證明：

這時稱函數(shù)f(x)=x為奇函數(shù).

概念生成2.奇函數(shù)

概念生成(1)圖象特征：關(guān)于y軸對稱2.奇函數(shù)(1)圖象特征：關(guān)于原點對稱(2)單調(diào)性：在對稱區(qū)間內(nèi)單調(diào)性相同(3)常見的奇函數(shù)：y=xn(n為奇數(shù))(4)若奇函數(shù)的定義域包括0，則有f(0)=0.概念生成思考1比較奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義，奇函數(shù)與偶函數(shù)有何共同點和不同點？

共同點:(1)定義域關(guān)于原點對稱；(2)都是函數(shù)的整體性質(zhì)不同點:(1)當自變量取一對相反數(shù)時，偶函數(shù)的函數(shù)值相等，而奇函數(shù)的函數(shù)值是一對相反數(shù)；(2)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，而奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.概念生成(1)圖象特征：關(guān)于y軸對稱注意：1.函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；2.由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個x，則－x也一定是定義域內(nèi)的一個自變量（即定義域關(guān)于原點對稱）．3.如果一個函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么我們就說函數(shù)f(x)具有奇偶性.概念辨析1．判斷下列說法是否正確，正確的在它后面的括號里畫“√”，錯誤的畫“×”．(1)函數(shù)y＝|x|的圖象關(guān)于y軸對稱．()(2)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則f(0)＝0.()(3)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－1)＝f(1)，則f(x)一定是偶函數(shù)．()(4)已知f(x)＝x3＋2x，則f(a)＋f(－a)的值是0.()√√××概念辨析2．下列圖象表示的函數(shù)具有奇偶性的是(

)

B概念辨析3．若函數(shù)y＝f(x)，x∈[－2，a]是奇函數(shù)，則a的值為()A．－2

B．2C．0

D．不能確定B例題講解例6判斷下列函數(shù)的單調(diào)性：(1)f(x)=x4；(2)f(x)=x5；解：(1)函數(shù)f(x)=x4的定義域為R.

(2)函數(shù)f(x)=x5的定義域為R.

所以，函數(shù)f(x)=x4為偶函數(shù).

例題講解例6判斷下列函數(shù)的單調(diào)性：

方法總結(jié)判斷函數(shù)的奇偶性的方法1.定義法判斷函數(shù)的奇偶性2.圖象法判斷函數(shù)的奇偶性提醒函數(shù)式比較復雜時，可在定義域的基礎(chǔ)上先化簡，再進行判斷．思考2(1)判斷函數(shù)f(x)=x3+x的奇偶性.(2)圖3.2-9是函數(shù)f(x)=x3+x圖象的一部分，你能根據(jù)的奇偶性畫出它在y軸左邊的圖象嗎？解：函數(shù)f(x)=x3+x的定義域為R.

所以，函數(shù)f(x)=

x3+x為奇函數(shù).(3)一般地，如果知道y=f(x)為偶（奇）函數(shù)，那么我們可以怎樣簡化對它的研究？只需研究對稱區(qū)間中其中一個區(qū)間的性質(zhì)學以致用1.已知f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，試將下圖補充完整.學以致用2.判斷下列函數(shù)的奇偶性.(1)f(x)=2x4+3x2；

解：

所以，函數(shù)f(x)=2x4+3x2為偶函數(shù).(1)函數(shù)f(x)=2x4+3x2的定義域為R.解：